专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。解决此模型问题需要我们掌握解决类问题的方法，要对该模型有所熟悉，这样就可以快速得到角之间的关系，从而求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山西太原·二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．    下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线AC； 方法二：延长BC交AD于点E； 方法三：连接BD． 请选择上述一种方法，求的度数． 【答案】，方法见解析 【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出即可解得； 选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出即可解得； 选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出，在中，，再根据角之间的和差即可求出． 【详解】解：选择方法一： 如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E． ∵是的外角， ∴． 同理可得． ∴． ∴． ∵，，， ∴    选择方法二： 如答图2，延长BC交AD于点E． ∵是的外角， ∴． 同理可得． ∴． ∵，，， ∴    选择方法三： 如答图3，连接BD． 在中，． ∴ ∴． 在中，． ∴． ∵，，， ∴    【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题． （2025·山东青岛·一模）【阅读理解】 三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于． 如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】 如图③，点D，E分别是的边延长线上一点， （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． 【拓展延伸】 如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）． 【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）同理求解即可； （4）根据角平分线的定义可得出，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可； （5）由，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可； （6）由，，即可求出，结合（3）可知，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）由三角形外角的性质可得出． 故答案为：； （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （3）由（2）同理可得． ∵，， ∴ 故答案为：； （4）∵和的平分线交于点O， ∴，， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． 故答案为：； （5）∵，， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． 故答案为：100； （6）∵，， ∴． 由（3）可知， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的n等分点的定义．利用数形结合的思想是解题关键． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 例2（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长、交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 故选：C． 例3（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：；归纳结论：；深入探究：；拓展延伸：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：不变；理由如下： ∵，， ∴． 例4（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解 (2)50 (3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答． （2）把代入，进行计算即可作答． （3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答． 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得； 在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 例5（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．    下面是琳琳同学的解答过程： ，， ，． 由折叠得， 任务： (1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． (2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．    【答案】(1)见解析 (2)25° 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角．掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据折叠的性质，三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ，． 由折叠得，， ∴； （2）如图：    ∵， ， ∵， ∵折叠， ∴， ∵，即：， ∴， ∴． 例3（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)54 (3)；理由见解析 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、， ∴，即， ∵，，， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：；理由如下： 如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 例4（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到． (1)如图，若，则______； (2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得 ，进而可求出的度数； （2）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得 ，进而可求出，，之间的关系． 【详解】（1）在中，， ∴． 由折叠的性质，可知：，， ∴． 又∵∠， ∴ ． 故答案为：； （2）． 证明：在中，， ∴． 由折叠的性质，可知：， ∴． 又∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 例5（24-25七年级下·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】(1)260° (2)160° (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可； （2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘ （3）连接．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出，再由三角形内角和定理即可求解； （4）设AB与交于点F，根据三角形外角得出，，再由折叠的性质得出，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可 【详解】（1）解：∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴， 故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折， ∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’, ∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°， 故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A， ∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，， 由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1， 度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即 度． 【答案】 360 180 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，三角形内角和定理，延长交于点D，根据多边形的外角的性质可求解，进而可求得的度数；利用及三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：如图1，延长交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 类比图1中的结论，由图2可得， ∵， ∴， 故答案为：360；180． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【详解】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质与角平分线的计算，熟知三角形外角与内角之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，根据三角形外角的性质可推出，结合已知条件和角平分线的定义可得，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵， ， ， ， 分别平分， ， 同理可得，， ， 需将增大． 故答案为：10． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【详解】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 6．（24-125七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作直线，根据平行线的性质，得到，再判定，得到，即可求出的度数； （3）过点F作，根据角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质，得到，最后利用，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）过点C作直线， ， ， ， ， ； （3）过点F作， ， ， ． 7．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用角平分线的定义得到，，利用三角形的外角的性质得到，再利用三角形的外角的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的结论得到，利用角平分线的定义和平角的应用求得，再利用直角三角形的性质解答即可； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的内角和定理，平角的定义和（1）的结论得到，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：为的平分线， ， 为的平分线， 为的外角， ， ， 为的外角， ， ， ； （2）解：点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）延长交于点，延长交于点，如图所示： ，， ， ， 点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及其推论、平角的定义、四边形的性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示） 【答案】（1）或；（2）；（3）或或或或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三等分线， 对于（1），分两种情况：当是“邻三分线”时，根据三角形外角的性质可得，进而得出答案；当是“邻三分线”时，结合可得答案； 对于（2），先根据三角形内角和定理得，再根据三分线的定义可得，进而求出，最后根据三角形内角和定理求出答案； 对于（3），分为四种情况： 情况一：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案； 情况二：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案； 情况三：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，根据可得答案； 当时，根据可得答案； 情况四：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案. 【详解】解：（1）如图， 当是“邻三分线”时， ∵， ∴； 当是“邻三分线”时， ∵， ∴； 综上所述，或. 故答案为：或； （2）如图， ∵， ∴， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）分为四种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ∴； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ∴； 情况三： 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，如图3， 由外角可得：， ∴； 当时，如图4， 由外角及对顶角可得：， ∴； 情况四、如图5， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ∴； 综合上述：的度数是或或或或． 故答案为：或或或或． 10．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）四边形中， (1)，． ①如图1，若，试求出的度数； ②如图2，若的角平分线交于点，且，试求出的度数； (2)如图3，若和的角平分线交于点，探究与、的关系． 【答案】(1)①；②； (2). 【分析】本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键． （1）①根据四边形的内角和等于360°列式即可求解； ②先根据平行线的性质求出与的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据四边形的内角和等于360°求解即可； （2）先根据再根据角平分线的定义可得，进而利用三角形的内角和定理得出，结合四边形的内角和等于得出，整体代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， 解得； ②∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题． （1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此； （3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到． 【详解】（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立．证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求得，由角平分线得到，根据互余关系求解，再由即可求解； （2）由互余和三角形外角性质得到，，再由三角形内角和定理得到，然后代入化简即可； （3）同（2）解题思路即可求解． 【详解】（1）解：由题意得． 又是的角平分线， ． 又是的高， ． ． （2）证明：∵ ， ∵， 又， ． （3）解：成立，理由如下． 证明：同理，，， 又， ． 即． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】；见解析． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，角的计算的题目，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由角平分线的性质得，，，由三角形外角的性质得， ，结合，，综合可得结果； 【详解】解：，与之间的数量关系是， 证明：如图，延长交于点，设与交于点， 平分， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，再结合平角是计算即可得解； （2）①根据三角形内角和是计算即可得解；②根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解； （3）连接，根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ． （2）解：，， ， 故答案为：． ，， ， 、分别平分、， ，， ， 则． （3）连接，如图： 、的角平分线交于点， ，， ， ， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：A． 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 18．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 19．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】(1)在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【模型发展】(2)如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系______． 【答案】(1)，理由见解析；(2). 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线证明即可； （2）根据（1）证明思路，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理应用，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点，设射线交于，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 21．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 【答案】116 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， 设交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为： ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。解决此模型问题需要我们掌握解决类问题的方法，要对该模型有所熟悉，这样就可以快速得到角之间的关系，从而求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山西太原·二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．    下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线AC； 方法二：延长BC交AD于点E； 方法三：连接BD． 请选择上述一种方法，求的度数． （2025·山东青岛·一模）【阅读理解】 三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于． 如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】 如图③，点D，E分别是的边延长线上一点， （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． 【拓展延伸】 如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 例2（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 例4（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 例5（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·期末）阅读与思考 有趣的翻折 在学习了三角形内角和后，李老师给大家出了一道有趣的翻折的题目． 如图1，将中的向内部折叠落在处，若，，求的度数．    下面是琳琳同学的解答过程： ，， ，． 由折叠得， 任务： (1)请仔细阅读上面的部分解答过程，并将剩下的解答过程补充完整． (2)如图2，将中的向外部折叠落在处，若，，求的度数．    例3（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 例4（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到． (1)如图，若，则______； (2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明． 例5（24-25七年级下·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1， 度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即 度． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大 ． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 6．（24-125七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 7．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示） 10．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）四边形中， (1)，． ①如图1，若，试求出的度数； ②如图2，若的角平分线交于点，且，试求出的度数； (2)如图3，若和的角平分线交于点，探究与、的关系． 11．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 15．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 18．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 19．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】(1)在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题： 如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由． 【模型发展】(2)如图②，点是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系______． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 21．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $