5.7 三角函数的应用 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.7 三角函数的应用 【题型1】三角函数的应用 【例题精讲】 1．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 2．欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min．若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度y（m）与时间t（s）的部分数据如下表： x 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型y＝Asinωt+B近似刻画y与t之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（　　） A．7.5m B．6.5m C．8.5m D．5.5m 4．如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（　　） A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟 5．如图，摩天轮的半径为60m，点O距地面的高度为70m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每18min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（　　） A．转动9min后点P距离地面8m B．第16min和第38min点P距离地面的高度相同 C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点P距离地面的高度不低于100m的时长为5.5min 6．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心O在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一图，如果水车上一点P从水中浮现时（图中P0）开始计时，经时t秒后，水车旋转到P点，则下列说法错误的是（　　） A．P点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B．第30秒和第70秒时，P点在水面以上且距离水面的高度相同 C．在转动一圈内，P点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D．当t∈[0，15]时，P点距离水面的最大高度为6米 7．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心O到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈．若P0是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【题型2】三角函数的最值 【例题精讲】 1．若∃φ∈R，对∀n∈Z，都有成立，则实数m的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．对于x∈R，f（x）＝cos2x+sinx﹣1的最大值为（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 3．设函数f（x）＝asinx+bcosx，则“f（x）的值域为[﹣1，1]”是“存在实数θ，使得f（x）＝sin（x+θ）”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数f（x）＝﹣10sin2x﹣10sinx，x∈[，m]的值域为[，2]，则实数m的取值范围是（　　） A．[，0] B．[，0] C．[，] D．[，] 5．函数y＝2cos2x+sin2x的最大值为（　　） A． B． C． D．3 6．在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以A0（0，1），B0（2，0）为起点同时开始运动，经过ts后，动点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1+x2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D．﹣1 7．已知函数在区间上的最小值恰为﹣ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（　　） A．（1，4] B．[4，7] C．（7，13） D．[13，+∞） 课时精练 一．选择题（共7小题） 1．若实数x，y满足x2+2y2﹣2xy＝1，则2x2+2y2的最小值为（　　） A． B．3 C． D．2 2．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0）在处取得最大值，则下列结论错误的是（　　） A．是偶函数 B． C． D．f′（）+f′（）＜0 3．已知函数恒成立，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知θ∈（，），函数f（x）＝sinx﹣cos（x+θ）的最大值为1，则θ＝（　　） A． B． C． D． 5．若函数满足f（x+π）＝f（x），且在没有零点，则ω的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．函数f（x）＝cos2x﹣4cosx的值域是（　　） A．（﹣∞，﹣3] B．[5，+∞） C．[﹣3，5] D．[﹣5，3] 7．已知函数f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x+4的最大值为f（θ），则tanθ＝（　　） A． B． C．3 D．﹣3 二．多选题（共3小题） （多选）8．对于函数，则下列命题中正确的是（　　） A．该函数的值域是 B．当且仅当时，函数取得最大值1 C．该函数的最小正周期为2π D．当且仅当时，f（x）＜0 （多选）9．设ω为正实数，a为实数，已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）+a，则下列结论正确的是（　　） A．若函数f（x）的最大值为2，则a＝﹣2 B．若对于任意的x∈R，都有f（x+π）＝f（x）成立，则ω＝2 C．当时，若f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 D．当时，若对于任意的φ∈R，函数f（x）在区间上至少有两个零点，则ω的取值范围是[4，+∞） （多选）10．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的值域为 C．当f（x）取得最大值时， D．当f（x）取得最大值时， 三．填空题（共3小题） 11．函数的最大值为　 　 ． 12．若x2+y2＝2，那么2x﹣3y的最大值为　 　 ． 13．函数y＝cos2x+sinx﹣2在区间上的最小值为 　﹣2　 （用数字作答）． 四．解答题（共5小题） 14．已知函数的最小正周期为π． （1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）在区间（π﹣α，α）内既有最大值又有最小值，求α的取值范围． 15．已知函数f（x）＝﹣sin2x﹣（a+1）cosx+a+1． （1）当a＝3时，求f（x）的最大值； （2）若关于x的不等式f（x）＜0有解，求a的取值范围． 16．已知函数f（x）＝cos2x+asinx+a（a∈R）． （1）若f（x）＞1﹣2a恒成立，求a的取值范围； （2）求f（x）在区间[，0]上的最大值． 17．已知函数． （1）求f（x）的单调减区间； （2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值． 18．已知函数f（x）＝cos（x）•sin（x）． （1）求f（x）的最小正周期与单调增区间； （2）若x∈[，]，求函数f（x）的最值． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7 三角函数的应用 【题型1】三角函数的应用 【例题精讲】 1．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则H关于t的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可设， 可得A＝50，得b﹣A＝10，解得b＝60， 可得函数最小正周期T，解得， 又当t＝0时，H＝10，即sinφ＝﹣1， 而， 解得， 因此，或，A正确，BCD错误． 故选：A． 2．欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min．若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解答】解：解法一、设摩天轮的圆心为O，半径为R，甲、乙二人的座舱分别为A、B，则R＝60米，∠AOB2π， 设乙距地面的高度为H＝60sin（t）+68，则甲距地面的高度为H′＝60sin（t）+68， 所以甲乙二人的高度差为： ΔH＝|60sin（t）﹣60sin（t）| ＝60×2|cos（t）sin|≤120sin ＝120 ＝30（）米． 解法二、设摩天轮圆心为O，甲乙二人的座舱分别为A、B，则∠AOB＝30°． 通过画图可知，甲乙两人座舱的高度差小于或等于弦AB的长度， 当AB所在直线与地面垂直时，高度差最大，为弦AB的长度． 在三角形AOB中，OA＝60，∠OAB＝75°，AB＝2×60cos75°＝30（）． 故选：B． 3．某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度y（m）与时间t（s）的部分数据如下表： x 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6 用函数模型y＝Asinωt+B近似刻画y与t之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（　　） A．7.5m B．6.5m C．8.5m D．5.5m 【答案】A 【解答】解；由函数模型y＝Asinωt+B知，，解得A＝3，B＝6； 由两个最大值对应的时间差为一个最小正周期，所以T＝15﹣3＝12， 所以ω，则y＝3sint+6， t＝25时，y＝3sin6＝36＝7.5， 则该同学在第25秒时距地面的高度约为7.5m． 故选：A． 4．如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（　　） A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟 【答案】B 【解答】解：中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m， 即A＝50，T＝30，， 最低点到地面距离为10m， 所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则， 所以表达式为， 那么可得，sin（）， 取一个周期内，有，10＜t＜20，20﹣10＝10， 所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m． 故选：B． 5．如图，摩天轮的半径为60m，点O距地面的高度为70m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每18min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（　　） A．转动9min后点P距离地面8m B．第16min和第38min点P距离地面的高度相同 C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点P距离地面的高度不低于100m的时长为5.5min 【答案】B 【解答】解：设函数y＝Asin（ωx+φ）+B，则A＝60，B＝70，T＝18，所以ω， x＝0时，60sinφ+70＝130，所以sinφ＝1，所以φ2kπ，k∈Z； 所以y＝60sin（x）+70． x＝9时，y＝60sin（9）+70＝10，点P距离地面10m，选项A错误； x＝16时，y＝60sin（16）+70＝60cos70， x＝38时，y＝60sin（38）+70＝60cos70，点P距离地面的高度相同，选项B正确； 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的2倍，选项C错误； 令y≥0，得60sin（x）+70≥100，得cosx，解得x， 即﹣3≤x≤3，所以点P距离地面的高度不低于100m的时长为6min，选项D错误． 故选：B． 6．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心O在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一图，如果水车上一点P从水中浮现时（图中P0）开始计时，经时t秒后，水车旋转到P点，则下列说法错误的是（　　） A．P点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B．第30秒和第70秒时，P点在水面以上且距离水面的高度相同 C．在转动一圈内，P点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D．当t∈[0，15]时，P点距离水面的最大高度为6米 【答案】D 【解答】解：如图所示： 由题意可知， 设角是以Ox为始边，OP0为终边的角， 则点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B， 即，解得， 故高度， 当t＝0时，h（t）＝0，6sinφ+3＝0，， 得， 所以． 对于A，当h（t）＝9时，即， 解得t＝20+60k，k∈Z， 当k＝0时，t＝20， 所以P点第一次到达最高点需要的时间为20秒，故A正确； 对于B，当t＝30时，， 当t＝70时，，故B正确； 对于C，当时， 即， 则， 即，k∈Z， 解得60k+15≤t≤25+60k，k∈Z， 当k＝0时，15≤t≤25，满足条件，故C正确； 对于D，当t∈[0，15]时，则， 所以， 即， 则P点距离水面的最大高度为，故D错误． 故选：D． 7．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心O到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈．若P0是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知得：角速度， 设P0（8cosα，80sinα），， 则80sinα＝﹣（82﹣42）＝﹣40，故，故， 故点P的纵坐标为， 所以． 故选：A． 【题型2】三角函数的最值 【例题精讲】 1．若∃φ∈R，对∀n∈Z，都有成立，则实数m的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为若∃φ∈R，对∀n∈Z，都有成立， 所以y＝cos（）的最大值小于等于m， 所以要求m的最小值，即求y＝cos（）的最大值的最小值， 又的终边将周角均分成3等分， 所以要使y＝cos（）的最大值的最小值， 则可知的y轴右边的终边与单位圆交点的横坐标取最小， 所以当的y轴右边的两终边关于x轴对称时满足y＝cos（）的最大值取最小值， 如图所示： 所以y＝cos（）的最大值的最小值为cos， 所以实数m的最小值为． 故选：A． 2．对于x∈R，f（x）＝cos2x+sinx﹣1的最大值为（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【答案】D 【解答】解：f（x）＝cos2x+sinx﹣1，得f（x）＝1﹣sin2x+sinx﹣1＝﹣sin2x+sinx． 将其配方为． 因sinx∈[﹣1，1]，且二次函数开口向下，当时，f（x）取得最大值． 故选：D． 3．设函数f（x）＝asinx+bcosx，则“f（x）的值域为[﹣1，1]”是“存在实数θ，使得f（x）＝sin（x+θ）”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：f（x）＝asinx+bcosx＝Asin（x+θ），其中，θ满足a＝Acosθ，b＝Asinθ． 由于f（x）＝Asin（x+θ）的值域为[﹣A，A]， 若f（x）的值域为[﹣1，1]，则A＝1，即，平方得a2+b2＝1， 若存在实数θ，使得f（x）＝sin（x+θ）＝sinxcosθ+cosxsinθ， 与f（x）＝asinx+bcosx比较系数，可得a＝cosθ，b＝sinθ， 因为cos2θ+sin2θ＝1，故a2+b2＝1， 综上，两个条件均等价于a2+b2＝1，故二者互为充要条件． 故选：C． 4．已知函数f（x）＝﹣10sin2x﹣10sinx，x∈[，m]的值域为[，2]，则实数m的取值范围是（　　） A．[，0] B．[，0] C．[，] D．[，] 【答案】B 【解答】解：由题意，可知：f（x）＝﹣10sin2x﹣10sinx10（sinx）2+2，x∈[，m]． 令t＝sinx，则f（x）＝g（t）＝﹣10（t）2+2， 令，得t＝﹣1或t＝0，由g（t）的图象， 可知当t∈时，f（x）的值域为， ∴m∈． 故选：B． 5．函数y＝2cos2x+sin2x的最大值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：由题意，， 当，即时，函数取到最大值． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以A0（0，1），B0（2，0）为起点同时开始运动，经过ts后，动点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1+x2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D．﹣1 【答案】C 【解答】解：根据三角函数的定义，设B（2cost，2sint）， 则A（cos（2t），sin（2t）），即A（﹣sin2t，cos2t）， 可得y1+x2＝cos2t+2cost＝2cos2t+2cost﹣1， 令cost＝m，则y1+x2＝2m2+2m﹣1， 二次函数f（m）＝2m2+2m﹣1的图象开口向上，对称轴为， 结合m∈[﹣1，1]，可知当时，函数取得最小值． 综上所述，y1+x2的最小值为． 故选：C． 7．已知函数在区间上的最小值恰为﹣ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（　　） A．（1，4] B．[4，7] C．（7，13） D．[13，+∞） 【答案】C 【解答】解：当时，因为此时f（x）的最小值为﹣ω＜0， 所以，即． 若，此时f（x）能取到最小值﹣4，即﹣ω＝﹣4， 整理得：ω＝4， 代入可得，满足要求； 若f（x）取不到最小值﹣4， 则需满足，即， 所以ω＝4或者， 所以所有满足条件的ω的积属和， 故满足的区间为（7，13）， 故选：C． 课时精练 一．选择题（共7小题） 1．若实数x，y满足x2+2y2﹣2xy＝1，则2x2+2y2的最小值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解答】解：因为x2+2y2﹣2xy＝（x﹣y）2+y2＝1， 令x﹣y＝cosα，y＝sinα， 则x＝cosα+sinα， 则2x2+2y2＝2（cosα+sinα）2+2sin2α＝2（1+2sinαcosα+sin2α） ＝2（1+sin2α） ＝3+2sin2α﹣cos2α＝3sin（2α﹣φ）∈[3，3]． 故选：B． 2．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0）在处取得最大值，则下列结论错误的是（　　） A．是偶函数 B． C． D．f′（）+f′（）＜0 【答案】D 【解答】解：∵f（x）＝asinx+bcosxsin（x+θ）， 在x处取得最大值， ∴f（）＝asinbcos， ∴ab， ∴（a﹣b）2＝0． ∴a＝b＞0，故C正确； f（x）＝asinxacosx＝2asin（x）， 则f（x）＝2asin（x）＝2asin（x）＝2acosx， 有f（﹣x）＝2acos（﹣x）＝2acosx＝f（x）， 即f（x）是偶函数，故A正确； f（）＝asinbcosa＞0，故B正确； f′（x）＝acosx﹣bsinx， 即f′（）+f′（）＝acos（）﹣bsin（）+acosbsinabab＝a＞0，故D错误． 故选：D． 3．已知函数恒成立，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：函数恒成立， 则是函数f（x）的最大值， ∴，得， ∴， 又∵|φ|＜π， ∴． 故选：A． 4．已知θ∈（，），函数f（x）＝sinx﹣cos（x+θ）的最大值为1，则θ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为f（x）＝sinx﹣cos（x+θ）＝sinx﹣cosxcosθ+sinxsinθsin（x﹣φ）， 且f（x）的最大值为1，所以1，即1+2sinθ+sin2θ+cos2θ＝1，所以sinθ， 又因为θ∈（，），所以θ． 故选：B． 5．若函数满足f（x+π）＝f（x），且在没有零点，则ω的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：函数，f（x+π）＝f（x）， 得π是函数f（x）的周期， 当时，， 由函数f（x）在没有零点，得，解得ω≤5， 又， 解得ω＝2k，k∈N*，所以当k＝2时，ω取得最大值4． 故选：A． 6．函数f（x）＝cos2x﹣4cosx的值域是（　　） A．（﹣∞，﹣3] B．[5，+∞） C．[﹣3，5] D．[﹣5，3] 【答案】C 【解答】解：因为cos2x＝cos2x﹣sin2x＝cos2x﹣（1﹣cos2x）＝2cos2x﹣1， 所以f（x）＝cos2x﹣4cosx＝2cos2x﹣4cosx﹣1， 令t＝cosx∈[﹣1，1]，则f（x）＝g（t）＝2t2﹣4t﹣1， 可得g（t）＝2（t﹣1）2﹣3∈[﹣3，5]，所以函数f（x）的值域为[﹣3，5]． 故选：C． 7．已知函数f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x+4的最大值为f（θ），则tanθ＝（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【答案】C 【解答】解：因为f（x）＝6sinxcosx﹣8cos2x＝3sin2x﹣4cos2xsin（2x+φ）＝5sin（2x+φ）， 当2x+φ2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值为5，此时θkπ，k∈Z； 所以tanθ＝tan（kπ），k∈Z． 化简得tanθ＝tan（kπ）＝tan（）． 由tanφ，化简得2tan23tan2＝0，解得tan2或tan． 因为cosφ0，sinφ0，所以φ在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以tan，tanθ3． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）8．对于函数，则下列命题中正确的是（　　） A．该函数的值域是 B．当且仅当时，函数取得最大值1 C．该函数的最小正周期为2π D．当且仅当时，f（x）＜0 【答案】ACD 【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示， 选项A：值域是，故A正确； 选项B：函数取得最大值1时，或x＝2kπ（k∈Z），故B错误； 选项C：最小正周期为2π，故C正确； 选项D：当时，f（x）＜0，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．设ω为正实数，a为实数，已知函数f（x）＝4sin（ωx+φ）+a，则下列结论正确的是（　　） A．若函数f（x）的最大值为2，则a＝﹣2 B．若对于任意的x∈R，都有f（x+π）＝f（x）成立，则ω＝2 C．当时，若f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围是 D．当时，若对于任意的φ∈R，函数f（x）在区间上至少有两个零点，则ω的取值范围是[4，+∞） 【答案】ACD 【解答】解：对A选项，∵函数f（x）的最大值为4+a＝2， ∴a＝﹣2，∴A选项正确； 对B选项，由题可得π是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为π，故B错误； 对C选项，当时，当x∈时，， 又f（x）在区间上单调递增， ∴[，]⊆[，]，k∈Z， ∴，k∈Z， ∴，k∈Z，又ω＞0， ∴ω的取值范围是（0，]，∴C选项正确； 对D选项，当时，当时，， 由在上至少有两个零点， 则，即ω≥4，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的值域为 C．当f（x）取得最大值时， D．当f（x）取得最大值时， 【答案】ABD 【解答】解：由题意得， 其中，， 故f（x）的最小正周期为2π，值域为，故A，B正确； 当f（x）取得最大值时，， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共3小题） 11．函数的最大值为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意可得f（x）＝1﹣sin2x+6sinx ＝﹣（sinx﹣3）2+10，又sinx∈[﹣1，1]，y＝﹣（x﹣3）2+10在[﹣1，1]上单调递增， 所以f（x）最大值为﹣（1﹣3）2+10＝6． 故答案为：6． 12．若x2+y2＝2，那么2x﹣3y的最大值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设， 所以2x﹣3y＝2sin（α+φ），φ为辅助角， sin（α+φ）． 故答案为：． 13．函数y＝cos2x+sinx﹣2在区间上的最小值为 　﹣2　 （用数字作答）． 【答案】﹣2． 【解答】解：函数， 因为，所以， 所以当或sinx＝1时，函数同时取得最小值为﹣2． 故答案为：﹣2． 四．解答题（共5小题） 14．已知函数的最小正周期为π． （1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）在区间（π﹣α，α）内既有最大值又有最小值，求α的取值范围． 【答案】（1）ω＝1，[kπ，kπ]，k∈Z； （2）[，+∞）． 【解答】解：（1）因为sin（2ωx）﹣cos（2ωx）＝2sin（2ωx）， 所以Tπ， 所以ω＝1， f（x）＝2sin（2x）， 由2kπ2x2kπ，k∈Z， 解得kπx≤kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z； （2）根据区间形式得α＞π﹣α，则α， 又因为x∈（π﹣α，α）， 则2α＜2x2α，2α， 若f（x）＝2sin（2x）在区间（π﹣α，α）内既有最大值又有最小值， 则2α，解得α； 或者，解得α； 综上两者取并集得α． 所以α的取值范围为[，+∞）． 15．已知函数f（x）＝﹣sin2x﹣（a+1）cosx+a+1． （1）当a＝3时，求f（x）的最大值； （2）若关于x的不等式f（x）＜0有解，求a的取值范围． 【答案】（1）8；（2）（﹣∞，1）． 【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝﹣sin2x﹣4cosx+4＝cos2x﹣4cosx+3＝（cosx﹣2）2﹣1， 因为﹣1≤cosx≤1，所以，即f（x）的最大值为8． （2）f（x）＝cos2x﹣（a+1）cosx+a＝（cosx﹣1）（cosx﹣a）． 当cosx＝1时，原不等式不可能有解，所以﹣1≤cosx＜1，cosx﹣1＜0， 要使关于x的不等式f（x）＜0有解，则cosx﹣a＞0有解， 所以a＜cosx有解，则a＜1，即a的取值范围是（﹣∞，1）． 16．已知函数f（x）＝cos2x+asinx+a（a∈R）． （1）若f（x）＞1﹣2a恒成立，求a的取值范围； （2）求f（x）在区间[，0]上的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为f（x）＝cos2x+asinx+a（a∈R）， 又f（x）＞1﹣2a，即cos2x+asinx+a＞1﹣2a， 即（3+sinx）a＞1﹣cos2x，即（3+sinx）a＞sin2x， 即恒成立， 令t＝3+sinx，则 t∈[2，4]，则sinx＝t﹣3， 则， 设 易得g（t）在[2，3]为减函数，在[3，4]为增函数， 又，，所以，即， 即a的取值范围为； （2）由f（x）＝cos2x+asinx+a＝﹣sin2x+asinx+1+a， 又，所以sinx∈[﹣1，0]， 令m＝sinx，则m∈[﹣1，0]，则h（m）＝﹣m2+am+1+a，m∈[﹣1，0]， ①当，即a≥0时，函数h（m）在[﹣1，0]为增函数，即h（m）max＝h（0）＝1+a， ②当，即a≤﹣2时，函数h（m）在[﹣1，0]为减函数，即h（m）max＝h（﹣1）＝0， ③当，即﹣2＜a＜0时，函数h（m）在为增函数，在为减函数， 即h， 综合①②③可得． 17．已知函数． （1）求f（x）的单调减区间； （2）若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值． 【答案】（1），k∈Z；（2）． 【解答】解：（1）函数， 由，整理得，（k∈Z）． 所以f（x）的单调减区间，（k∈Z）． （2）若f（x）在区间上的最大值为，可得， 且当时，f（x）取得最大值， 即有，解得， 则m的最小值为． 18．已知函数f（x）＝cos（x）•sin（x）． （1）求f（x）的最小正周期与单调增区间； （2）若x∈[，]，求函数f（x）的最值． 【答案】（1）最小正周期为π，函数的单调增区间为． （2）f（x）取得最小值为， 函数f（x） 取得最大值为 ． 【解答】解：（1） ， 最小正周期， 则， 所以函数的单调增区间为， （2）若， 所以， 当时，函数 f（x）取得最小值为， 当 时，函数f（x） 取得最大值为 ． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $