9.2.3向量的数量积（2知识点+10考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.2.3向量的数量积 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 我们知道，如果力与物理位移的夹角为，那么所做的功应为．如果把功看成两个向量与的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关．这时一种新的运算． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 知识点2：向量数量积的性质与运算律 1、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 【多选】（25-26高二上·河北保定·月考）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 题型一：向量数量积的简单计算 【例1】（2025高一·江苏南京·月考）已知，是夹角为的两个单位向量，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的定义计算可得. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以. 故选：C 【变式1-1】（2025高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【变式1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 题型二：平面几何图形中的数量积 【例2】（2025高一·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（2025高一·四川·期中）已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的边长为2， 则的夹角为，以及的夹角也为， 则，同理， 故， 故选：D. 【变式2-2】（2025高一·北京·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解. 【详解】依题意，， 因此，， 所以. 故选：B 【变式2-3】（2025高一·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】由题可知，，，， 所以. 故选：B. 题型三：向量数量积的最值范围 【例3】（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 【变式3-2】（25-26高三·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 /0.25 【分析】由题意得，从而；对于第二空，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 题型四：利用数量积求向量模长 【例4】（2026·贵州毕节·模拟预测）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 【变式4-1】（25-26高三·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高三·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 题型五：向量模长最值问题 【例5】（2025高三·全国·专题练习）若且与夹角为，那么实数 时，的值最小． 【答案】/ 【分析】根据结合数量积的运算律及二次函数的性质即可得解. 【详解】因为且与夹角为， 所以， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，进而得到，再作矩形，，根据，得到，再求的范围即可． 【详解】如图所示， 令， 则， 所以， 则作矩形，， 即， 根据，， 即， 解得， 所以． 故答案为：. 【变式5-2】（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 【变式5-3】（2025高一·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值. 【详解】，， 所以， 所以， 所以，即， ， 因为，， 根据向量模长的性质，最大值为，最小值为， 故选：D. 题型六：利用数量积求向量夹角 【例6】（25-26高三·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 【变式6-1】（2026·四川攀枝花·模拟预测）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 【变式6-2】（2026高二·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 题型七：由向量夹角求参数范围 【例7】（2025高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 【变式7-1】（2025高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 【变式7-2】（2025高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且. 【分析】（1）先由数量积公式求出，故； （2）利用数量积运算法则计算出的值； （3）且与不同向共线，从而得到不等式，求出且.. 【详解】（1） ， 故； （2） ； （3）由题意得且与不同向共线， ，解得 令，即，解得，则， 综上，且. 【变式7-3】（2025高一·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值. （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． （2）根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 题型八：利用数量积解决垂直问题 【例8】（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 【变式8-1】（25-26高三·云南曲靖·月考）已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合数量积的定义即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 【变式8-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则k＝ ． 【答案】 【分析】根据向量垂直和向量的数量积运算进行求解即可. 【详解】因为，且不共线，互相垂直， 那么， 则有，解得. 故答案为：. 【变式8-3】【多选】（25-26高三·陕西宝鸡·期中）定义：平面向量，满足.若，，，则（    ） A． B．， C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，根据定义得到方程，求出；B选项，利用平面向量夹角余弦公式得到B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，故，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，故，C正确； D选项，，故，D错误. 故选：BC 题型九：投影向量求解 【例9】（2025·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 【变式9-1】（2025高三·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高三·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，计算即可求解. 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A 【变式9-3】（25-26高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【详解】因， 则， 得， 在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 题型十：由数量积判断三角形形状 【例10】（2025高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【答案】C 【分析】根据数量积的定义可判断为钝角，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故，故， 而，故，故三角形为钝角三角形， 故选：C. 【变式10-1】（2025高一·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 【变式10-2】（2025高一·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 【变式10-3】（2025高一·天津静海·月考），是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】对化简可得，对化简变形可得，从而可判断出三角形的形状. 【详解】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． 一、单选题 1．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 2．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 3．（2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 4．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 5．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 6．（2025·广东汕尾·一模）已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，设， 因为，求解出的值，即可求解． 【详解】因为圆为的外接圆， 所以 ， 因为是的平分线， 所以， 设， 因为， 所以. 故选：A 7．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【分析】如图，在菱形中，且，记，则，，再数形结合得到各项向量夹角即可． 【详解】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 9．（25-26高三上·全国·期中）若单位向量满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求得，即可判断CD；根据数量积的夹角公式得，结合模长相等判断B；根据零向量的性质判断A. 【详解】由为单位向量，且，得， 即，所以，则，故D正确； 又，所以不成立，故C错误； 由，得， 又，所以即，故B正确， 因为零向量与任何向量共线可知：，故A正确. 故选：ABD 10．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】作出示意图，可得四边形ABCD是菱形，且，进而逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】如图，设，.因为， 所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，， 则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°， 向量，的夹角为60°，向量，的夹角为. 故选：BD. 11．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】因为G为的重心，利用重心的性质依次判断ABCD即可. 【详解】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 12．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ）    A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 【答案】ABD 【分析】对于A，延长交于点，先证明四边形为平行四边形，进而求解判断即可；对于B，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，结合B，根据平面向量的数量积的定义及运算律求解判断即可；对于D，分析易得当位于点时，最小，进而求解判断即可. 【详解】对于A，延长交于点， 由题意可得，，所以四边形为平行四边形， 而，为等边三角形，四边形为三个全等的等腰梯形， 则，， 所以，故A正确； 对于B，由于，则， 所以，故B正确；    对于C，由B知，，且为等边三角形，边长为4， 所以，故C错误； 对于D，由， 因为表示在的投影，显然，当位于点时，投影最小， 由于，，则， 所以， 则，即的最小值为6，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 13．（湖北省宜昌市2026届高三上学期元月调研考试数学试卷）设为单位向量，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量数量积的性质列方程求解即可. 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 14．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 15．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【答案】 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 16．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【分析】先求得关于的线性表示，然后根据求解出的值，结合关于的线性表示以及数量积公式可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 17．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 18．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 19．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积运算法则计算出，从而求出夹角大小； （2）根据，结合向量数量积运算法则计算即可. 【详解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 20．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）先计算，再结合数量积的运算律即可； （2）利用向量的求模公式即可； （3）先计算，再利用公式计算. 【详解】（1）由题意可知，， 则； （2）； （3）， 则， 因，则， 故与的夹角为 21．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求； （2）由向量的垂直表示及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）由； （2）由题设， 所以，可得. 22．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合向量数量积的定义及运算律即可求解； （2）由，平方得到，通过配方法即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 23．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 24．（2025·河南·一模）平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)1； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据已知及向量数量积的运算律化简得，即可得求参数； （2）设，，与的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律得，讨论参数及基本不等式求余弦值的范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以正实数t的值为1. （2）设，，与的夹角为， 由得，， 则有， 则有，即①， 若，由①式得，， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，则（当向量，同向时可取1）， 若，由①式得，当且仅当时等号成立，故（当向量，反向时可取），. 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 25．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)若求的取值范围. 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算即可得到答案； （2）利用基底法得，则得到的值； （3）利用向量分别表示出，再利用向量数量积的运算律和二次函数性质即可得到范围. 【详解】（1）. （2）由，分别为，的中点，则，， 由图可得，则，， 所以. （3）由（2）可知，， 由，则， ， 可得，解得，令， 由图可得， ， ， 由，则. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3向量的数量积 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数量积 1、向量数量积的物理背景 我们知道，如果力与物理位移的夹角为，那么所做的功应为．如果把功看成两个向量与的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关．这时一种新的运算． 2、向量数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）． （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0． 3、投影与投影向量 （1）设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积． （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 知识点2：向量数量积的性质与运算律 1、向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、向量数量积的运算律 （1）；（交换律） （3）；（数乘结合律） （3）；（分配律） （4）平面向量数量积运算的常用公式 【多选】（25-26高二上·河北保定·月考）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 题型一：向量数量积的简单计算 【例1】（2025高一·江苏南京·月考）已知，是夹角为的两个单位向量，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（2025高二·河南·学业考试）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【变式1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 题型二：平面几何图形中的数量积 【例2】（2025高一·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【变式2-1】（2025高一·四川·期中）已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式2-2】（2025高一·北京·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ）    A．2 B． C．1 D． 【变式2-3】（2025高一·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 题型三：向量数量积的最值范围 【例3】（25-26高三·云南曲靖·月考）如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 【变式3-2】（25-26高三·北京海淀·月考）在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三·天津·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    题型四：利用数量积求向量模长 【例4】（2026·贵州毕节·模拟预测）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【变式4-2】（25-26高三·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 题型五：向量模长最值问题 【例5】（2025高三·全国·专题练习）若且与夹角为，那么实数 时，的值最小． 【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，且，则的取值范围是 ． 【变式5-2】（2026·河北邢台·模拟预测）若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【变式5-3】（2025高一·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：利用数量积求向量夹角 【例6】（25-26高三·江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·四川攀枝花·模拟预测）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【变式6-2】（2026高二·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 题型七：由向量夹角求参数范围 【例7】（2025高一·福建福州·期末）已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2025高一·山东淄博·期中）已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式7-2】（2025高一·天津武清·月考）已知，，与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)若向量与夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【变式7-3】（2025高一·广东广州·期中）已知，，其中，是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 题型八：利用数量积解决垂直问题 【例8】（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【变式8-1】（25-26高三·云南曲靖·月考）已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则k＝ ． 【变式8-3】【多选】（25-26高三·陕西宝鸡·期中）定义：平面向量，满足.若，，，则（    ） A． B．， C． D． 题型九：投影向量求解 【例9】（2025·四川凉山·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025高三·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高三·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式9-3】（25-26高三·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 题型十：由数量积判断三角形形状 【例10】（2025高一·全国·课后作业）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【变式10-1】（2025高一·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-2】（2025高一·广西·期中）若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【变式10-3】（2025高一·天津静海·月考），是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 一、单选题 1．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 3．（2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 4．（25-26高三上·山东枣庄·月考）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东汕尾·一模）已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．（25-26高三上·全国·期中）若单位向量满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ）    A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 三、填空题 13．（湖北省宜昌市2026届高三上学期元月调研考试数学试卷）设为单位向量，且，则 ． 14．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 15．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 16．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 17．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为 . 18．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 四、解答题 19．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 20．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 21．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 22．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 23．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 24．（2025·河南·一模）平面上的两个非零向量，满足. (1)当时，求正实数t的值； (2)用表示，夹角余弦值的取值范围. 25．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)若求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $