考点02 二次根式的化简与求值问题（10种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点02 二次根式的化简与求值 考点一：二次根式的化简 定义：把二次根式化简为最简二次根式的过程，叫做二次根式的化简. 化简方法： 1）在二次根式的化简中，要注意以下四点： ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 如： ②化去根号下的分母：被开方数是带分数的，要先化成假分数；被开方数是小数的，要先化成分数. 如： ③被开方数是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解. 如： ④分母中含有二次根式时，应进行分母有理化. 2）法则：和是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开方开得尽，可以利用上述两个性质及公式，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简. 【常见技巧】化简的原则一般有两条:一是能开得尽的因数(式)优先开方；二是分子、分母能约分的因数(式)优先约分.有时也可以将根号外的因数(式)移到根号内，此时指数要加倍.还可以将二次根式的被开方数的偶次因数(式)移到根号外，此时因数(式)的指数折半. 题型一：二次根式的化简 在解题过程中一定要注意a的取值范围.例：化简. 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知实数，则化简的结果是（　　） A． B．3 C．-3 D． 3．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 题型二：化简后再代入求值 5．（2025·安徽滁州·二模）化简求值：，其中． 6．（24-25八年级下·吉林·月考）先化简，再求值：，其中，． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）化简求值：已知，求的值． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）先化简，再求值：．其中，． 题型三：先求字母的值再代入求值 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 题型四：先化简再整体法求值 将已知等式的未知数和有理数部分放一边，无理数放一边，两边平方得到关于未知数的整体取值，然后采用整体代入法或者降次法求代数式的值. 10．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 12．（24-25八年级下·青海海东·月考）如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 13．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 题型五：先把条件根式有理化再化简求值 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，， ． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 16．（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则 ． 18．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 题型六：利用换元法化简求值 19．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知为实数，且，则 ． 20．已知n＝＋1，求的值． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 题型七：已知整数部分与小数部分化简求值 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）对于一个无理数，我们把不超过的最大整数叫做的整数部分，把减去整数部分的差叫做的小数部分．设，是的小数部分，是的小数部分．求的值． 23．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 24．（23-24八年级下·河北沧州·月考）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如的整数部分就是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 题型八：化简双重二次根式 通过对中的进行配方，得到完全平方式，再开方化简. 25．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 26．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 27．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 28．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 题型九：分母有理化 29．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 30．（24-25八年级下·北京·期中）化简（且），得 ． 31．（24-25八年级下·云南临沧·月考）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空：_____，______；______（为正整数）； (2)利用上面的知识化简： 题型十：无理数求和的裂项相消 利用分母有理化将每一个无理数进行裂项，然后进行计算. 32．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试） ． 32．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试） ． 34．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若为实数，且，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知 ，n 是 m 的小数部分．则 ． 4．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 5．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 8．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 9．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 10．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 二次根式的化简与求值 考点一：二次根式的化简 定义：把二次根式化简为最简二次根式的过程，叫做二次根式的化简. 化简方法： 1）在二次根式的化简中，要注意以下四点： ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 如： ②化去根号下的分母：被开方数是带分数的，要先化成假分数；被开方数是小数的，要先化成分数. 如： ③被开方数是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解. 如： ④分母中含有二次根式时，应进行分母有理化. 2）法则：和是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开方开得尽，可以利用上述两个性质及公式，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简. 【常见技巧】化简的原则一般有两条:一是能开得尽的因数(式)优先开方；二是分子、分母能约分的因数(式)优先约分.有时也可以将根号外的因数(式)移到根号内，此时指数要加倍.还可以将二次根式的被开方数的偶次因数(式)移到根号外，此时因数(式)的指数折半. 题型一：二次根式的化简 在解题过程中一定要注意a的取值范围.例：化简. 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，二次根式的性质．利用三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内的符号，进而化简代数式． 【详解】解：，，为的三条边， ，（三角形两边之和大于第三边）， ，， ， ， 原式． 故选：． 2．（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知实数，则化简的结果是（　　） A． B．3 C．-3 D． 【答案】A 【分析】把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故选：A． 3．（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【详解】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 题型二：化简后再代入求值 5．（2025·安徽滁州·二模）化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，从而化简式子，最后将的值代入化简后的式子求值． 本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、除法运算、因式分解以及二次根式的化简．熟练掌握分式的运算法则、因式分解的方法以及二次根式的化简方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 6．（24-25八年级下·吉林·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开，再化简，最后将字母的值代入，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）化简求值：已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 当时， 原式 ． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，准确利用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可； 【详解】解：原式， ， 当，时 原式． 题型三：先求字母的值再代入求值 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 题型四：先化简再整体法求值 将已知等式的未知数和有理数部分放一边，无理数放一边，两边平方得到关于未知数的整体取值，然后采用整体代入法或者降次法求代数式的值. 10．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 12．（24-25八年级下·青海海东·月考）如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 13．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果． 【详解】解： ， ， 当，时， ， 原式=， 故选；． 题型五：先把条件根式有理化再化简求值 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 16．（23-24八年级下·山东滨州·月考）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 18．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【详解】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 题型六：利用换元法化简求值 19．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知为实数，且，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 20．已知n＝＋1，求的值． 【答案】+1 【详解】试题分析：根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，即可化简，然后把n=代入化简结果中即可求解. 试题解析：设a=n+2+，b=n+2-， ∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2）， ∴原式= = =n． 当n＝＋1时，原式＝＋1. 21．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，再利用完全平方公式运算求解即可． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：已知整数部分与小数部分化简求值 22．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）对于一个无理数，我们把不超过的最大整数叫做的整数部分，把减去整数部分的差叫做的小数部分．设，是的小数部分，是的小数部分．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，二次根式的运算，根据题意得出的值是解题的关键． 根据无理数的估算求出，，进而得出，，将代数式变形得到，进而代值计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴x的整数部分为2， ， ， ， ∴的整数部分为， ， ， ， ∴ ． 23．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值： （1）根据无理数的估算方法得到，据此可得答案； （2）根据无理数的估算方法得到，进而得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是7， ∴无理数的小数部分是， ∴， ∴ ． 24．（23-24八年级下·河北沧州·月考）无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如的整数部分就是3，小数部分是．请回答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算等知识；正确估算是解题的关键； （1）估算出的大小为，即可估算的大小，从而确定其整数部分与小数部分； （2）估算出的大小，即可估算出的大小，从而确定其整数部分与小数部分，即x与y的值，最后代入代数式中，利用二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 由题意得，， ∴． 题型八：化简双重二次根式 通过对中的进行配方，得到完全平方式，再开方化简. 25．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 26．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 27．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 【答案】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 28．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 题型九：分母有理化 29．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简 ． 【答案】 【分析】根据提供的解题方法，解答即可． 本题考查了分母有理化，利用平方差公式正确找到有理化因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·北京·期中）化简（且），得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 31．（24-25八年级下·云南临沧·月考）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ； (1)填空：_____，______；______（为正整数）； (2)利用上面的知识化简： 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查分母有理化，掌握平方差公式及二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照已知解题过程即可得到结果； （2）分子分母同乘即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：， ， ， 故答案为： ，， （2）解：原式 ． 题型十：无理数求和的裂项相消 利用分母有理化将每一个无理数进行裂项，然后进行计算. 32．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试） ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化； 先进行分母有理化，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解：， 同理可得：，，…，， ． 故答案为：． 32．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试） ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，二次根式的混合运算，分母有理化，由，，，，则有，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 34．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解： 中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知 ，n 是 m 的小数部分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，分母有理化，先根据分母有理化化简m，然后根据无理数的估算求出n，再代入代数式计算解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 8．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 9．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3）71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $