4.2.1等差数列的性质及其应用导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的性质及应用 【学习目标】 1.掌握等差数列的性质及应用. 2.可由等差数列构造新数列. 3.能灵活设项解等差数列. 4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 【学习重难点】重点：等差数列的简单性质. 难点：等差数列性质的应用. 【知识梳理】 一、通项公式的推广及变形 ____________=____________.（函数特性）= ____________.（推广）（）； 变形：____________________. 二、证明等差数列的方法 （1）定义法:_________________________. （2）通项公式法：是等差数列(当为常数列时，). （3）中项公式法：是等差数列或. 三、等差数列的简单性质： 已知数列是公差为的等差数列，则 （1）当时， ，即为递增数列；当时， 即为常数列； 当时， ，即为递减数列. （2）下标和性质：若（，，，），则_________； 特别地，若，则______________. （3）下标成等差数列，且公差为的项，即构成的数列仍为等差数列，公差为_________. （4）数列是公差为的等差数列，则（为非零常数）也为等差数列，公差分别为________，________. 【概念辨析】 1．在数列中，，，那么这个数列的通项公式为________. 2．已知在等差数列中，，，则的值为________. 3. 已知数列，为等差数列，且公差分别为，，则数列的公差为________. 4. 在等差数列中，若，则________. 【典例分析】 例1、（1）已知数列是等差数列，若，则________. （2）在等差数列中，，求. （3）在等差数列中，已知，，求. 例2、已知两个等差数列：，与：，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式=　　　　；若数列和的项数均为，则的项数是　　　　.  例3、《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为尺,立夏当日日影长为尺,则春分当日日影长为 (　 ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【当堂训练】 1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面节的容积共升，最下面节的容积共升，则从上往下数，第节的容积为(　　) A．升 B．升 C．升 D．升 2.(多选题)在等差数列中，，，则下列说法正确的有( ) A．公差 B． C．数列为递增数列 D． 3.已知等差数列满足，，则=________． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列的性质及应用 【学习目标】 1.掌握等差数列的性质及应用. 2.可由等差数列构造新数列. 3.能灵活设项解等差数列. 4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. 【学习重难点】重点：等差数列的简单性质. 难点：等差数列的应用. 【知识梳理】 一、通项公式的推广及变形 an= =dn+（a1-d）（函数特性）= am+（n-m）d（n∈N*）； 变形：d=（m，n∈N*，且m≠n）. 二、证明等差数列的方法 （1）定义法:_________________________. （2）通项公式法：是等差数列(当为常数列时，p=0). （3）中项公式法：是等差数列或. 三、等差数列的简单性质： 已知数列是公差为的等差数列，则 （1）当时， ，即为递增数列；当时， 即为常数列；当时， ，即为递减数列. (2) 通项公式的推广:_________；_________. (3)下标和性质：若（，，，），则_________； 特别地，若，则______________. (4)下标成等差数列，且公差为的项，即构成的数列仍为等差数列，公差为_________. (5)数列是公差为的等差数列，则（为非零常数）也为等差数列，公差分别为________，________. 【概念辨析】 1．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式为 (　　) A．3n－1 B．3n＋2 C．3n－2 D．3n＋1 B【解析】因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*.故选B. 2．已知在等差数列{an}中，a7＋a19＝19，a9＝1，则a17的值为 ( ) A．20 B．18 C．15 D．17 B 【解析】 因为a7＋a19＝a9＋a17＝19，所以a17＝18.故选B. 3. 已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列 {2an－3bn}的公差为 ( ) A．7 B．5 C．3 D．1 D 【解析】 数列{2an－3bn}的公差为2d1－3d2＝4－3＝1.故选D. 4. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. 10 【解析】 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10. 【典例分析】 例1、（1）已知数列｛an｝是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于（　　） A.7 B.14 C.21 D.7（n-1） 答案　B 解析　因为a1-a9+a17=（a1+a17）-a9=2a9-a9=a9=7， 所以a3+a15=2a9=2×7=14. （2）在等差数列｛an｝中，a3+a7+2a15=40，求a10. 解　方法一　设数列｛an｝的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2（a1+14d） =4a1+36d=4（a1+9d） =4a10=40， ∴a10=10. 方法二　∵a3+a7+2a15=（a3+a15）+（a7+a15）=2a9+2a11=2（a9+a11）=4a10=40，∴a10=10. (3)在等差数列中，已知，，求. 【解析】因为，所以.又因为，所以. ,即解得或 所以或. 例2、已知两个等差数列｛an｝：5，8，11，…，与｛bn｝：3，7，11，…，它们的公共项组成数列｛cn｝，则数列｛cn｝的通项公式cn=　　　　；若数列｛an｝和｛bn｝的项数均为100，则｛cn｝的项数是　　　　.  答案　12n-1　25 解析　由于数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，所以｛cn｝也是等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11，故cn=11+12（n-1）=12n-1.又a100=302，b100=399，所以11≤12n-1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故｛cn｝的项数为25. 例3、《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为 (　 ) A.4.5尺 B.5尺 C.5.5尺 D.6尺 解析:选D　设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=(a4+a10)=6.故选D. 【当堂训练】 1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为(　　) A．1升 B．升 C．升 D．升 【解析】 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升．故选B. 2.(多选题)在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则下列说法正确的有( ) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 BC 【解析】 因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7. 因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15. 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC. 3.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11=________． 【解析】 设等差数列{an} 的公差为d. 因为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，所以a5＝2.因为a－a＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，所以d＝.所以a11＝a5＋6d＝2＋9＝11. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $