卷15 圆锥曲线的方程-【三新金卷·先享题】2026年安徽省高考数学真题分类优化卷(分项A)

最新5年高考真题分类优 当k=-时，原点0到直线AB距离的最大值为 √/2+1严=√5， 答案：(1)m2+n2= 1 16 2(臣，+o）w=8: (3)5 卷15 圆锥曲线的方程 y 1.D如图所示， 因为F2(c,0),不妨设渐近 线方程为y= x. a 即bx-ay=0, 所以|PFg|= (√a+b) bc =b,所以b=2. 设P0F,=0,则tan0=1OP=1Opa 所以|OP=a,所以|OF,|=c. 因为b=名·yr,所以-必所以n0= 1 ab xp a 所以P() 因为F,(-c,0), ab ab 2a 所以kp,=a=a+=a+a+4a+2 c 十c 4 所以√2(a2+2)=4a,解得a=√2， 所以双自我的方能为号 =1,故选D. 2B方法1：设∠FPF:=20.0<0<受， 所以S△pF,5,=btan ∠FPF=6tam0, 2 由cos∠F,PF,=cos20=cos0-sin0_1-tan0 cos0++sin'0 1+tan0 -三解得：m0=宁 1 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 1 所以，SaF,5,=2X|FF2X|yn|=2X2WBX| y,=6×7,解得：y2=3, 即=9x(1-音）-号，周北10P=+= 9 【 7 化卷(26一ZT)·数学答案 3+g-3 √3+2=2，故选B, 方法2：因为|PF1I+|PF,|=2a=6①， IPF+PF22-21PFIPF2 1ZF PF2=1 FF22, 中PF,+PF-号1PF1PF,1=12@,联立 ①②， 15 解得：PFIIPF:=乞，PF1+1PF,=21, -1 而PO=2(PF,+PF,),所以IOPI=|PO|= IPF+PF.l, √|PF1I2+2PF,·PF,+|PF2| =281+2x×罗- 1 2,故选B 方法3：因为1PF1I+|PF2|=2a=6①， IPF+PF212-21PF PF2 Icos ZF PF2= FF2, 即PF,P+PF,-号1PF,IPF,I=12@, 联立①②，解得：1PF,12+|PF2I2=21, 由中线定理可知，(21OP1)2+|F1F2I2=2(|PF1I2 +IPF212)=42,易知F1F21=2√3，解得：|OP|= √3 2,故选B 3.D设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点 (, y1+y2 对于选项A,可得=二，k=2 x1-x2 x1十x2 2 =+y2 x1+x2 ，=1 x19 因为A,B在双曲线上，则〈 ,两式相减得 zi- (i-)y =0, 9 yi-y 所以kAB·k= =9. xi-xi 可得k=1,kB=9,则AB:y=9.x-8, y=9.x-8 联立方程 ,消去y得72.x2-2×72x+ =1 73=0, 此时△=(-2×72)2-4×72×73=-288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 7 】 最新5年高考真题分类优 9 对于选项B:可得k=一2，ka=一之，则AB:y= 9 5 2x-2 95 y=- 2x- 2 联立方程 ,消去y得45.x2+2×45.x +61=0, 此时△=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C,可得k=3,kB=3,则AB:y=3x 由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双 曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误： 对于选项D,k=4,k= 4,则AB:y= 7 4x-4 97 y 4x-4 联立方程 ,消去y得63.x2+126.x 91 193=0, 此时△=126+4×63×193>0，故直线AB与双曲 线有两个交点，故D正确；故选D 4D由=5，则 _a2+b2 62 a? =1+=5,解 0 =2, 所以双曲线的一条渐近线为y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离d= |2×2-3引√5 √22+1 145 所以孩长1AB1=2V-d=2√1- 5·故 选D. 5.C如图所示：由题意可知， ,点P必落在第四象限， ∠F1PF2=90°， 设|PF2|=m,∠PF2F1= 01,∠PF1F2=02, 由kpF,=tan01=2,求得sin 2 因为∠FPF2=90°，所以kF,·kF,=一1， 1 1 求得kp明，=-2，即an0,=2, s加0：后由正孩定理可得： IPF:PF21:IFF2 I=sin 01:sin 02 sin 90 =2:1:5, 则由|PF2|=m得|PF1|=2m,|F1F2|=2c= √5m, 由SaF5=21PF,1·1PF,|=2m·2m=8得 m=2√2， 则|PF21=2√2，IPFI=4√2，|F,F|=2c=2 【 7 化卷(26一ZT)·数学答案 √10，c=√10， 由双曲线第一定义可得： |PF,I-|PF2|=2a=2√2，a=√2，b=√e-a =√⑧， x2 y2 所以双曲线的方程为2一8 =1.故选C. 6.B由抛物线C:y2=x得2p=1,则p=2: 1 r(,, 不坊设PQ的倾斜角为90<0<)， 则由|PF|cos0+p=|PF|,p-|QFIcos0=|QF p IPFI-1-cos0IQFI-1+cos0 所以IMF|= 1-co(+0） 1+sin 0' p INFI= +cos(+ 1-sin y N IPQI=I PFI+IQFI=1-cos0+1+cos0 2p sin20' 2p 2p IMNI= sm(经+o） c0s20 1 1 =1.故选B 所以PQ+MN2p 7.B由题意可知F(0,√2).设圆A:(x-a)2+y2= 2,B(x1y1),D(x2,y2). 联主x2=1 (x-a)+y2=2得2x2-2ax+a2-1=0, a2-1 则x1十x2=a,x1x2=2 因此xi十x=(x1十x2)2-2x1x2=1, 故yi+y2=1+x1+1+x=2+x+x=2+1=3. 因为y-x=1,所以|BF1=√x+(y1-√2)2 √yi-1+(y1-2)”=√2y1-1,同理可得DF|= √2y2-1. 故|BF|+IDFI=√2(y1+y2)-2. 又yi+y=3,且y1,y,≥1，故y1=√3-y≤ W3-I=√2，y2=√3-y7≤√3-I=√2，从而(y1 -y2)2≤(W2-1)2. 8 】 最新5年高考真题分类优 所以IBFI+IDFI=√2(y1+y2)-2= √2(y1+y2)-2 √/4(yi+y)-2(y1-y2) 2 √/12-2(y1-y2)'-2 ≥W12-2(W2-1)-2=√6+4厄-2=√2. B O A 当a=1时，有B(0,1),D(1W2),此时|BF|+|DF 1=2-1+1=√2. 所以|BF|十DF|的最小值是2.故选B. 8.D与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交 点，故A项错误； y=kx+t 1得： 设直线l:y=kx十t,与双曲线联立x2y2 (b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t+ab2)=0,其中b2 -a2k2≠0， 设P(x1,y1）,Q(x2y2), 2a'kt 由报与系数关系得：x1十x2=二a1x: a'b2+a212 b2-a2k2· 所以线段 PQ 中点N “,产)-(2+小 将直线1y=红十，与商近线y=合联立得点S生 梅为s(巴气)： 路直线L:y=kx+t与渐近线y么T联立得点R型 标为R(g) a'kt ak't 所以线段RS中点M(二a石a不+)： 所以线段PQ与线段RS的中点重合.所以，对任意 的直线，都有1PRI=1PQI,RS=1SQ1,故B 2 项不正确； 因为1OB为定值，当：越来越接近渐近线y=- a x的斜率一么时，S。趋向于无穷， 所以S△RB会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项 错误； 联立直线L与渐近线y= x,解得 Sl-aiab 2b+a√2b+a ( 7 化卷(26一ZT)·数学答案 联立直线！与渐近线y=一 b x,解得 a? ab R(-bta'/b-a 由题意可知，BR=3BS, 3ab ab 3ys=yR+2y8'bta 12b-a ,解得b=√2a, 所以e=√1+a= (W2a) =√5，故D项正 a V1+ a 确.故选D. 9.ABD设曲线上的动点P(x,y),则x>-2且 √/(x-2)2+y2X|x-a=4, 因为曲线过坐标原，点，故√(0-2)+0×|0-a=4, 解得a=一2，故A正确. 又曲线方程为√(x-2)十yX|x+2|=4,而x> -2, 故W√（x-2)+y×(x+2)=4. 当x=2√W2,y=0时，√(2√2-2)×(2√2+2)= 8-4=4, 故(2√2,0)在曲线上，故B正确. 16 由曲线的方程可得y2= (x+2)-（x-2)2,取x 3 州-酷子6路1酷6婴 49449×4 >0,故此时y2>1, 故C在第一象限内，点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误， 当点(xoyo)在曲线上时，由C的分析可得 16 16 6=27u。2》≤x十27 4 4 十2≤十2故D正确，故选ABD. 故一 10.AC直线y=-√3(x-1)过点(1,0)，所以抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0), 所以2=1，p=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线 C的方程为y2=4x 设M(x1y1),N(x2y2), 由y=-√3(x-1)消去y并化简得3x2-10x+3 y2=4x =(.x-3)(3x-1)=0, 1 解得x1=3,x2=3,所以|MN|=x1十x:+p=3 +了+2-号B选项结溪。 设MN的中，点为A,M,N,A到直线的距离分别 为d1,d2,d, 周为d=d+d)=号1MF1+INFD=3 MN, 即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MV 】 最新5年高考真题分类优 为直径的圆与直线！相切，C选项正确 直线y=-√3(x-1),即3x+y-√3=0， 0到直线√5x十y一厅=0的距离为d= 2 1、16、54√3 所以三角形OMN的面积为2X3X2= 3 2 y=-3(x-1) 由上述分析可知y1=-√3(3-1)=-2V3,y2= (传-) 所以1OM1=√3+(-2√5)=√2,1ON|= V)+ = 3 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故 选AC. 11.ABD抛物线y2=4.x的准线为x=-1, ⊙A的圆心(0,4)到直线x=一1的距离显然是1， 等于圆的半径， 故准线l和⊙A相切，A选项正确； P,A,B三点共线时，即PA⊥l,则P的纵坐标yP =4, 由y2=4xp,得到xp=4,故P(4,4), 此时切线长|PQ|=√PA-r=√/4-1= √I5,B选项正确； 当|PB|=2时，xp=1,此时yp=4xp=4,故P(1, 2)或P(1,-2), 当P1,2时A0,4,B(-1,2n-着号 4-2 2,k=0=(-五=2， 不满足kpakan=一1； 当P1,-2)时A(0,4),B(-1,2,kp=2 0-1 4-(-2) -6,kB=0-(-1) =6, 不满足kpakan=一1； 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； 方法1：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，|PB|=|PF|,这里F(1,0), 于是|PA|=|PB|时P点的存在性问题转化成 PA|=1PF|时P点的存在性问题， A(0,F1,0,AF中点（分，2）小AF中套线的 【 8 化卷(26一ZT)·数学答案 1.1 斜率为一k一耳’ 于是AF的中垂线方程为：y= 2x+15 8 与抛物线 y2=4x联立可得y2-16y+30=0, △=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物 线有两个交点， 即存在两个P点，使得IPA|=|PF,D选项正确. 方法2：（设，点直接求解） y 设P(任小由PBL1可 得B(-1,t),又A(0,4), B 又IPA|=IPBI, 根据两点间的距离公式， √6+(-4)”=4+19 整理得t2-16t+30=0, △=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两 个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确.故选ABD. 12,解析：圆(x-1)+y=25的圆心为下(1,0)，故 =1即p=2, (x-1)2+y2=25 由 y2=4x 可得x2+2x-24=0,故x= 4或x=-6(舍去)， 故A(4,士4)，故直线AF:y=士3（x-1)即4虹-3y -4=0或4.x+3y-4=0, 故原点到直线AF的距离为d=4L=4 5=5 4 答案：5或0.8 13.解析：由题意可知A,B,F, 三点横坐标相等，设A在第 2 一象限，将x=e代入 y 6 =1 故1AB1-2么-10,1AP,1=2-5. a a 又|AF11-IAF21=2a,得|AF1I=|AF2|+2a= 2a十5=13，解得a=4,代入么=5得6=20， a 故c2=a2+b=36,即c=6,所以e=二=6 答案：2 14.解析：设A(0,b),B(0,-b),P(x,y), 0 】 最新5年高考真题分类优 由道意如阴 =2,可得|PB|=21PA|, 即√Jx+(y+b)7=2√/x2+(y-b)F, 些理+(。-曾=（） ,可得圆心为 o曾》半径-号 所以△PAB的最大面积为2×2b×=4,解得 6=3,即二十了1 设Q(x,y),M(x1y1),则N(-x1,-y1), 一，同理y _3(a2-x2) a y-y y+y2 则kQM三 x一x -;kQN= x+x21 3(a2-x2)3(a2-x) y2-y 则kaM·kQN= a2 x2-x x2-x1 =3, 整理得a21,所以双曲线的方程为x2一气=1 如图所示，设边CF1,CF2,FF2上的切点分别为 R,S,T, F 0 D 则M,T横坐标相等，则|CR=ICSI,IF,M|=I FT,F,S=F,T, 由|CF,I-IAF2I=2,即ICR|+IRFI-(|CSI+ |SF2|)=2, 即|RF,I-ISF2I=2, 即F,T|一IF,T=2,即点M的横坐标为x。,则 T(xo,0), 于是x。十c-(c-xo)=2,可得xo=1, 同样内心N的横坐标也为1，则MN⊥x轴， 设直线CD的领针角为0，则∠OF,N=号， ∠MF,0=90°-0 2 在△MF2N中， IMN1=(c-a)[am号+an(9o-号)]=( 0 a) sin 0 0 cos 2 【 8 化卷(26一ZT)·数学答案 0 sincos2 2 =(c-a)· 00 =(c-a)· sin a' sin 2cos 由双曲线的方程，可得a=1,b=√5，则c= √a+6=2, 2 可得1MN1=sin0' 又由直线CD为双曲线右支上的，点，且渐近线的斜 率为名三，倾针角为60 可得60°<0≤90°，即 3 2 <sin0≤1， 可得MNI的取值范围是2,2 答案：x2 y =1 b=3 9 15.解析：(1)由题意得 9,4 解得69 a2=12 a+6=1 91 所以e=√1-a=√1-2=2 3 (2)法1：kp= 3-2_1 0-3 2 1 则直线AP的方程为y=-2x十3，即x+2y-6 =0, AP=√0-3P+(g-) =35 ,由(1)知 x y C:2+ =1, 2×9 设点B到直线AP的距离为d,则d= 35 12√5 5 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 25单 5 位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 设该平行线的方程为：x十2y十C=0, 则1C+6112V5 解得C=6或C=-18, 5 5 1y2 当C=6时，联立 g=1,解得x三0 x+2y+6=0 y=-3 x=-3 或 即B0,-3)或(-3,） 】 最新5年高考真题分类优 3 3 当B(0,一3)时，此时k,=2,直线1的方程为y=2 x-3,即3x-2y-6=0, 当B(-3,-号)时，此时，=了，直线1的方程为 1 y=2x,即x-2y=0, x2,y2 当C=-18时，联立2+9=1 得2y2-27y x+2y-18=0 +117=0. △=272一4×2×117=一2070，此时该直线与椭 圆无交点 综上直线l的方程为3x-2y一6=0或x一2y=0. 法2：同法一得到直线AP的方程为x十2y一6=0， 12√5 ,点B到直线AP的距离d= 5 1xo+2y。-6l12√5 ⑤ 5 设B(xo,yo),则 ,解得 12+9=1 x0=一3 、3或/。=0 y=-2 yo=-3 即B0,-3)或（←3，名）以下同法- 法3：同法一得到直线AP的方程为x十2y-6=0, 12W5 点B到直线AP的距离d= 51 设B(25cos0,3sin0),其中0∈[0,2π)， 则有2V3cos0+6sin0-6l125 √5 5 3 c0s0= 联立cos0+sin0=1,解得 2 sin 0=- 2 儡g 即B0,-3)减(-3，-）以F同法1： 法4：当直线AB的斜率不存在时，此时B(0,一3)， 1 3 S△PMs=2X6X3=9,符合题意，此时k,=2,直 3 线1的方程为y=2x-3,即3x-2y-6=0, 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y =kx十3， y=kx十3 吸生领通方江布侣+号=” 则(4k2+3)x2十24kx=0,其中k≠kP,即k≠ 1 2 -24k 解得x=0或x= 4k2+3 【8 化卷(26一ZT)·数学答案 -24k 令x= -12k2+9 4k2+3 ，则y= 4k2十3，则 B(24k,-12k2+9\ （4k2+3’4k2+3 同法1得到直线AP的方程为x十2y-6=0, 12w5 点B到直线AP的距离d= 5 -24k 4k2+3 +2×-126+9 6 4k2+3 12√5 则 写 5 ,解得 =2 北时B(一8。），别得到此时，=子，直线1的方 程为y=2x,即x一2y=0, 综上直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法5：当1的斜率不春在时，l:x=3,B(3,-）,PB =3,A到PB的距离d=3, 1 9 此时SAap=2X3X3=2≠9不满足条件， 3 当1的斜率存在时，设PB:y-2=(x一3)，令P (x1y1),B(x2y2), x2,y2 ,消y可得(4k2+3)x2一(24k2- 12+9=1 12k)x+362-36k-27=0, △=(24k-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且 k≠kAP, 24k2-12k 1 x1十x2= 4k2+3 即k≠ 2 36k2-36k-27 x1x2= 4k2+3 PB I = √k2+1√(x1+x2)-4x1x2 43+13k2+9k+4 4k2+3 3 3k+2 A到直线PB的距离d= √+1 27 4B√+五√3k+9k+4 SAPAB-2 4k2+3 3/ 3k+ =9, √+1 k=1 3 或2，均满足题意， 3 .L:y=1x或y=2x3,即3x一2y二6=0或x 2 】 最新5年高考真题分类优 -2y=0. 法6：当l的斜率不存在时， 1x=3,B(,-）PB1=3,A到PB的距高d =3, 此时S△Aap=2X3X3=2≠9不满足条件. 当直线1斜率存在时，设(： y=k(x-3)+2: 设1与y轴的交点为Q, 令 0, 则 Q0,-张+)： 3 联立y=虹一3张+2， 3x2+4y2=36 3 则有(3+4h)x2-8k(3k-2)x+36k-36k-27 =0， (8+46r2-8(3k-）r+36-366-27=0. 共中△=8k(一2)】 -4(3+4k2)(36k2-36k 27)>0,且k≠-2： 36k2-36k-27 12k2-12k-9 则3xB= 3+4k IB= 3+4k2 则S= I AQ II xP JB I 2 + 1 3 =9,解得k=2或k=之，经 代入判别式验证均满足题意. 1 3 则直线1为y=2x或y=2x-3,即3x-2y-6 =0或x一2y=0. 答案：(1)2 (2)直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0 16解析：(1)依题意，得e==5」 3a, 又因为A,C分别为椭圆的上下顶点，|AC川=4，所 以2b=4,即b=2, 9a2、4 所以a2-c2==4,即a2- a2=4,则a =9, 所以椭圆E的方程为9 4 =1. (③得为第商E的方报为号+兰 1, 所以A(0,2),C(0, y -2),B(-3,0),D (3,0), 因为P为第一象限 B O D E上的动点， y=-2C 8 化卷(26一ZT)·数学答案 设P(m,n)(0<m<3,0<n<2), 0+2 2 易得C=-3一0=一3，则直线BC的方程为y 2 3x2, n m-3（x-3), 2 3(3n-2m+6) =-3x-2 x= 联立 ,解得 3n十2m-6 -12n y=3n+2m-6 即M(3(3n-2m+6) -12n 3n+2m-6,3n+2m-6), n-2_n-2 而kPA= m-0=m ，则直线PA的方程为y= n- mx+2, 令=-2，别-2=”十2解得=贺即 -2,-2, 号+号 9n2 =1,则m2=9一 8m2=72-18n2, 4 4 -12n 所以MN 3n+2m-6+2 3(3n-2m+6)-4m 3n+2m-6n-2 (-6n+4m-12)(n-2) (9n-6m+18)(n-2)+4m(3n+2m-6) -6n+4mn-8m+24 9n2+8m2+6mn-12m-36 -6n2+4mn-8m+24 9n2+72-18n2+6mn-12m-36 -6n2+4mn-8m+24 -9n2+6mn-12m+36 2(-3n2+2mn-4m+12)2 3(-3n2+2mn-4m+12)3 0+22 又km-3-0=3,即kN=km, 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD. 答案写+ (2)证明见解析 1 17.解析：1)因为椭圆的离心率为e=2,故a=2c,b =√3c,其中c为半焦距， 所以A-,0.Bo,-5c)C0.） 故5aw×2×9- 2c= 2, 3 最新5年高考真题分类优 故c=尽，所以Q=25,b=3,故椭圆方程为：12十 (2)若过点(0，）的动 直线的斜率存在，则可设 该直线方程为：y=kx 3 2 设P(x1y1),Q(x2y2),T(0,t), 3.x2+4y2=36 由 3可得(3+4k2)x2-12kx-27 y=虹-2 =0, 故4=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0且x 12k 十x=3十4h2 27 x1x2= 3+4k2, TP=(z,y-1),TQ=(z2,y2-t), 故TP.TQ=x1x2+(y1-t)（y2-t)=x1x2 +(x,-号-)(，-吾-) =1+)x:-(径+)+z)+(受+） +(层+) -272-27-18k2-121+3(侵+：）+(3+2)k 3+4k [3+2)-121-45]k+3(号+）-27 3+4k2 因为TP·TQ ≤0恒成立，故 (3+2t)2-12t-45≤0 3(g+）-27≤0 解得3≤号 若这点0，一）的动直线的钟率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时名-3C<3,两者结合可得-3<号 综上，存在T(0,D(-3<1≤)，使得TP,Td ≤0恒成立 答案：1)72十9=1 3 (2)存在T0)(-3≤1≤2)，使得TP·TQ≤0 恒成立 8 化卷(26一ZT)·数学答案 18.解析：(1)如图所示， 0 0 A2无 由题意得&十C二解得。=2，c=1,所以b √/22-1严=√3， 所以绮圆的方程为气+写 .2 +3=1,离心率为e=9 (2)由题意得直线A,P的斜率存在，由椭圆的方程为 号+号-1可得A8 设直线A2P的方程为y=k(x一2) 联立方程组子十3，消去y整理得，3十4 y=k(x-2) -16k2x+16k2-12=0, 16k2-12 由韦达定理得xA,·xp= 3+46,所以x 8k2-6 3十4k2, 所以P(86-6-12k) 3+46'3+46,Q(0,-2). 所以SA4,41=2 X4×16,S,#=号X1X1r 1 l.SAM=2X4Xlypl 所以S△M,QL1=SAAP阳+SAM14,P=2S△，PF +S△A142P, 12k 所以2|yQ|=3|yp|,即2-2k|=3 3+4k2 解得二土6 ,所以直线A,P的方程为y=土？ (x-2). 答案：1)椭圆的方程为三+号-1，离心率为。 y2 1 2 (2y=±6 (x-2) 19.解析：(1) laxor+byoy=1 (abyi+a'xi)x: fax2+by2=1 2axox+1-byo=0 即ax2-2a.xox十ax6=0 .△=4a2x8-4a2x6=0 ∴l与椭圆C相切. (2)逆命题：若直线l:a.xox十by0y=1与椭圆C 最新5年高考真题分类优 相交， 则，点N(xoyo)在椭圆C的外部 是真命题.联立方程得(aby十a2x)x2-2a.xox十 1-by8=0 则△=4a2x。一4a(by十a.x。)(1一by。)>0 .axo-byo+byo-ax +abxeyo>o .by+a.x6>1 N(xo,yo)在椭圆C的外部. (3)同理可得此时l与椭圆相离，设M(x1,y1),A (x,y) x1十λ1x0 x 1+λ1 则 代入椭圆C:a.x+by2=1,利用 y1+λ1yo y 1+A M在l上， 即axox1十byoy1=1,整理得(ax6+by-1)十 a.x+by{-1=0 同理得关于入2的方程，类似 即A1、λ2是(a.x6+by6-1)A+a.xi+byi-1=0的 两根 ∴.λ1十λ2=0. 答案：(1)1与椭圆C相切.见解析 (2)逆命题：若直线l:axox十byoy=1与椭圆C相 交，则点N(x。yo)在椭圆C的外部.是真命题.见 解析 (3)为定值0，见解析 卷16解析几何综合 1.C:ex-a=x+0(e-1)x。=a+a a十 c a≥(e-1)a, e-1<1+2=1+。 e2-2e-1≤0,1-√2≤e≤1+√2， 而双曲线的离心率e>1,.e∈(1，√2+1]，故选C 2.D由题意得两条渐近线方程为y=士么x,F(c, 0), 因为右准线与一条渐近线交于点A,所以不妨设 因为△OAF的面积为，(0为原点) 所以2·c 1 ab a c=2,得a=b, 所以两条渐近线方程为y=士x, 因为两直线的斜率乘积为一1， 所以两渐近线垂直， 所以两条渐近线的夹角为90°，故选D. 3.A由条件作出正方体 AC1,并以A为原点，直线 A AB、AD和AA:分别为 B x、y和之轴建立空间直角 M 坐标系，如图所示： 设正方体AC1的棱长为a (a0),点M(x,0,), B 8 化卷(26一ZT)·数学答案 所以得d1=|x|,d2=√(a-x)+, 由d1=λd2(>0),得|x|=λ√(a-x)+e, 所以x2=λ2[(a-x)2+e2],即2：2+（λ2-1）x2 2λ2a.x=-λ2a2①(1>0)， 当入=1时，①式化得：之2=2ax-a2, 此时，点M的轨迹是抛物线； 当入≠1时，①式化得：之2+（入2-1) G- λax 2-1 =-λ2a2, 2-1 →x2x2+(a2-1)(x 2λ2a2 λaN a22 x-1 21>0②， 当0<入<1时，入2-1<0，则②式是双曲线的方程， 即点M的轨迹为双曲线： 当λ>1时，λ2-1>0，则②式是椭圆的方程，即点M 的轨迹为椭圆，故选A. √x+y 3 4.C设P(x,y),则 √(x-2)+y7 2 整理得(x )+y2-14 182 25 /18 12 所以E是一个圆心为（写0），半径为后的圆，故A 错误； 因为圆心 (侣0)到直线1的距离为 =2, √52+(-5√3) 所以E上的，点到直线！的距离的取值范围为 a2+号]中号]B特： 18 圆心（写，0）到直线1的距离为2， 所以（被E截得的孩长为2 ）-2'=4厘 5 故C正确； 因为5 2 目为卫二2气，所以E上存在三个点到1的距离为 2 ，故D错误.故选C 5.B由方程k(x十2y十1)2=x2+y2-4x十4，可得k (x+2y+1)2=(x-2)2+y2,显然k>0 即√E|x+2y+1|=√(x-2)+y, 所以 E √(x-2)'+y 1x+2y+11 W√(x-2)2+y2 √(x-2)2+y2 1x+2y+×√+2 x+2y+1×/5 √1+2 5 5 】最新5年高考真题分类优化卷·数学（十五） 卷15圆锥曲线的方程 本卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的、 已知双曲线二-1口>0，b>0)的左、右焦点分别为F,P·过 向一条渐近线作垂线，垂足为P.若PF,=2,直线PF,的斜率为 4 则双曲线的方程为 () =1 B.y 48=1 C.y 42-1 D.2-4=1 之设0为坐标原点，5,5，为椭圆C:号+号 =1的两个焦点，点P 3 在C上，cos∠F,PF,=5,则|OP= ( 13 A.6 B.30 2 c号 D.35 2 3设A,B为双曲线x2- 9=1上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是 () A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(一1，一4) x2 y2 4.已知双曲线C:a一方=1(a>0,b>0)的离心率为V5,C的一条渐近 线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点，则|AB|=() A号 5 B.5 6.双曲线≥、 -1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲 线右支上一点，且直线PF,的斜率为2.△PF,F,是面积为8的直角 三角形，则双曲线的方程为 () 【最新5年高考真题分类优化卷(26-ZT)·数学（十五）15-1】 x2 y2 x2 y2 A.8-2-1 B.8-4=1 D.4-8=1 6.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,在抛物线C上存在四个点P,M,Q, N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为F,且PQ⊥MN,则PQ 1 十 1 () MNI 号 B.1 C.√2 D.2 7.(2025·全国Ⅱ卷)已知双曲线C:y2-x2=1的上焦点为F,圆A的 圆心位于x轴上，半径为√2，且与C的上支交于B,D两点，则BF|十 |DF|的最小值为 () A.2√3-2 B.√2 C.√6-1 D.√3 x2 y2 8.双曲线C:a一6-1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,0为坐标 原点，如图，已知动直线1与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点， 与其两条渐近线分别交于R,S两点，则下列命题正确的是() A.存在直线l,使得BQ∥OS B.当且仅当直线I平行于x轴时，PR|=|SQ C.存在过(0，b)的直线l,使得S△OB取到最大值 D.若直线1的方程为y=- 之(x-a),BR=3BS,则双曲线C的离心 率为√3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.设计一条美丽的丝带，其造型o可以看作图中的曲线C的一部分.已 知C过坐标原点O.且C上的点满足：横坐标大于一2，到点F(2,0)的 距离与到定直线x=a(α0)的距离之积为4，则 () 【15-2】 A.a=-2 B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(xy)在C上时y≤x。+2 4 10.设O为坐标原点，直线y=一√5(x一1)过抛物线C:y2-2px(p>0) 的焦点，且与C交于M,N两点，L为C的准线，则 () A.p=2 B.IMNI-3 8 C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 11.抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点，过P作⊙A:x 十(y一4)=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B,则 () A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ1=√15 C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB的点P有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重 合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为 1以设双线C号苦 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过 F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|= 10,则C的离心率为 14,在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA PBIT 入，当入>0且入≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲 线子-1a>0,b>0.FP,分别为双曲线的左，右焦点A,B 为双唐线虚轴的上，下端点，动点P满足-2，△PAB面积的最 【15-3】 大值为4.点M,N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一 点，直线QM和QN的斜率满足kaM·kav=3,则双曲线方程是 ;过F,的直线与双曲线右支交于C,D两点（其中C点在第一象 限)，设点M、N分别为△CF,F2、△DF,F2的内心，则|MN|的范围 是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知A0,3)和PB号为椭圆C:+1(a>6>0)上两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求L的 方程. 16.(本小题满分15分) y 包知椭圆E:,十2 =1(a>b>0)的离心率为 3,A,C分别是E的 上、下顶点，B,D分别是E的左、右顶点，|AC=4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M, 直线PA与直线y=一2交于点N.求证：MN∥CD. 【15-4】 17.(本小题满分15分) 尼知椭圆。+1。>b≥0.椭圆的离心率e左顶点为A 3W3 下顶点为B,C是线段OB的中点，其中S△Ac=2, (1)求椭圆方程. (2过点o,2)的动直线与椭圆有两个交点P.Q.在y轴上是否存 在点T使得TP·TQ≤0.若存在求出这个T点纵坐标的取值范围， 若不存在请说明理由. 18.(本小题满分17分) y 已知椭圆。十京-1(a>b>0)的左右顶点分别为A,A,右焦点为 F,已知|AF|=3,|A,F|=1. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A,P交y轴于点Q,若三 角形A1PQ的面积是三角形A,PF面积的二倍，求直线A,P的 方程 【15-5】 19.(本小题满分17分) 若给定椭圆C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和点N(x。,yo),则称 直线l:axox十byoy=1为椭圆C的“伴随直线”. (1)若N(x。,y。)在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置 关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭 圆相离、相切、相交)，并说明理由； (2)命题：“若点N(x。,y。)在椭圆C的外部，则直线1与椭圆C必相 交.”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由； (3)若N(xo,y。)在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆 C于A、B两点，交l于M点（异于A、B),设MA-入1AN|,MB=2 BN|,问入1十入2是否为定值？说明理由. 【15-6】