专题7.5 平行线解题模型（模型归纳+四大题型讲练+优选题训练 共31题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦平行线解题模型核心知识点，系统归纳“猪蹄”“铅笔头”“锯齿”“三角尺”等模型的特征、拓展及应用，构建从基础模型到多拐点拓展再到题型应用的学习支架，帮助学生掌握平行线角度关系的解题方法。 该资料以模型化教学为特色，通过直观图示呈现模型特征培养几何直观（数学眼光），典例与变式训练引导推理探究角度关系发展推理意识（数学思维），优选题结合生活情境（如机器人、手推车）强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题7.5 平行线解题模型 【原卷版】 模型归纳 1 模型1：“猪蹄”模型 1 模型2：“铅笔头”模型 2 模型4：“三角尺”模型 2 题型讲练 3 题型一 M型（含锯齿型） 3 题型二 笔尖型 8 题型三 “鸡翅”型 16 题型四 ”骨折”型 24 优选题训练 32 模型1：“猪蹄”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型2：“铅笔头”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型3：“锯齿”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点E，F在平行线的内部，连接BE，EF，FC，且图形中至少有两个拐点 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 模型4：“三角尺”模型 （一）模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 （二）模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 题型一 M型（含锯齿型） 【典例精讲】探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【变式训练1】如图，，，则，和的数量关系是 ．    【变式训练2】如图，，，，则 °． 【变式训练3】（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 题型二 笔尖型 【典例精讲】如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【变式训练1】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【变式训练2】①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 题型三 “鸡翅”型 【典例精讲】已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【变式训练1】（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【变式训练2】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式训练3】已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 题型四 ”骨折”型 【典例精讲】如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【变式训练1】（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【变式训练2】综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【变式训练3】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 2．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 3．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 5．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，，，则 度． 7．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 8．如图，，已知，，则 ． 9．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ． 10．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    11．如图，，，求的度数． 12．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 13．如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F． 求证：． 证明：∵于点A，于点F，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴AD∥EF，（    ） ∴__________（    ） ∵AE∥CD，（已知） ∴________．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴．（等量代换） 14．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 15．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 平行线解题模型 【解析版】 模型归纳 1 模型1：“猪蹄”模型 1 模型2：“铅笔头”模型 2 模型4：“三角尺”模型 2 题型讲练 3 题型一 M型（含锯齿型） 3 题型二 笔尖型 8 题型三 “鸡翅”型 16 题型四 ”骨折”型 24 优选题训练 32 模型1：“猪蹄”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型2：“铅笔头”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 模型3：“锯齿”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点E，F在平行线的内部，连接BE，EF，FC，且图形中至少有两个拐点 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 模型4：“三角尺”模型 （一）模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 （二）模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 题型一 M型（含锯齿型） 【典例精讲】探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 【变式训练1】如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【规范解答】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】如图，，，，则 °． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【规范解答】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ， ，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ， ，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 题型二 笔尖型 【典例精讲】如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【规范解答】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又 ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又 ， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又 ， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又 ，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 【变式训练1】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【规范解答】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 【变式训练2】①如图1， ，则；②如图2， ，则；③如图3， ，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【规范解答】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【考点再现】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【变式训练3】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+ 【思路引导】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【规范解答】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 【考点再现】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用． 题型三 “鸡翅”型 【典例精讲】已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【规范解答】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式训练1】（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【思路引导】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【规范解答】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【考点再现】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 【变式训练2】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【规范解答】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式训练3】已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案． 【规范解答】（1）证明： ； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作 ，，， AF平分 FH平分 设 ， ． 【考点再现】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 题型四 ”骨折”型 【典例精讲】如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【思路引导】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 【变式训练1】（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【思路引导】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【规范解答】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【考点再现】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 【变式训练2】综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【思路引导】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【规范解答】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【考点再现】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 【变式训练3】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【思路引导】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【规范解答】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【考点再现】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【思路引导】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 【规范解答】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°， 故选：B． 【考点再现】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 【答案】B 【思路引导】先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案. 【规范解答】作直线OE平行于直角三角板的斜边． 可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°， 故∠1的度数是：60°+45°＝105°． 故选B． 【考点再现】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质. 3．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【规范解答】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 5．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【规范解答】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 6．如图，直线，，，则 度． 【答案】30 【思路引导】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，能够发现并证明此题中的结论：． 要求的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30． 7．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则 度． 【答案】20 【思路引导】如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到． 【规范解答】解：由题意可得：． 如图，过点E作， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：． 故答案为：20． 【考点再现】本题重点考查了平行线的性质定理的运用．从“基本图形”的角度看，本题可以看作是“M”型的简单运用．解法不唯一，也可延长BE交CD于点G，结合三角形的外角定理来解决；或连结BD，结合三角形内角和定理来解决． 8．如图，，已知，，则 ． 【答案】45 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 9．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，作，推出 ，得到，据此即可求解； 【规范解答】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 10．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【思路引导】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【规范解答】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 11．如图，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数． 【规范解答】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【考点再现】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题． 12．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点再现】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 13．如图，已知于点A，AE∥CD交于点E，且于点F． 求证：． 证明：∵于点A，于点F，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴AD∥EF，（    ） ∴__________（    ） ∵AE∥CD，（已知） ∴________．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴．（等量代换） 【答案】见解析 【思路引导】首先根据同位角相等，两直线平行， 再根两直线平行，内错角相等得到=．最后根据两直线平行，同位角相等得到 ，再进行等量代换即可． 【规范解答】证明：∵于点A，于点F， ∴． ∴，    （同位角相等，两直线平行）     ∴=．             （两直线平行，内错角相等）         ∵， ∴ ．             ∵， ∴． 【考点再现】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，掌握相关知识是解题的关键． 14．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3） 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）由角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，由（1）中的结论得到，，再利用角的和差、角度间的等量代换即可证明； （3）由（1）中结论可得，，，则有，代入数据求出的度数，即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，、为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：∵，E为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【答案】问题解决：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【思路引导】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【规范解答】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $