第19章 二次根式能力素养提优单元检测试卷（B卷） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第19章 二次根式能力素养提优单元检测试卷（B卷） （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B C C D D C C C D 1．（2024秋•牧野区期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A.，因此选项A不符合题意； B.是最简二次根式，因此选项B符合题意； C.2，因此选项C不符合题意； D.2，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是正确解答的前提． 2．下列命题正确的是（　　） A．若a＞1，则（a﹣1） B．若3﹣a，则a≥3 C．与是同类二次根式 D．的算术平方根是3 【分析】根据二次根式的化简、算术平方根的定义、同类二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：A、若a＞1，则（a﹣1），故错误； B、若3﹣a，则a≤3，故正确； C、3与是同类二次根式，故正确； D、的算术平方根是，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与证明，掌握二次根式的化简、算术平方根的定义、同类二次根式的定义是解题的关键． 3．式子，，，，，，中，一定是二次根式的式子有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】像（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：二次根式有：，，，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题的关键． 4．已知是整数，则满足条件的最小正整数n等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】24＝22×6，所以要想能开平方，必须再乘一个6． 【解答】解：2， ∴最小n＝6才能开出去． 故选：C． 【点睛】本题的关键是取n的最小正整数，把根式里的写成平方的形式． 5．（2024春•淄博期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 【分析】根据二次根式的运算性质•（a≥0，b≥0），即可解答． 【解答】解：根据二次根式的运算性质•（a≥0，b≥0）可得： ， 解得：2≤x≤3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法的性质，注意性质运用的条件是解决本题的关键． 6．当时，x+y的值为（　　） A．2 B．5 C． D． 【分析】首先把的两边平方得出x+y+28﹣2，再把两边同乘2，得出222，代入前面的等式，整理得出答案即可． 【解答】解：∵， ∴两边平方得出x+y+28﹣2， ∵， ∴两边同乘2，得222， ∴x+y+228﹣2， 则x+y＝8﹣42． 故选：D． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，根据二次根式的特点，适当恒等变形，整理得出答案即可． 7．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式对A、D进行判断；根据多项式乘多项式的乘法对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断． 【解答】解：A、（3﹣2）（3+2）＝32﹣（2）2＝9﹣12＝﹣3，所以A选项错误； B、（2）（）＝2•2•••2ab，所以B选项错误； C、（3﹣2）2＝32﹣2×3×2（2）2＝9﹣1212＝21﹣12，所以C选项错误； D、（）（）＝（）2﹣（）2＝x﹣（x﹣1）＝1，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂． 8．若的整数部分为a，小数部分为b，则a﹣b的值为（　　） A． B．2 C．2 D．2 【分析】先求出的范围，求出a和b的值，把a、b的值代入a﹣b即可． 【解答】解：∵12， ∴的整数部分是a＝1，小数部分是b1， ∴a﹣b＝1﹣（1）＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，关键是估计出的范围，本题比较好，难度不大． 9．（2021春•涪城区校级月考）a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（　　） ①|c|＞|a|；②a+b＞a+c；③bc＞ac；④ab＞ac． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据已知逐一判断即可． 【解答】解：由图可得：|a|＞2＞|c|，故①错误； b＞c可得a+b＞a+c，故②正确； b＜a，c＜0，可得bc＞ac，故③正确； b＞c，a＞0可得ab＞ac，故④正确， 正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是不等式性质的应用． 10．若代数式的值为2，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a≤2 C．2≤a≤4 D．a＝2或a＝4 【分析】若代数式的值为2，即（2﹣a）与（a﹣4）同为非正数． 【解答】解：依题意，得|2﹣a|+|a﹣4|＝a﹣2+4﹣a＝2， 由结果可知（2﹣a）≤0，且（a﹣4）≤0， 解得2≤a≤4．故选C． 【点睛】本题考查了根据二次根式的意义与化简． 二次根式规律总结：当a≥0时，a；当a≤0时，a． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．如果，那么a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≤1 C．1≥a≥0 D．﹣1≤a≤0 【分析】根据二次根式的意义和性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：∵， 又∵， ∴a≤0且a+1≥0 解得﹣1≤a≤0． 故选：D． 【点睛】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12．若是二次根式，则x﹣2的值为 　　 ． 【分析】直接利用二次根式的定义得到x的值，再代入计算可得答案． 【解答】解：∵是二次根式是， ∴x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴x﹣2＝（﹣3）﹣2． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键． 13．如果是二次根式，那么x应该满足的条件是 x≤2　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可． 【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 所以x应满足的条件是x≤2的实数． 故答案为：x≤2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数． 14．（2024秋•怀化期末）化简的结果为　　 ． 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式加减运算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 15．当x＝　﹣5　 时，既是最简二次根式，被开方数又相同． 【分析】最简二次根式是根号内没有再被开方的数，令两被开方数相等，解出x，然后检验是不是最简二次根式． 【解答】解：若既是最简二次根式， 则x2+3x＝x+15， 解得x＝﹣5或3， 当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式， 故x＝﹣5． 【点睛】本题主要考查最简二次根式的知识点，不是很难． 16．（2024秋•青浦区校级期中）当x≤0时，化简的结果是 　0　 ． 【分析】根据已知条件、绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵x≤0， ∴﹣x≥0， ∴ ＝﹣x﹣（﹣x） ＝﹣x+x ＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 17．用计算器计算可以发现：1111，…，由此可得　111111111　 ． 【分析】利用二次根式的性质结合数字变化规律化简求出即可． 【解答】解：∵1111，…， ∴由此可得111111111． 故答案为：111111111． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用已知发现数字变化规律是解题关键． 18．若2x10，则x的值等于　2　 ． 【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得． 【解答】解：310， 510， 2， 则2x＝4， x＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 三．解答题（共6小题，46分） 19．（6分）（2024春•任城区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再算乘法，同时将除法转化为乘法，然后计算即可． 【解答】解：（1） ＝22 ＝3； （2） ＝4 ＝3 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（12分）（2025秋•松江区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用乘法公式化简，分母有理化，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法公式化简，再约分，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用二次根式的乘法和性质化简，再合并同类二次根式即可； （4）根据题意得到x＞0，y＞0，利用二次根式的乘除法和性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）由于x＞0，所以y＞0， 原式 ＝0． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 21．（8分）（2024秋•江口县期末）阅读下列材料． 材料一：化简：． 解：由可知，有隐含条件1﹣3x≥0，解得， ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 材料二：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：∵， ∴|a﹣1|+|a﹣3|＝2． 当a＜1时，|a﹣1|＝1﹣a，|a﹣3|＝3﹣a， ∴（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，|a﹣1|＝a﹣1，|a﹣3|＝3﹣a， ∴（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，|a﹣1|＝a﹣1，|a﹣3|＝a﹣3， ∴（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． ∴a的取值范围是1≤a≤3． （1）按照上面的解法，化简：； （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　﹣a﹣2b ； （3）若，求x的取值范围． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，a+b＜0，b﹣a＞0，然后根据二次根式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． 【解答】解：（1）由可知：2﹣x≥0， ∴x≤2， ∴x﹣3＜0， ∴ ＝|x﹣3|﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x ＝1； （2）由数轴知：a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，b﹣a＞0， ∴ ＝|a|+|a+b|﹣|b﹣a| ＝﹣a+（﹣a﹣b）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a ＝﹣a﹣2b； （3）由条件可知|x﹣5|+|x﹣8|＝3， 当x＜5时，|x﹣5|＝﹣x+5，|x﹣8|＝﹣x+8， ∴﹣x+5﹣x+8＝3， ﹣2x+13＝3， ﹣2x＝﹣10， x＝5（舍去）； 当5≤x≤8时，|x﹣5|＝x﹣5，|x﹣8|＝﹣x+8， ∴x﹣5﹣x+8＝3，符合条件； 当x＞8时，|x﹣5|＝x﹣5，|x﹣8|＝x﹣8， ∴x﹣5+x﹣8＝3， ∴x＝8（舍去）； ∴x的取值范围为5≤x≤8． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 22．（6分）（2023春•越秀区校级期中）（1）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （2）已知，，求x2﹣2xy+y2和的值． 【分析】（1）由数轴可得﹣1＜a＜0，b＞1，从而可得a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，再进行化简即可； （2）由题意可得x﹣y，xy，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【解答】解：（1）由数轴可得：﹣1＜a＜0，b＞1， ∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝a+1+2（b﹣1）+a﹣b ＝a+1+2b﹣2+a﹣b ＝2a+b﹣1； （2）∵，， ∴x﹣y，xy， ∴x2﹣2xy+y2 ＝（x﹣y）2 ＝（）2 ＝3， ＝8． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 23．（8分）（2023秋•临川区校级月考）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求3a2﹣12a﹣1的值； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）利用这一规律计算：． 【分析】（1）先化简a，再代入代数式计算即可； （2）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （3）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 【解答】解：（1）∵， ∴原式 ， ， ＝2； （2）∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）∵， ， ， ⋯， ∴原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 24．（6分）（2014•青海）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝2． 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可． 【解答】解： ， 当x＝2，y＝2时， 原式1． 【点睛】此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式能力素养提优单元检测试卷（B卷） （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024秋•牧野区期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（　　） A．若a＞1，则（a﹣1） B．若3﹣a，则a≥3 C．与是同类二次根式 D．的算术平方根是3 3．式子，，，，，，中，一定是二次根式的式子有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．已知是整数，则满足条件的最小正整数n等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024春•淄博期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3 6．当时，x+y的值为（　　） A．2 B．5 C． D． 7．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若的整数部分为a，小数部分为b，则a﹣b的值为（　　） A． B．2 C．2 D．2 9．（2021春•涪城区校级月考）a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（　　） ①|c|＞|a|；②a+b＞a+c；③bc＞ac；④ab＞ac． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若代数式的值为2，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a≤2 C．2≤a≤4 D．a＝2或a＝4 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．如果，那么a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≤1 C．1≥a≥0 D．﹣1≤a≤0 12．若是二次根式，则x﹣2的值为 　 ． 13．如果是二次根式，那么x应该满足的条件是 ． 14．（2024秋•怀化期末）化简的结果为　 ． 15．当x＝　 　 时，既是最简二次根式，被开方数又相同． 16．（2024秋•青浦区校级期中）当x≤0时，化简的结果是 　 　 ． 17．用计算器计算可以发现：1111，…，由此可得　 　 ． 18．若2x10，则x的值等于　 　 ． 三．解答题（共6小题，46分） 19．（6分）（2024春•任城区期末）计算： （1）； （2）． 20．（12分）（2025秋•松江区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．（8分）（2024秋•江口县期末）阅读下列材料． 材料一：化简：． 解：由可知，有隐含条件1﹣3x≥0，解得， ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 材料二：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：∵， ∴|a﹣1|+|a﹣3|＝2． 当a＜1时，|a﹣1|＝1﹣a，|a﹣3|＝3﹣a， ∴（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，|a﹣1|＝a﹣1，|a﹣3|＝3﹣a， ∴（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，|a﹣1|＝a﹣1，|a﹣3|＝a﹣3， ∴（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． ∴a的取值范围是1≤a≤3． （1）按照上面的解法，化简：； （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　 ； （3）若，求x的取值范围． 22．（6分）（2023春•越秀区期中）（1）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （2）已知，，求x2﹣2xy+y2和的值． 23．（8分）（2023秋•临川区校级月考）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求3a2﹣12a﹣1的值； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）利用这一规律计算：． 24．（6分）（2014•青海）先化简，再求值：，其中x＝2，y＝2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $