专题07 规律性探究问题（B22、23题）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题07 规律性探究问题压轴题专项训练 （B22、23题） 1．（石室）如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于第 行 列． 【答案】 17 11 【分析】本题是数字类的规律题，此类题变化多样，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样；因此要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；有时也会利用方程解决问题．前5行的数表显示的规律有：①第行有个数；②每一行的同一列的分母相同；③每一行的分母与分子是连续整数的正排列和倒排列；④第行的任意一个数的分子与分母的和为；因此根据这些规律得出结论． 【详解】解：观察数表，发现：①第一行的每个数的分子、分母的和为2，第二行的每个数的分子、分母的和为3，第三行的每个数的分子、分母的和为4，，由此可知，就是每行各数的分子、分母的和为行数加1， ②每行的第一个数的分子为1，第二个数的分子为2，，即分子是几就是第几个数； 所以所在的行数为，即第17行中，位于自左至右第11个数． 故答案为：17，11 2．（金牛区）如图，已知点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，……连续这样操作次，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，根据定义得出是解题关键． 根据线段中点的定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：，、分别为、的中点， ， 、分别为、的中点， ， 同理可得：， …… ， ． 故答案为：． 3．（锦江区）信息1：新定义：将线段的两端点标注不同颜色，就称此线段为双色点线段，如图，已知线段上有n个点，依次记为点，，，…，且每个点都标上了红色或蓝色，并且线段的两端颜色不同，已知点与的颜色不同，在，，中有m条双色点线段． 信息2：观察下面三行数字： ①2，，8，，32… ②7，，25，，97… ③，9，，33，… 取每一行的第6个数，依次记为A，B，C，则 ；取每一行的第m个数（与信息1中m代表的数相同），依次记为A，B，C，其中最大数与最小数的差为 ．（用含m的式子表示） 【答案】 （m为奇数且） 【分析】本题考查了数字规律问题，发现数列中数字之间的规律是解题的关键．根据题意求出每一行的规律，然后依次求出A，B，C的值，求解即可． 【详解】解：信息1：线段上每遇到一次颜色变化，就有一条双色点线段， ∵点与的颜色不同， ∴双色点线段数量等于颜色变化次数，即m，且为奇数， 信息2：根据题意得， 第①行的第n个数表示为， ∴第6个数为； 第②行的第n个数表示为， ∴第6个数为； 第③行的第n个数表示为， ∴第6个数为， ∴； 对于第m个数且，， ∵为奇数， ∴为偶数， ∴， ∴，最大数与最小数的差为， 故答案为：，（m为奇数且）． 4．（双流区）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，设为最大数字，分两种情况，当时和时，可以表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【详解】∵随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2， ∴设为最大数字， 当时， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵m的最大值为2025， ∴ ∴ ∴此时任意输入后得到的最小数为； 当时， 设， ∵输入的三个数为x，y，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或2027 ， ∴m的最小值是2021． 故答案为：2021． 5．（树德实验）如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2个黑色小圆点，第②个图形中有8个黑色小圆点，第③个图形中有将17个黑色小圆点：……，按此规律，则第⑥个图中黑色小圆点的个数是 ． 【答案】62 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色棋子数的变化，找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键．设第n个图形中有颗黑色棋子（n为正整数），根据各图形中黑色棋子数的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，再代入即可求出结论． 【详解】解：设第n个图形中有颗黑色棋子（n为正整数）， ∵，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴． 故答案为：62． 1．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这 n 个自然数中，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究．发现：当 时，只有一种取法，即；当 时，有 和两种取法，即；当时，可得；．若，则 k 的值为 ；若，则 k 的值为 ． 【答案】 6 306 【分析】本题考查数字变化规律，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的两个数的规律．时，从1，2，3，4，5中，取两个数的和大于5，这两个数分别是，，，，，，可得；当时，从1，2，3......32，33，34，35中，取两个数的和大于35，根据规律可得． 【详解】解：当时，从1，2，3，4，5中，取两个数的和大于5，这两个数分别是 ，，，， ，， ； 当时，从1，2，3......32，33，34，35中，取两个数的和大于35，这两个数分别是： ， ，， ，， ，， ，， ； 故答案为：6，306． 2．电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从点跳到边上点，且；第三步跳蚤从点跳回到边上点，且．跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可得前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，得出答案，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，且， ， 点在上，且， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 3．将1，2，3，…，50这50个整数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，代入代数式 中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，则这25个值的和的最大值是 ． 【答案】950 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，绝对值的化简，解题的关键是理解题意，找出规律． 分析出代数式 的值等于a和b中的较大数，将较大的数配对较小的数，然后求和即可． 【详解】解：对于每组两个数a和b，当时，； 当时，同理可得值为b； 因此，该代数式的值等于a和b中的较大数， 25个值的和等于25组中每组较大数的和，要最大化这个和，应将较大的数配对较小的数，使得每组较大数尽可能大， 故将26至50这25个数与1至25这25个数配对，此时每组较大数均为26至50中的数，这些数构成等差数列，首项为26，末项为50，项数为25，和为， 故答案为：950． 4．嘉祥某校区的是数学节上，小何同学展示了一种神奇的“阶梯数”，该数为一个四位数字（表示这个四位数字千、百、十、个位数字分别为a，b，c，d，且均不为0），且满足．例如：数字1235满足12 + 23 = 35，则1235为“阶梯数”，又如数字3241中，，则3241不是“阶梯数”．若是一个“阶梯数”，则n的值为 ；若是一个“阶梯数”中的与的差，减去12，结果能被5整除，则满足条件的x的和为 ． 【答案】 7 3 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解题意是解题关键． 根据阶梯数的定义，列出方程求解n；首先根据阶梯数的条件得到z关于x和y的表达式，再根据差减12能被5整除的条件得到x满足的同余关系，结合z为数字的约束求解x的可能值，并求和即可． 【详解】解：∵是“阶梯数”， ∴，即， 整理得， 解得：； 设为阶梯数， ∴， 整理得； ∵与的差，减12，结果能被5整除， ∴， ∴能被5整除， ∵， ∴能被5整除， ∴除以5后，余数为3， ∴将代入得 除以5余3， 即除以5余3， ∴x除以5余3， ∵x为1至9的数字， ∴x可能为3或8， ∵z为数字需满足 ，即 ， 当时，解得，满足条件； 当时，代入解得， ∵为至的整数， ∴无解； 故满足条件的x只有3，和为3； 故答案为：7；3． 5．用表示一个数列中的第个数，例如：表示第一个数，表示第二个数，表示第三个数……．在某个数列中，若，，从第三个数开始，，，，……以此类推．下列说法：①；②；③；④当时，关于的方程的解为．其中，正确的是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据数列的计算方法分别算出，即可判断；根据数列，可得以为循环，又计算得到，即可求出的结果，判断；把，代入方程求解即可判断 【详解】解：∵ ，与说法①一致，故①正确． ∵ ∴，而说法②为 ，故②错误． ∴数列周期为6，． 一个周期的和：． ，故前2024项和为 ，而说法③为 ，故③错误． ∵，（因 余 ）． 方程 即 ， 整理得 ，即 ． 当 时，， 故 ，解得 ， 故④正确． 综上所述：正确的是①④． 故答案为①④． 6．一个各数位上的数字互不相等且均不为0的三位自然数，若满足：十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，则称该数为“莲华数”．例如：678，因为，所以678为“莲华数”．458，因为，所以458不是“莲华数”． （1）最小的“莲华数”是 ． （2）若“莲华数”满足：，且是13的倍数．则的最大值为 ． 【答案】 123 468 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）寻找最小的三位“莲华数”，需百位数字最小，且满足十位数字等于百位与个位数字的平均数，数字互异且非零; （2）寻找小于500且是13倍数的“莲华数”中的最大值，需从百位最大开始枚举满足条件的数，并验证13的倍数． 【详解】解：设三位数m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 由题意，，且a、b、c互不相等且均不为0， （1）欲使m最小，取（百位最小），故c为奇数，且， 取（最小可能值）， 得， 数字1、2、3互异且非零，故； （2）由于，故百位数字， m为最大“莲华数”，故取，故c为偶数，且，， 故c可能值为2、6、8， 当时，，，不是13的倍数，舍去； 当时，，，不是13的倍数，舍去； 当时，，，，是13的倍数； 故答案为：；468． 7．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1；若它是偶数，则除以2，称此运算为“奇偶运算”．（例如：自然数3经过一次“奇偶运算”所得结果为，再经过一次“奇偶运算”所得结果为）．若自然数m经过7次“奇偶运算”所得结果为1，则所有满足条件的m的值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了数字类规律探索，解题关键在于注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 通过反向推导，从第7次运算后的结果1开始，逐步反向进行“奇偶运算”的逆操作，得到所有可能的初始值m，并统计个数． 【详解】解：， 则所有符合条件的m的值为：、、、、3、2，共6个， 故答案为：6． 8．有一个数字游戏：对一个两位数作“变换”，先把的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到……． 若，则 ； 在（1）的条件下，将作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依次规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有 9 个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数推理与归纳，数位运算，解题的关键在于发现周期，并且转化题意；易错点在于按照规则进行数位计算容易混淆，周期计算错误． （1）对于，按照变换规则逐步计算到的值； （2）再根据规则计算序列，发现具有周期性，周期为 10，抽取下标为3的倍数的项，与 相等，即下标为10的倍数，转化问题为，在到之间，既能被整除，又能被整除的数，就是满足条件的项数． 【详解】（1）由，十位数字为1，个位数字为 3 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，故； 计算：十位数字加2得 ，个位数字加7得，取个位数4，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数1，故 ； 计算：十位数字加2得，取个位数1，个位数字加7得，故 ； 故答案为18． （2）由（1）我们已经计算到， 继续往下计算： 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数5，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数2，故 ； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，故； 计算：十位数字加2得，个位数字加7得，取个位数6，故 ； 计算：十位数字加2得，取个位数1，个位数字加7得，取个位数3，故； 我们发现，所以周期为10， 抽取下标为 3 的倍数的项：， 由于要满足每10个数为一个周期，抽取的下标也要满足是10的倍数， 和的最小公倍数为30， 即在到之间的倍数的个数：需取整数． 故答案为． 10．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形如图，当长方形内有个点时，可分得个三角形；当长方形内有个点时，可分得个三角形（不计被分割的三角形）．若将长方形换成边形，其余条件不变，内有个点，则边形可分得的三角形个数为 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，列代数式，先根据规律得：以长方形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：，从而得边形，内有个点，可分得的三角形个数为：，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：以长方形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：； 以长方形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：； 以长方形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：； ； 以长方形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：； 所以边形，内有个点，可分得的三角形个数为：， 故答案为：． 11．一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 【答案】 22 【分析】本题考查了数字规律，先列举出所有的结果即可求出k，然后根据、、、对应k的值，找出规律即可． 【详解】解：当时，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，满足条件，共22个， ∴； 当时，， 当时，， 当时，，，，，，，，，，，，满足条件，共12个， ∴， 当时，， …… ∴对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数， 故答案为22；． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 规律性探究问题压轴题专项训练 （B22、23题） 1．（石室）如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于第 行 列． 2．（金牛区）如图，已知点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，……连续这样操作次，则 ． 3．（锦江区）信息1：新定义：将线段的两端点标注不同颜色，就称此线段为双色点线段，如图，已知线段上有n个点，依次记为点，，，…，且每个点都标上了红色或蓝色，并且线段的两端颜色不同，已知点与的颜色不同，在，，中有m条双色点线段． 信息2：观察下面三行数字： ①2，，8，，32… ②7，，25，，97… ③，9，，33，… 取每一行的第6个数，依次记为A，B，C，则 ；取每一行的第m个数（与信息1中m代表的数相同），依次记为A，B，C，其中最大数与最小数的差为 ．（用含m的式子表示） 4．（双流区）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 5．（树德实验）如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2个黑色小圆点，第②个图形中有8个黑色小圆点，第③个图形中有将17个黑色小圆点：……，按此规律，则第⑥个图中黑色小圆点的个数是 ． 1．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这 n 个自然数中，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究．发现：当 时，只有一种取法，即；当 时，有 和两种取法，即；当时，可得；．若，则 k 的值为 ；若，则 k 的值为 ． 2．电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从点跳到边上点，且；第三步跳蚤从点跳回到边上点，且．跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 3．将1，2，3，…，50这50个整数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，代入代数式 中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，则这25个值的和的最大值是 ． 4．嘉祥某校区的是数学节上，小何同学展示了一种神奇的“阶梯数”，该数为一个四位数字（表示这个四位数字千、百、十、个位数字分别为a，b，c，d，且均不为0），且满足．例如：数字1235满足12 + 23 = 35，则1235为“阶梯数”，又如数字3241中，，则3241不是“阶梯数”．若是一个“阶梯数”，则n的值为 ；若是一个“阶梯数”中的与的差，减去12，结果能被5整除，则满足条件的x的和为 ． 5．用表示一个数列中的第个数，例如：表示第一个数，表示第二个数，表示第三个数……．在某个数列中，若，，从第三个数开始，，，，……以此类推．下列说法：①；②；③；④当时，关于的方程的解为．其中，正确的是 ． 6．一个各数位上的数字互不相等且均不为0的三位自然数，若满足：十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，则称该数为“莲华数”．例如：678，因为，所以678为“莲华数”．458，因为，所以458不是“莲华数”． （1）最小的“莲华数”是 ． （2）若“莲华数”满足：，且是13的倍数．则的最大值为 ． 7．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1；若它是偶数，则除以2，称此运算为“奇偶运算”．（例如：自然数3经过一次“奇偶运算”所得结果为，再经过一次“奇偶运算”所得结果为）．若自然数m经过7次“奇偶运算”所得结果为1，则所有满足条件的m的值有 个． 8．有一个数字游戏：对一个两位数作“变换”，先把的十位数字加2，将和的个位数作为新数的十位数字，再把的个位数字加7，将和的个位数作为新数的个位数字，记这个新的两位数为；将按同样的“变换”方式得到；将按同样的“变换”方式得到……． 若，则 ； 在（1）的条件下，将作“变换”依次得到了，，，…，，再从这2025个数中依次规律地抽取出，，，，…，，其中与值相等的数有 9 个． 9．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形如图，当长方形内有个点时，可分得个三角形；当长方形内有个点时，可分得个三角形（不计被分割的三角形）．若将长方形换成边形，其余条件不变，内有个点，则边形可分得的三角形个数为 个． 10．一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $