第17章：因式分解 专题讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

专题01：因式分解专练（巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 因式分解是代数中的核心技能，掌握系统的分类方法能帮你快速找到解题思路。便于你针对性学习和练习，核心是观察结构、灵活组合。 目录 【知识要点】 1 【温馨提示】 1 【方法技巧】 1 题型一、提取公因式法与公式法综合 2 题型二、十字相乘法 3 题型三、分组分解法 4 题型四、添项、拆项法 6 答案解析部分 8 【知识要点】 1．因式分解 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法． (2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． (3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 【温馨提示】 分解因式的对象必须是多项式，如把分解成就不是分解因式，因为不是多项式． 2．分解因式的结果必须是积的形式，如就不是分解因式，因为结果不是积的形式． 【方法技巧】 1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如． 2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点． 题型一、提取公因式法与公式法综合 1．因式分解 （1）； （2）； （3）； 2．分解因式： （1） ； （2） ． 3．分解因式： （1） （2） （3） 4．分解因式： （1）a3﹣6a2b+9ab2 （2）a（y﹣z）﹣ab（z﹣y） （3） （4）（m2+2m）2﹣2（m2+2m）+1 5．因式分解： （1）x4- 8x2y2+16y4 （2）（a2+1）2-4a2 （3）a2-2a（b+c） +（b+c）2 （4）（x2-6）2-6（x2-6）+9 6．分解因式： （1） （）因式分解：． 7．因式分解： （1）． （2）． 8．利用因式分解说明3200-4×3199+10×3198能被7整除． 题型二、十字相乘法 9．因式分解：． 10．因式分解：． 11．小明和小刚共同解一道题（2x+a）（3x+b），由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是10. （1）求a，b的值. （2）计算出正确的结果. 题型三、分组分解法 12．因式分解： （1）6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2 （2）． 13．已知a，b，x，y满足a+b=x+y=3，ax+by=7.求的值. 14．（2024八上·九台期末）阅读下列材料： 一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如： 因式分解：am+bm+an+bn ＝（am+bm）+（an+bn） ＝m（a+b）+n（a+b） ＝（a+b）（m+n）． （1）利用分组分解法分解因式： ①3m﹣3y+am﹣ay； ②a2x+a2y+b2x+b2y． （2） 因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　 　（直接写出结果）． 15．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=（x+3）（r+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+ 3n， ∴解得 ∴另一个因式为x-7，m的值为-21． 仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5，求另一个因式以及k的值． （2）已知多项式x3+4x2+nx+m中含有一个因式x2+x-2，试求m，n的值． 16．阅读材料： 分解因式：这种分解因式的方法称为“分组分解法”. 请用“分组分解法”分解因式： （1） （2） 题型四、添项、拆项法 17．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：； ， 原式， 即当时，原式有最小值． 学以致用： （1）用配方法分解因式：；其他方法不得分 （2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时的值． 18．（2023八上·德惠月考） [学习材料]拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式： x4+4y4 懈：原式=x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2 =(x+2 )2-4x2y2=(x2+2y2 +2xy)(x2+2y2-2xy) 例2分解因式： x3+5x-6． 解：原式=x3 -x+6x-6=x(x2-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式a2+b2+4a-6b+13写成A2+B2的形式。 解：原式=a2+4a+4+b2-6b+9=(a+2)2 +(b-3)2 [知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：x2+2x-8= 　 　 （2）运用拆项添项法分解因式：x4+4=　 　 （3）判断关于x的二次三项式x2-20x+111在x=　 　时有最小值； （4）已知M=x2+6x+4y2-12y+m(xy均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值． 答案解析部分 1．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【解析】【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，且是一个完全平方式，故采用完全平方公式继续分解； （2）把含字母的式子看成一个整体，符合平方差公式结构特点，根据平方差公式分解即可； （3）把含字母的式子看成一个整体，此题是三项式，先利用十字相乘法分解因式，再对每一个多项式进行观察，利用十字相乘法分解因式继续分解到每一个多项式都不能再分解为止； 2．【答案】（1） （2）​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）公因式是一个字母a，将公因式提取出来即可； （2）公因式是一个多项式，先将1+x用括号括起来，再提取公因式1+x. 3．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【解析】【分析】（1）先提公因式2a，再利用平方差公式分解即可； （2）因为，所以直接利用平方差公式分解即可； （3）观察到两项中存在(m-n)和(n-m)，可通过调整符号统一公因子，进而提取公因式并分解因式. 4．【答案】（1）原式＝a（a2﹣6ab+9b2） ＝a（a﹣3b）2 （2）原式＝a（y﹣z）+ab（y﹣z）=a(y-z)(1+b)； （3）原式 （4）原式=（m2+2m﹣1）2 【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用提取公因式法分解因式即可； （3）先展开合并，然后利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用完全平方公式分解因式即可. 5．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 . 【解析】【分析】（1）此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可； （2）此题先把a2+1看成一个整体，利用平方差公式分解因式，再将每一个因式利用完全平方公式继续分解即可； （3）把b+c看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式即可； （4）把x2-6看成一个整体，此题所给的三项式是一个完全平方式，先利用完全平方差公式分解因式，再将底数利用平方差公式继续分解，最后根据积的乘方运算法则计算即可. 6．【答案】解：（） ． （）原式 【解析】【分析】（）先将2-3a化成-（3a-2），再提公因式，最后用完全平方公式分解即可.（）先提取公因式b-5，再利用平方差公式分解因式即可； 7．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）直接提取各项的公因式2(x+y)，然后将各项剩下的商式写在一起作为另一个因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再合并各个因式内的同类项，进而再将各个因式内的公因式分别提出即可. 8．【答案】解：3200-4×3199+10×3198， =3198（32-4×3+10）， =3198×7， ∴3200-4×3199+10×3198能被7整除． 【解析】【分析】根据题意将 3200-4×3199+10×3198 变成底数是3，指数相同的形式，通过观察分析即可得出结论：能被7整除，那么原式 3200-4×3199+10×3198能被7整除. 9．【答案】解：原式． 【解析】【分析】把（x2-2x)看作一个整体，用十字相乘法分解因式，再用十字相乘法和公式法分解因式。 10．【答案】解： = = = 【解析】【分析】先展开并化简为，再利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可. 11．【答案】（1）解：∵2x2-9x+10=(2x-5)(x-2)， 又∵ 小刚漏抄了(2x+a)(3x+b)中第二个多项式中x的系数， ∴a=-5，b=-2； （2）解：. 【解析】【分析】（1）将2x2-9x+10利用十字相乘法分解因式后，结合小刚漏抄了(2x+a)(3x+b)中第二个多项式中x的系数，即可直接得出a、b的值； （2）把（1）中求出的a，b的值代入，根据多项式乘以多项式法则计算即可. 12．【答案】（1）解： 6x2-5xy-6y2+2xz+23yz-20z2 =(3x+2y-5z)(2x-3y+4z) （2）解： ． 【解析】【分析】(1)把多项式视为关于x的二次式，利用求根法分解，再通过分组分解完成因式分解；（2）此题多项式有五项，先采用三二分组，第一组利用完全平方公式分解，第二组利用提取公因式法分解，然后组间再利用提取公因式法分解即可. 13．【答案】解：∵a+b=x+y=3， ∴(a+b)(x+y)=9， ∴(ax+by)+(ay+bx)=9， ∵ax+by=7， =(ay+bx)(ax+by)， ∴原式=14. 【解析】【分析】先根据题意得到(a+b)(x+y)=9，即(ax+by)+(ay+bx)=9，再化简得到，从而代回代数式即可求解。 14．【答案】（1）解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay） ＝3（m−y）＋a（m−y） ＝（m−y）（3＋a）； ②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y） ＝a2（x＋y）＋b2（x＋y） ＝（x＋y）（a2＋b2）； （2）（a＋b＋1）（a＋b−1） 【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2−1 ＝（a＋b）2−1 ＝（a＋b＋1）（a＋b−1）． 故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）． 【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可； ②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可； （2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案． 15．【答案】（1）解：设另一个因式为x+a，得2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），则2x2+3x-k=2x +（2a-5） ∴ 解得 ∴另一个因式为x+4，k的值为20． （2）解：设另一个因式为x+a，得x3+4x2 +nx+m=（x+a） （x2+x- 2）．，∴x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2 +（a-2）x-2a，∴a+1=4，a-2=n，m= -2a，∴a=3，n=1，m=-6． 【解析】【分析】（1）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（2x-5）（x+a）展开、合并同类项，化为2x2+（2a-5）x-5a.由题意可知，二次三项式2x2+3x-k是由（2x-5）（x+a）相乘得到的，所以2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a，所以2a-5=3，-k=-5a，求出a和k的值，进而就可以得到另一个因式. （2）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（x2+x-2）（x+a）展开、合并同类项，化为x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.由题意可知，多项式x3+4x2+nx+m是由（x2+x-2）（x+a）相乘得到的，所以x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.所以a+1=4，a-2=n，-2a=m，求出a和m、n的值即可. 16．【答案】（1）解：原式= =. （2）解：原式= = = = =. 【解析】【分析】（1）先利用“二二”分组，将一二项、三四项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法分解因式，进而组间再利用提取公因式法分解即可； （2）先利用“二二二”分组，将一六项、二三项、四五项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法分解因式，进而组间再利用提取公因式法分解，最后再在剩下的商式内利用分组分解法分解到每一个因式都不能再分解为止. 17．【答案】（1）解：由题意， ． （2）解：由题意， ， 当时，多项式有最大值． 【解析】【分析】本题考查配方法的应用因式分解和求最小值。 （1）配方时，注意二次项系数，如果不是1，则先提取系数，再配方，加上一次项系数一半的平方。若系数是1，直接配方即可； （2）求多项式的最大值或最小值时，通过配方的方法，利用平方的非负性，求出最值即可。 18．【答案】（1）（x+4)(x-2) （2）（x2+2+2x)(x2+2-2x)， （3）10 （4）解：M=x2+6x+4y2-12y+m=（x2+6x+9）+（4y2-12y+9）+m-18， =（x+3）2+（2y-3）2+m-18， ∵ M恰能表示成A2 +B2的形式 ， ∴m-18=0， ∴m=18. 【解析】【解答】解：（1） x2+2x-8= x2+2x+1-1-8=（x+1）2-9=（x+1+3）（x+1-3） =（x+4）（x-2）； 故答案为：（x+4)(x-2)， （2）x4+4=x4+4+4x2-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2+2x)(x2+2-2x)， 故答案为：（x2+2+2x)(x2+2-2x)， （3） x2-20x+111= x2-20x+100+11=（x-10）2+11， ∴当x=10时，有最小值， 【分析】（1）模仿材料拆项添项法进行分解因式即可； （2）模仿材料拆项添项法进行分解因式即可； （3）利用配方法将原式化为（x-10）2+11，根据偶次幂的非负性即可求解； （4）利用配方法将原式化为（x+3）2+（2y-3）2+m-18，结合M恰能表示成A2+B2的形式 ，可得m-18=0，继而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $