2025-2026学年人教版数学九年级上册期末综合试卷

2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．画一个圆，它是轴对称图形 D．从只有红球的袋子中摸出黄球 3．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有一个根是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 4．（3分）已知⊙O的半径为3，有一点P与⊙O在同一平面内．若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 5．（3分）抛物线y＝（x+2）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 6．（3分）DeepSeek﹣AI模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，DeepSeek模型的初始训练数据量为500万亿个标记（tokens）．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（　　） A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x2）＝720 C．500（1+x）2＝720 D．500（1+x）＝720 7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好落在边BC上．若∠B＝75°，则∠CAC′的度数为（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 8．（3分）元旦来临，小海在一张边长为4dm的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（　　） A． B．2dm C．dm D．1dm 9．（3分）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1（单位：m）与滑行时间t1（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程y2（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间t2（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s，则他在坡道上的滑行路程为（　　） A．32m B．240m C．270m D．280m 10．（3分）数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的△ABC，其中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，小明将点D固定在边AC上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接DP，令DP2为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足MN＝NR，则这三个点的纵坐标n的值为（　　） A．5 B．5.25 C．5.5 D．6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（8，m）与B（﹣8，﹣5）关于原点对称，则m＝　 　 ． 12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　 ． 13．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个白球（两种小球除颜色外，其余特征都相同），从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作半圆O，交AB于点D，在上取一点E，使，连接CE．若∠B＝50°，则△ACE的度数为　 　 ． 15．（3分）若二次函数y＝a（x+1）2+k（a，k为常数）与y＝a（x﹣2）2+k的图象交于点（m，1），则关于x的方程a（x﹣2）2+k＝1的解为　 　 ． 三、解答题 16．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 17．（8分）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别是A（3，1），O（0，0），B（2，5）． （1）画出△AOB绕点O逆时针旋转90°所得的△A1OB1，并写出点B1的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，求线段OA扫过的图形面积． 18．（8分）在校运动会中，为确定A，B，C，D四个班级在“4×100m接力”决赛时的赛道，采用以下方式抽签，在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有道次：1，2，3，4（四个小球除所标数字外都相同），四个班级按A，B，C，D的次序依次从盒中随机摸出一个小球． （1）A班抽到1号道次的概率是　 　 ； （2）若A班从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀后B班再从盒中随机摸出一个小球．请画树状图或列表，求A，B两班决赛时赛道相邻的概率． 19．（8分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，每降价1元，周销量可增加100瓶，规定每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款洗衣液每瓶进价是多少元？ (2)当每瓶售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE，过点E作EF⊥BC于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若BC＝3，CF＝2CD，求BF的长． 21．（8分）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径 22．（10分）素材1：小明家共有120m长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为120m．爸爸已经算出方案丙中，当EF＝15m时，所围的菜地面积最大． 任务1： （1）在方案甲中，AB长为　 　 m时，所围菜地面积最大，最大面积为　 　 m2； 任务2： （2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A B C B D B B 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：A．选项图形能找到一点，使图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； B．选项图形不能找到一点，使图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不能找到一点，使图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不能找到一点，使图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 2．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．画一个圆，它是轴对称图形 D．从只有红球的袋子中摸出黄球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上是随机事件，不是不可能事件，不符合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不是不可能事件，不符合题意；C．画一个圆，它是轴对称图形是必然事件，不符合题意； D．从只有红球的袋子中摸出黄球是不可能事件，符合题意，故选：D． 【点评】本题考查了随机事件的定义，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 3．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有一个根是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】将x＝3代入一元二次方程得9﹣6﹣m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝3是方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（3分）已知⊙O的半径为3，有一点P与⊙O在同一平面内．若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系，进行判断即可，设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＜r时，点在圆内；当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外． 【解答】解：⊙O的半径为3，OP＝4， ∵4＞3， ∴点P在⊙O圆外． 故选：A． 【点评】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定． 5．（3分）抛物线y＝（x+2）2+3的对称轴是直线（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3 【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出对称轴． 【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2+3， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出对称轴． 6．（3分）DeepSeek﹣AI模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，DeepSeek模型的初始训练数据量为500万亿个标记（tokens）．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（　　） A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x2）＝720 C．500（1+x）2＝720 D．500（1+x）＝720 【分析】设每次数据扩容的平均增长率为x，根据初始训练数据量为500万亿个标记（tokens）．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，进行列方程，得500（1+x）2＝720，即可作答． 【解答】解：根据题意可得500（1+x）2＝720， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的增长率，理解题意是关键． 7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好落在边BC上．若∠B＝75°，则∠CAC′的度数为（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝∠CAC′，证明△ABB′是等腰三角形，即可求得∠BAB′，即可解答． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝∠CAC′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴∠BAB′＝180°﹣2∠B＝30°， ∴∠CAC′＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．（3分）元旦来临，小海在一张边长为4dm的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（　　） A． B．2dm C．dm D．1dm 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【解答】解：由题意得：∠A＝90°，AD＝AB＝4dm， ∴的长为， ∴圆锥底面圆的周长为2πdm， ∴； ∴该圆锥形礼帽的底面半径为1dm． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键． 9．（3分）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1（单位：m）与滑行时间t1（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程y2（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间t2（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s，则他在坡道上的滑行路程为（　　） A．32m B．240m C．270m D．280m 【分析】由题意易得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得t1＝68﹣8＝60，进而代入进行求解即可． 【解答】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴t1＝68﹣8＝60， ∴把t1＝60代入函数得：； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意． 10．（3分）数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的△ABC，其中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，小明将点D固定在边AC上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接DP，令DP2为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足MN＝NR，则这三个点的纵坐标n的值为（　　） A．5 B．5.25 C．5.5 D．6 【分析】由题意易得，，由图象可知：当x＝0时，y＝12，即DP2＝12，此时点A与点P重合，所以，然后可分当0≤x≤6时，当6＜x≤9时，进而得出二次函数解析式，最后问题可求解． 【解答】解：小明用画图软件画出了图1所示的△ABC，其中∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，小明将点D固定在边AC上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动， ∴，， 由图象可知：当x＝0时，y＝12，即DP2＝12， 此时点A与点P重合，所以， 当0≤x≤6时，过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴PH＝|AP﹣AH|＝|x﹣3|， ∴y＝DP2＝DH2+PH2＝3+（x﹣3）2， ∴该函数的对称轴为直线x＝3， 由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足MN＝NR，可知：M，N关于该函数的对称轴对称， 设点M（m，n），则N（6﹣m，n）， ∴MN＝6﹣m﹣m＝6﹣2m＝NR， ∴点R的横坐标为6﹣m+6﹣2m＝12﹣3m，即R（12﹣3m，n）， 当6＜x≤9时， ∴CP＝AB+BC﹣x＝9﹣x，， ∴y＝DP2＝CD2+CP2＝3+（9﹣x）2， ∴， 解得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（8，m）与B（﹣8，﹣5）关于原点对称，则m＝　5　 ． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【解答】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴m＝﹣（﹣5）＝5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了关于原点对称点的坐标，掌握关于原点对称点的坐标的特征是关键． 12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为　1　 ． 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴4﹣4k＝0， 解得k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 13．（3分）一个不透明的盒子中装有2个红球，3个白球（两种小球除颜色外，其余特征都相同），从盒子中随机摸出一个小球，摸出红球的概率为　　 ． 【分析】摸出红球的概率等于红球数量与总球数的比值即为所求概率． 【解答】解：一个不透明的盒子中装有2个红球，3个白球（两种小球除颜色外，其余特征都相同）， 盒子中总共有2+3＝5个小球，其中红球有2个， 因此摸出红球的概率为； 故答案为：． 【点评】本题考查了根据概率公式求概率，正确进行计算是解题关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作半圆O，交AB于点D，在上取一点E，使，连接CE．若∠B＝50°，则△ACE的度数为　10°　 ． 【分析】连接OE，OD，先求得∠OAD，再求得∠COD，根据，可得∠EOD＝∠COD，即可求得∠AOE，利用圆周角定理即可求得∠ACE． 【解答】解：如图，连接OE，OD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴∠COD＝2∠CAD＝80°， ∵， ∴∠EOD＝∠COD＝80°， ∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD＝20°， ∴． 故答案为：10°． 【点评】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（3分）若二次函数y＝a（x+1）2+k（a，k为常数）与y＝a（x﹣2）2+k的图象交于点（m，1），则关于x的方程a（x﹣2）2+k＝1的解为　　 ． 【分析】方程a（x﹣2）2+k＝1的解即为二次函数y＝a（x﹣2）2+k的图象与直线y＝1交点的横坐标．已知两函数图象交于点（m，1），可先求出m的值，再利用二次函数的对称性求得另一个解． 【解答】解：由题意可得： a（m+1）2+k＝1且a（m﹣2）2+k＝1， 两式相减得a（m+1）2＝a（m﹣2）2， ∵a≠0， ∴（m+1）2＝（m﹣2）2， 即m2+2m+1＝m2﹣4m+4， 解得， ∵方程a（x﹣2）2+k＝1的解是函数y＝a（x﹣2）2+k的图象与直线y＝1交点的横坐标，已知一个交点为， 且二次函数y＝a（x﹣2）2+k的对称轴为直线x＝2， ∴点关于二次函数对称轴的对称点为， ∴另一个交点为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题 16．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0， 则x+1＝0或x﹣5＝0， ∴x＝﹣1或x＝5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 17．（8分）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别是A（3，1），O（0，0），B（2，5）． （1）画出△AOB绕点O逆时针旋转90°所得的△A1OB1，并写出点B1的坐标； （2）在（1）的旋转过程中，求线段OA扫过的图形面积． 【分析】（1）将点A，B绕点O逆时针旋转90°得到点A1，B1，再依次连接OA1，A1B1，B1O，可得答案，然后确定点B1的坐标； （2）先根据勾股定理求出OA2＝10，再根据扇形的面积得出答案． 【解答】解：（1）△AOB绕点O逆时针旋转90°所得的△A1OB1，如图即为所求； 由图可知，B1（﹣5，2）； （2）由勾股定理得：OA2＝32+12＝10， ∴． 【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 18．（8分）在校运动会中，为确定A，B，C，D四个班级在“4×100m接力”决赛时的赛道，采用以下方式抽签，在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有道次：1，2，3，4（四个小球除所标数字外都相同），四个班级按A，B，C，D的次序依次从盒中随机摸出一个小球． （1）A班抽到1号道次的概率是　　 ； （2）若A班从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀后B班再从盒中随机摸出一个小球．请画树状图或列表，求A，B两班决赛时赛道相邻的概率． 【分析】（1）根据概率公式可进行求解； （2）根据列表法可进行求解． 【解答】解：（1）由题意知，其中摸出“1号道次”的结果有1种，共有4种等可能的结果， ∴A班抽到1号道次的概率是， 故答案为：； （2）由题意可列表如下： 1 2 3 4 1 / （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） / （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） / （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） / 共有12种等可能的结果，其中A，B两班决赛时赛道相邻的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种， ∴概率为． 【点评】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 19．（8分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，每降价1元，周销量可增加100瓶，规定每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款洗衣液每瓶进价是多少元？ (2)当每瓶售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． 【解答】解：（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元．根据题意，得 ， 解得， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元． （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润为w元， 则 ， ∵，其图象开口向下， ∴当时，w有最大值，为． 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点评】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE，过点E作EF⊥BC于点F． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若BC＝3，CF＝2CD，求BF的长． 【分析】（1）由旋转的性质可知AD＝AE，∠EAD＝120°，则有∠EAC＝∠DAB，然后问题可求证； （2）由题意易得∠B＝∠ACB＝30°，则有∠ECF＝∠ACE+∠ACB＝60°，然后可得EC＝2CF，设CD＝x，CF＝2x，则有EC＝DB＝CD+BC＝3+x，进而问题可求解． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE， ∴AD＝AE，∠EAD＝120°， ∵∠EAD＝∠CAB＝120° ∴∠EAD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD，即∠EAC＝∠DAB， 又∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝30°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝30°， ∴∠ECF＝∠ACE+∠ACB＝60°， 在Rt△ECF中，∠CEF＝30°， ∴EC＝2CF， 设CD＝x，CF＝2x，则有EC＝DB＝CD+BC＝3+x， ∴x+3＝2×2x， 解得x＝1， ∴CF＝2 ∴BF＝3﹣2＝1． 【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 21．（8分）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 【分析】（1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【解答】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 【点评】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． 22．（10分）素材1：小明家共有120m长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为120m．爸爸已经算出方案丙中，当EF＝15m时，所围的菜地面积最大． 任务1： （1）在方案甲中，AB长为　30　 m时，所围菜地面积最大，最大面积为　900　 m2； 任务2： （2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值； 【分析】（1）设AB＝xm，该长方形的面积为Sm2，则该长方形的宽为（120﹣2x）÷2＝（60﹣x）m，由题意得S＝x（60﹣x）＝﹣（x﹣30）2+900，然后根据二次函数的性质可求解； （2）设菜地面积为ym2，横向CD长为xm，则纵向长为，由题意得：，然后根据二次函数的性质可进行求解； 【解答】解：（1）乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为120m．爸爸已经算出方案丙中，当EF＝15m时，所围的菜地面积最大． 设AB＝xm，该长方形的面积为Sm2，则该长方形的宽为（120﹣2x）÷2＝（60﹣x）m， 由题意得：S＝x（60﹣x）＝﹣（x﹣30）2+900， ∵﹣1＜0， ∴当x＝30时，S有最大值，最大值为900； 故答案为：30，900； （2）设菜地面积为ym2，横向CD长为xm，则纵向长为，由题意得： ； ∵， ∴当CD＝20m时，面积y最大＝600； 答：方案乙所围菜地面积的最大值为600m2； 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/20 18:17:22；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $