空间向量与立体几何 小题专练--2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何小题 一、空间几何体表面积与体积 1. 已知如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，点在弧CD上且为靠近点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作于，利用异面直线夹角的向量法列式求出圆台的高，进而求出其母线，即可求出表面积. 【详解】在圆台的轴截面中，过A作于，连，则平面，又平面， 于是，由，，则， 因点在弧CD上且为靠近点的三等分点，则，， 因此， 因AC与MD所成角的余弦值为，即， 解得，则，，    故圆柱的表面积为. 故选：B 2. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可. 【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接， 则由题意等腰梯形全等等腰梯形， 则. 取的中点O，连接，因为，所以， 则， ∴. 因为，，所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面，所以平面， 所以平面，同理可证平面， ∴多面体的体积 ， 故选：C. 3. 如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】正方形的边长为a，由题意，求出各个长度，代入体积公式，可求得a值，分析可得AC中点O为外接球球心，即可求得答案. 【详解】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故选：D 4. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 【答案】A 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 5. 已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆台的内切球的半径为，利用圆的性质，求得，过点作，在直角中，利用勾股定理列出方程，求得，得到圆台的高，圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出组合体的轴截面，设圆台的上下底面圆心分别为， 圆台的内切球的圆心为，即轴截面内切圆的圆心为，切点为，圆台的内切球的半径为， 可得，所以， 过点作，垂足为，可得， 在直角中，可得，即，解得， 即圆台的高为，又因为圆台的上下底面圆的半径分别是和 ， 所以圆台的体积为. 故选：A. 二、空间点、直线、平面之间关系 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．，，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】对于A当时，则与有可能相交即可判断，对于B当时即可判断，对于C由线面位置关系即可判断，对于D由线面垂直的性质及线面平行的判定定理即可判断． 【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误； 对于B：当时，，，，故B错误； 对于C：若一直线同时平行两平面，则与两平面的交线平行，故C正确； 对于D：满足，，则或，故D错误． 故选：C． 7. 在空间中，下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】C 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断A、B，由面面垂直的判定定理判断C，利用长方体举反例判断D. 【详解】A：空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行、相交或异面，错， B：空间中平行于同一直线的两个平面，可能平行或相交，错， C：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直，对， D：在长方体中，三点到平面的距离都相等，但平面与平面并不平行，错. 故选：C 8. 已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C 9. 设、是两个平面，m、n是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或    ②若，则， ③若，且，则    ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由线线、线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】解析  对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当n既不在也不在内，因为，，，则且，故①正确； 对②，若，则n与，不一定垂直，（线面垂直，需n垂直于平面内两条相交直线），故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与，分别相交于直线s和直线t， 因为，过直线n的平面与平面的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，当，，此时，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确； 对于B，由，可得或，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确； 对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面， 则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确. 故选：C 三、空间夹角计算 11. 若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱台的概念，将正三棱台补成正三棱锥，结合棱台的体积公式，计算棱锥的有关量，再结合线面角的概念，明确侧棱与底面所成的角，利用三角形的边角关系求其正切值. 【详解】如图1，设正三棱台三侧棱的延长线交于点，则三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，则. 又，则 ，则棱台体积，解得， 则. 设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心， 由平面，得为侧棱与底面所成的角， 所以. 故选：D 12. 如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 13. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，， 故选：B. 14. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 15. 在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接EC，，取EC中点P，连接，PA，可得即为异面直线EF，所成角（或其补角），然后根据已知条件在中求解即可. 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为. 故选：D 四、空间距离计算 16. 已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可求解. 【详解】由题意：以为坐标原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 所以点C到平面的距离为, 故选：C. 17. 已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等体积法，由求解. 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 18. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直， 在中，， ， ，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为. 答案：B 19. 已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的性质求相应长度，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图所示：    由题意可得：，， 则等腰底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以点到平面的距离等于. 故选：A 20. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以    又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 五、截面问题 21. 正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 22. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 23. 正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，再应用面面平行的性质定理得出截面，进而计算面积求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，，，. 由题意，，，四点共面，所以， 所以， 解得，，， 由，，得. 因为平面平面，平面，平面， 所以，同理， 所以截面为平行四边形，所以截面的面积. 设点到直线的距离为， 则， 因为，所以截面的面积. 故选:C. 24. 在棱长为4的正方体中，为的中点，若过三点作正方体的截面，,为截面上一点，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出截面，取中点为，连接，则截面为平面，转化为点与平面内点的距离，结合等体积法即可求解. 【详解】取中点为，连接， 由为的中点，所以， 则为平行四边形，从而四点共面， 所以过点三点作正方体的截面为平面， 在四棱锥中，，， ，， 又为平面上一点，显然当点与重合时长度最长为， 当平面时，最短， 设棱锥的高为， 因为，所以四边形为菱形，则, 又，， 则， 则， 又， 由，得，解得，则最短为， 所以线段长度的取值范围为， 故选：C. 25. 已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 六、轨迹问题 26. 棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先构造面面平行，求得点的轨迹，再根据几何关系求面积. 【详解】如图平面即平面，取的中点， 连接， 因为，，且， 所以，所以四点共面， 平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以点的轨迹是四边形， 因为，所以平面，平面, 所以，所以四边形是矩形，，， 所以四边形的面积为. 故选：A 27. 如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】在上取点，使得，在上取点，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点P的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点P的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点的轨迹长度为. 故选：A 28. 如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，．若，则动点在平面内的轨迹是（   ）． A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是 【答案】C 【分析】由题设得，结合双曲线的定义即可得. 【详解】由，，，，则， 由，即，而，， 所以， 结合双曲线定义知，动点在平面内的轨迹是双曲线的一部分. 故选：C 29. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量，利用向量法求得点P到平面EFG的距离，进而利用球的性质求得Q点所在圆的半径，即可求解. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 如图所示. 则，， 设平面EFG的法向量为，则即， 令，则，， 又，所以点P到平面EFG的距离， 因为，所以Q在以P为球心半径的球面上，又平面EFG， 所以Q的轨迹为球面与平面EFG的交线（一个圆）， 设该圆的半径为，则由球的性质可知， 所以Q的轨迹长度（圆的周长）为. 故选：D 30. 正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性关系，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体，再利用棱柱、棱锥体积公式求体积. 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分， 如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，， 所求体积. 故选：B 七、轨迹问题 31. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 32. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥的外接球的直径，从而求出三棱锥的外接球面积. 【详解】由题意得，三棱锥的对棱分别相等， 将三棱锥补充成长方体， 则对角线长分别为，，， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，，， ， 三棱锥的外接球的直径为，半径为 ， 三棱锥的外接球的面积为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决的关键是根据题意得到的特征，从而放置到相应的长方体中，即可求解. 33. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 34. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 35. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 八、多选压轴 36. 在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点满足，其中，则（　　） A．平面平面 B．对于任意，三棱锥的体积为定值 C．周长的最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用正方体的性质结合已知条件，得出各点坐标和相应向量，再根据向量垂直、共线等性质，结合两点之间线段最短、正方体外接球的相关性质，以及点到平面距离公式、圆的面积公式等逐一分析判断选项． 【详解】以点为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，   正方体是边长为2的正方体，点是线段的中点， ，， ， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则； ，令，则， ， 平面与平面的法向量， 平面平面，故A正确； ，， ， 与不垂直，即与平面不平行， 当在运动时，点到平面的距离不是定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误； 将平面沿旋转至与平面共面，如下图所示，   ， ， 周长的最小值为，故C正确； 正方体的球心，球半径，， 当时，，，， 设平面法向量为，则，令，则， 球心到平面的距离， 设平面截正方体的外接球所得截面圆半径为，则 ， 平面截取正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确． 故选：ACD． 37. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（   ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．周长最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【分析】建立合适的空间直角坐标系，对于A，当时，与重合，只需验证平面是否正确即可；由于不与平面平行，即点到平面的距离不是定值，可知B错误；利用平面展开图以及点共线时求出周长最小值，可判断C错误；求出正方体的外接球的半径以及球心到平面距离即可求出所得截面的面积. 【详解】对于A，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图： 可得， 所以， 因此可得， 所以， 又平面，所以平面， 当时，点与重合，平面即为平面， 由平面，可得平面，可知A正确； 对于B，设点到平面的距离为， 则，其中为定值， 而不与平面平行，所以点到平面的距离不是定值， 所以三棱锥的体积不是定值，可知B错误； 对于C，由正方体的棱长为2可知， 将平面与平面展开铺平到同一平面内， 连接交于点，如下图： 当共线时，的周长最小， 在平面图中易知， 显然， 所以的周长最小值为，可知C错误； 对于D，当时，可得，因此， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 易知正方体的外接球球心为，则， 因此到平面的距离为， 可知外接球半径为， 所以截面圆半径， 所以所求截面的面积，可知D正确. 故选：AD 38. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．若为的中点，则平面 B．若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为 C．若，平面与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】BCD 【分析】建立空间之间坐标系，求解平面法向量，即可根据向量法判定AC,作出截面，利用三棱锥的体积公式，即可求解B,根据空间中两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，两两垂直，所以以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。则 设, 对A，若为的中点，设平面的法向量， 由，可得， 令解得，，则与平面不平行，则与平面不平行，故A错误. 对于B, 若为的中点，则， 延长交于,连接交于点,则平面截三棱柱，所得截面为四边形， 由于是的中点，则,故，由,进而可得,故, 故 故, , , 因此三棱柱被截面截得的上部分的体积为, 而三棱柱的体积为,      三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为，故B正确. 选项C, 若, 则 ，设平面的法向量， ，由得， 令， 平面的法向量, 设平面与平面所成角为，则, ,所以， 所以C正确. 对于D，设球心为，则,即,化简可得， 则，故， 由于，故，所以， 又为开口向上的二次函数，且对称轴为， 当，，当时， 故，D正确. 故选：BCD. 39. 在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（    ） A．平面//平面 B．当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C．三棱锥体积的最大值为 D．三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由已知可得∥，∥，然后根据面面平行的判定定理证明即可，对于B，延长交延长线于，延长交延长线于，连接交于，延长交延长线于，连接，可判断截面形状，对于C，利用计算判断即可，对于D，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断. 【详解】对于A：因为，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面//平面，所以A正确； 对于B：当时，由，正方体的棱长为4， 得，则为等腰直角三角形， 延长交延长线于，延长交延长线于，连接交于， 延长交延长线于，连接， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以和均为等腰直角三角形，所以， 因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，因为平面，平面， 所以∥平面， 因为平面，平面平面，所以∥， 所以∥，所以，所以， 所以和为等腰直角三角形， 所以，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以， 设分别交直线于，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以点在线段上，点在线段上， 所以平面截该正方体所得的截面为六边形，所以B错误； 对于C：因为，正方体的棱长为4， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值，所以C正确； 对于D：以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为为直角三角形，为斜边，所以外接圆的圆心为的中点， 设三棱锥外接球的球心为，则平面， 所以设，则， 因为，所以， 化简整理得， 所以当时，取得最小值，此时三棱锥外接球的半径取得最小值为 ，所以D正确. 故选：ACD 40. 已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心，为棱中点，则（ ） A．直线与平面所成的角为 B．平面 C．半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D．球O被平面截得的截面圆的面积为 【答案】ABD 【分析】找出直线与平面所成的角，求出其大小，判断A的真假；根据线面平行的判定方法判断B的真假；确定直三棱柱内部球的最大半径判断C的真假；求出三棱柱的外接球半径，再求球心到平面的距离，从而得到截面圆的面积，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：因为三棱柱为直三棱柱，所以， 又，平面，，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在直角中，为直角，又，， 故，故A正确； 对于B，连接，交于点，连接，则为的中位线， 所以，又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，因为， 所以，所以半径为的球不能放入该直三棱柱的内部，故C错误； 对于D，取中点，因为为直角三角形，且为斜边，所以为外接圆圆心. 又为该直三棱柱的外接球球心，则也是矩形的中心，故平面. 且三棱柱的外接球半径为. 在中，，，，所以， 设点到平面的距离为，则， 又，则得， 设球O被平面截得的截面圆半径为，则， 所以所得截面圆的面积为，故D正确. 故选：ABD 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何小题 一、空间几何体表面积与体积 1. 已知如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，点在弧CD上且为靠近点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 2. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，则该木楔的体积为（    ） A． B． C． D． 3. 如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 4. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 5. 已知圆台的上下底面圆的半径分别是和 ，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、空间点、直线、平面之间关系 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．，，， B．，， C．，， D．， 7. 在空间中，下列命题正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 8. 已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9. 设、是两个平面，m、n是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或    ②若，则， ③若，且，则    ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、空间夹角计算 11. 若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 12. 如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 13. 如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 14. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 15. 在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 四、空间距离计算 16. 已知正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 17. 已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 18. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 19. 已知正方体的棱长为2，为的中点，则点到平面的距离等于（   ） A． B． C． D． 20. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 五、截面问题 21. 正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 22. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 23. 正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 24. 在棱长为4的正方体中，为的中点，若过三点作正方体的截面，,为截面上一点，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25. 已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 六、轨迹问题 26. 棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 27. 如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 28. 如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，．若，则动点在平面内的轨迹是（   ）． A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是 29. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 30. 正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 七、轨迹问题 31. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 32. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（    ） A． B． C． D． 33. 正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 34. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 35. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 八、多选压轴 36. 在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点满足，其中，则（　　） A．平面平面 B．对于任意，三棱锥的体积为定值 C．周长的最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 37. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（   ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．周长最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 38. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．若为的中点，则平面 B．若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为 C．若，平面与平面所成角的正切值为 D．三棱锥外接球半径的取值范围为 39. 在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（    ） A．平面//平面 B．当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C．三棱锥体积的最大值为 D．三棱锥外接球半径的最小值为 40. 已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心，为棱中点，则（ ） A．直线与平面所成的角为 B．平面 C．半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D．球O被平面截得的截面圆的面积为 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $