专题03 动角问题（A18题）（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题03 动角问题压轴题专项训练（A18题） 1．（金牛区）已知，顶点在直线上，平分． (1)如图1，若，则______； (2)若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 2．（金牛区）已知，顶点在直线上，平分． (1)如图1，若，则______； (2)若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 3．（武侯区）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，解答下列问题： i）请直接写出与之间满足的数量关系； ii）若射线和射线分别平分，，求的度数． 4．（石室）刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 5．（龙泉区）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在的内部，设． ①若OB平分，求； ②若，求． 1．综合与探究 情境一：（1）如图1，C为线段上的动点（不与点A，B重合），M，N分别是，的中点． ①若线段，，则线段的长为______； ②设线段，，则线段的长为_____．（用含a，b的代数式表示） 情境二：（2）如图2，是内部的一条射线，射线平分，射线平分． ①若，则的度数为_____． ②设，求的度数（用含的代数式表示）． （3）是所在平面内的一条射线，，，射线平分，请你直接写出的度数． 2．数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转． (1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明； (2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，则________． 3．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角形的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方，已知，． (1)将图1中的绕点逆时针旋转至图2，使边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，则的值为______（直接写结果） (3)将图1中的绕点旋转至图3位置，使在内部，求此时与的数量关系． 4．【问题背景】 点为直线上一点，在直线同侧作射线、（在的左侧），使得． 【问题再现】 （1）如图1，过点作射线，若平分，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点作射线、，若平分，平分，且，求的度数； 【拓展提升】 （3）若过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 5．在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 6．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点．若，则线段 ； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出 ．（用含α的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出 ． 7．综合与实践 【特例感知】（1）如图1，已知线段，点C为线段上的一点，，点D为线段的中点，求线段的长； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，，射线平分，求的度数； 【拓展探究】（3）如图3，已知，射线在内部，，射线在内部，由三条射线、、得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，平分，直接写出的度数． 8．如图1，点A，O，B在同一条直线上，是射线，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上，且（），是射线，且（），射线和射线分别平分和．请你画出相应的图形，并求出的度数（用含或的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 动角问题压轴题专项训练（A18题） 1．（金牛区）已知，顶点在直线上，平分． (1)如图1，若，则______； (2)若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了角平分线，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）先求出，再根据角平分线定义得，然后根据即可得出答案； （2）根据角平分线定义设，则，，由此可得出与之间的数量关系； （3）根据角平分线定义设，则，，由此可得出的度数． 【详解】（1）解：，顶点在直线上， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）解：与之间的数量关系是：，理由如下： 平分， 设， ， ， ， ， ； （3）解：平分， 设， ， ， ， ， ． 2．（金牛区）已知，顶点在直线上，平分． (1)如图1，若，则______； (2)若将绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点沿顺时针方向旋转至图3的位置，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了角平分线，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）先求出，再根据角平分线定义得，然后根据即可得出答案； （2）根据角平分线定义设，则，，由此可得出与之间的数量关系； （3）根据角平分线定义设，则，，由此可得出的度数． 【详解】（1）解：，顶点在直线上， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）解：与之间的数量关系是：，理由如下： 平分， 设， ， ， ， ， ； （3）解：平分， 设， ， ， ， ， ． 3．（武侯区）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)请用尺规作图的方法在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，解答下列问题： i）请直接写出与之间满足的数量关系； ii）若射线和射线分别平分，，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2)i）；ii） 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、与角平分线有关的计算，熟练掌握尺规作图和角平分线的计算是解题关键． （1）先以点为圆心、任意长为半径画弧，分别交射线于点，再以点为圆心、长为半径画弧，两弧在的外部交于点，然后经过点作射线，则即为所求； （2）i）设，根据角的和差可得，，由此即可得； ii）先画出图形，设，根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：i），求解如下： 设， ∵， ∴，， ∴． ii）由题意，画出图形如下： 设， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 4．（石室）刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)；或； (3)或． 【分析】（1）B是中点，求得，，再根据，求得，即可求出； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动，则时，分钟在6时处，时针在8时过的地方，即； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）根据，进行分类解答即可． 【详解】（1）解：B是中点， ； ； ； ； ； ， 故答案为：； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为，， 故答案为：； ②当在内部时， ； 当在外部时， （3）解：设经过时间为分钟，时针与分针得速度差为， OM平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． 5．（龙泉区）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB一直在的内部，设． ①若OB平分，求； ②若，求． 【答案】(1)75°； (2)①；②40°． 【分析】（1）根据平角定义，利用角的差∠BOD=180°-∠AOB-∠COD运算即可； （2）①根据补角性质求出∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线定义求出∠EOB=，再根据两角差即可； ②根据角的和求出∠AOC=∠AOB+∠BOD+∠COD=105°+∠BOD，然后列方程求出，求出，再求补角即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=180°-45°-60°=75°； （2）解：①∵， ∴∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°， ∵OB平分， ∴∠EOB=， ∵， ∴； ②∵，． ∴∠AOC=∠AOB+∠BOD+∠COD=45°+∠BOD+60°=105°+∠BOD， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴=180°-∠AOC=180°-140°=40°． 【点睛】本题考查三角板中形成的角计算，平角，补角，角平分线有关的计算，角的和差倍分，一元一次方程，本题难度不大，是角中计算的典型题． 1．综合与探究 情境一： （1）如图1，C为线段上的动点（不与点A，B重合），M，N分别是，的中点． ①若线段，，则线段的长为______； ②设线段，，则线段的长为_____．（用含a，b的代数式表示） 情境二： （2）如图2，是内部的一条射线，射线平分，射线平分． ①若，则的度数为_____． ②设，求的度数（用含的代数式表示）． （3）是所在平面内的一条射线，，，射线平分，请你直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【分析】本题考查了中点的性质，角平分线的定义，角的和差，注意分类讨论． （1）根据线段中点的性质，可得，； ①将，代入，，再根据线段的和差，可得答案； ②将，代入，，再根据线段的和差，可得答案； （2）根据角平分线的定义得，，进而推出； ①将代入计算即可； ②将代入可得答案； （3）分两种情况讨论：当在的上方时；当在的下方时，根据角的和差和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点， ∴，， ①∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：； （3）分以下两种情况讨论： 如图，当在的上方时， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴； 如图，当在的下方时， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴． 综上所述，的度数为或． 2．数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转． (1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明； (2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，则________． 【答案】(1)，证明见详解 (2)； (3)或 【分析】本题考查了有关三角板中的角度计算； （1）由角的和差得，即可求解； （2）如图２，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时，由角的和差得，，将此代入，即可求解；如图３，当、都不在三角尺的内部时，同理可求． （3）将代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：， 证明： 三角尺的两边，都在三角尺的内部， ， ， ； （2）解：如图2，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时， ，， ， ， ， ； 如图3，当、都不在三角尺的内部时， ， ， ， ； （3）解：当时， 或， 解得或． 3．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角形的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方，已知，． (1)将图1中的绕点逆时针旋转至图2，使边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，则的值为______（直接写结果） (3)将图1中的绕点旋转至图3位置，使在内部，求此时与的数量关系． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)13或49秒 (3) 【分析】此题考查了角平分线及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． （1）根据余角的性质得到，等量代换得到，即可解答； （2）根据的反向延长线平分或射线平分，可知逆时针旋转的角度，在除以速度即可求得解答； （3）根据，，分别求得，，求出即可解答． 【详解】（1）解：直线平分，理由如下： ∵， ， ，， 平分， ， ， ， ， 直线平分； （2）解：如图2，当直线平分时， ∵， ， ， ， ， 即逆时针旋转了， 三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴旋转时间（秒）， 如图3，当平分时， 则， ∴， ∴逆时针旋转了， 三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转， ∴旋转时间（秒）， 综上所述，直线恰好平分，n的值为13或49． 故答案为：13或49； （3）解：， ． 4．【问题背景】 点为直线上一点，在直线同侧作射线、（在的左侧），使得． 【问题再现】 （1）如图1，过点作射线，若平分，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，过点作射线、，若平分，平分，且，求的度数； 【拓展提升】 （3）若过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图中角度的计算，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，最后由平角的定义计算即可得出结果； （2）由角平分线的定义可得，，求出，最后由平角的定义计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在的右侧时，当在的左侧时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）如图，当在的右侧时， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图，当在的左侧时， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 5．在同一平面内，将一副三角尺按图所示方式放置在一起，，，边在内部． (1)猜想与之间的等量关系，并说明理由； (2)如图，作平分平分，若，求的度数； (3)在（）的条件下，将三角尺绕点按顺时针方向旋转至图所示位置（三角尺在直线下方），若，且，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． 【答案】(1)；证明见解析 (2) (3)，是定值． 【分析】本题主要考查三角板的特殊角度，结合角的和差运算、角平分线定义，推导角度关系． （）通过分析的角组成，利用角的和差等量代换，推导出与的和为定值； （）先根据，结合三角板特殊角算出和的度数，再依据角平分线定义求出对应半角，最后通过角的组合计算； （）针对旋转，先分析与的数量关系，再用角平分线定义表示相关半角，通过角的和差化简推导，判断是否为定值． 【详解】（1）解： 理由： ∵， ∴ 即 （2）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴． 故是定值． 6．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点．若，则线段 ； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出 ．（用含α的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出 ． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4）80． 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 7．综合与实践 【特例感知】（1）如图1，已知线段，点C为线段上的一点，，点D为线段的中点，求线段的长； 【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，，射线平分，求的度数； 【拓展探究】（3）如图3，已知，射线在内部，，射线在内部，由三条射线、、得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，平分，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）或； 【分析】本题考查了线段、角的和差，解题关键是通过和倍关系分析数量关系． （1）利用“”得，求出，再由是中点得． （2）由“”得，求出，再由平分得． （3）分“倍小角”“”两种情况，先求，再由平分得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴． ∵点D为线段AC的中点， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． （3）①如图： 当或时， 此时平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 当时，此时， ∴． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 综上所述：的度数为或． 8．如图1，点A，O，B在同一条直线上，是射线，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上，且（），是射线，且（），射线和射线分别平分和．请你画出相应的图形，并求出的度数（用含或的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，掌握角平分线的定义和找到角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：点A，O，B在同一条直线上， ，， ， ， 和分别平分和， ， ， ， 则的度数为； （2）解：和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ， 则的度数为； （3）解：和分别平分和， ，， 第一种情况如下图2， ， ， ，， ； 第二种情况如下图， ， ， ，， ； 综上可知：的度数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $