第17章因式分解（讲义+练习）　2025—2026学年人教版数学八年级上册

17.1 用提公因式法分解因式 【知识点01 因式分解的意义】 分解因式的定义：把一个多项式化为 ，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 注意：①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； ②因式分解必须是恒等变形，，因此可以用整式乘法来检验； ③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系： 因式分解与整式乘法是 ，因式分解是 的形式， 而整式乘法是 的形式． 【基础1】1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【知识点02 用提公因式法分解因式】 公因式定义：多项式ma+mb+mc中，各项 ，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 如何找公因式：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定 ，即确定各项 ； ②定 ，即确定各项的 （或 ）； ③定 ，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的 ． 提公因式法定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以 ，从而将多项式化成 ，这种分解因式的方法叫做 ． 提公因式的基本步骤： ①第一步 可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步 ，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【基础2】2.多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 【基础2】3.用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【基础2】4.分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【中等2】5.计算后的结果是　　 A． B． C． D． 【中等2】6.分解因式的正确结果是　　 A． B． C． D． 17.1分层作业（5分钟） 1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 2.多项式的公因式是　　 A． B． C． D． 3.多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 4.下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是　　 和 B．和 C．和 D．和 5.把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. 2a(a - 2b) B. 2a(a - 2b + 1) C. 2a(a + 2b + 1) D. 2a(a - 2b - 1) 6.如图，长方形的长和宽分别是，，它的周长为14，面积为10，则的值为　　 A．140 B．70 C．14 D．10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 用公式法分解因式 【知识点01 用公式法分解因式】 公式法定义：如果把 ，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫 ． 平方差公式逆运用： ；完全平方公式逆运用： ； 注意： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． ③要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【基础1】1.下列多项式①；②；③；④；⑤．能用公式法进行因式分解的是 . 【基础1】2.因式分解：　 　；（3x﹣4y）2﹣（4x+3y）2= ； = 【中等1】3.已知，若，，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【知识点02 用提公因式法与公式法综合应用】 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【基础2】4.下列多项式分解因式结果不含因式的是　　 A． B． C． D． 【基础2】5.下列因式分解不正确的是　　 A． B． C． D． 【基础2】6.因式分解：（1） (2) （3）； (4)． （5）5ax2+20axy+20ay2； （6）（x2+25）2﹣100x2； 【知识点03 分组分解法因式分解】 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【基础3】7.阅读与思考：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等。 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【基础3】8.下列整式中不含有这个因式的是　　 A． B． C． D． 【基础3】9.已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【知识点04 十字相乘法因式分解】 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【中等4】10.因式分解：（1） (2)3x2-7x+2 (3)3x2+7x+2 （4） 3x2+5x+2 (5) 【知识点05 因式分解的应用】 1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题． 【基础5】11.已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28． （1）求x﹣y的值； （2）求x2+y2，x+y的值． 【基础5】12.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【中等5】13.利用因式分解解决求值： ①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值； ②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值． 【中等5】14.已知，求的值是　　 A．2023 B．2024 C．1 D．0 【难点5】10.如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求多项式的最大值，则该最大值为　　 A． B． C．5 D．13 【难点5】11.阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解： （1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0； （2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值； （3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值． 【难点5】12.“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 17.2分层作业（30分钟） 1.下列各式不能运用公式法进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 2.在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 4.若多项式分解因式的结果为，则的值是　　 A．2 B．4 C．6 D．8 5.因式分解：(1) (2)x2（a﹣1）+y2（1﹣a）． (3) (4) (5) （6）． 6.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，分别对应下列五个字：昌、我、爱、游、南．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．爱南昌 B．我爱游 C．爱我南昌 D．我游南昌 7.a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为　 　 8.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 9.已知，，，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 10.已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为 　 　． 11.【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式______； (2)已知的三边a，b，c满足，请判断的形状，并说明理由． (3)已知，，求的值． 12.已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值． 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$