专题13 平行四边形中的翻折或动点问题&易错疑难集训六-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测（北师大版·新教材）

第六章平行四边形 专题13 平行四边形中的翻折或动点问题 [答案P38] 类型①平行四边形中的翻折问题 类型②平行四边形中的动点问题 1(浙江台州期未)如图，E,F分别是口ABCD的边 4如图，在四边形ABCD中， AD,BC上的点，EF=6,∠DEF=60°，将四边形 AD∥BC,∠A=90°，AD= EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D',ED'交 24,BC=26,动点P从点A Q BC于点G,则△GEF的周长为 开始沿边AD向点D以 4题图 A.6 B.12 C.18 D.24 1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB A D' D 以3cm/s的速度向点B运动，P,Q两点同时出 发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止 运动.设运动时间为ts,连接PQ,当t= C D 时，四边形PQCD是平行四边形 1题图 2题图 2如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D 5如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD= 落在AB边上的D处，折痕为AE.再将△AD'E 10cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A 翻折，使得点A恰好落在BC的中点A'处，连接 向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度 A4',若AD=2,则AA'的长为 从点C出发，在CB间往返运动，点P,Q同时出 3如图，在口ABCD中，E为AB边的中点，连接 发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停 CE,将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处， 止运动.设运动时间为ts,当t为何值时，以P, 连接AG并延长，交CD于点F: D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形？ (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若CF=5,△GCE的周长为20，求四边 形ABCF的周长. 5题图 3题图 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 117 同步练测·八年级数学·北师版·下册 易错疑难集训六 [答案P39] 易错凝难点（①忽略分类讨论 6已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ①（陕西西安期未）已知直线a,b,c在同一平面内， 且OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD. 且a∥b∥c,a与b之间的距离为4cm,b与c之间 的距离为1cm,则a与c之间的距离是（ A.3 cm B.5cm C.3cm或5cm D.以上都不对 2在口ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3cm 和4cm两部分，则口ABCD的周长为( A.20 cm B.22 cm C.10cm D.20cm或22cm 3(重庆渝中区期末)在平面直角坐标系中， 0(0,1),A(3,0),B(5,3),点C在第一象限，若 以0，A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，则 点C的坐标为 4如图，四边形ABCD中，AD∥BC,AD=12cm,BC =15cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运 易错凝难点③不能正确使用平行四边形的判定 动，到D点停止.点Q自点C向B以 方法 2cm/s的速度运动，到B点停止，直线PQ截原四 7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中 边形为两个新图形.当P,Q同时出发 秒 点，连接CE,D是BC的中点，连接DE,在DE的 后，其中一个新图形为平行四边形 延长线上取一点F,使AF=CE.求证：四边形 A、P ACEF为平行四边形. 一Q 4题图 易错凝难点②混淆平行四边形的性质和判定而 造成推理错误 7题图 5下列说法： ①平行四边形的对边平行且相等； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③平行四边形的对角相等； ④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平 行四边形 其中能判定一个四边形是平行四边形的是 ( A.②④ B.②③ C.①④ D.①②③ 118 90 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩同步练测·八年级数学·北师版·下册 .△ADF≌△ADC(ASA),.AF=AC=6cm,CD=FD,.BF =AB-AF=8-6=2(cm)..E为BC的中点，CD=FD, DE是△BCF的中位线DE=之BF=子×2=1(cm). 3.2[解析]如答图，延长AC,BE交 于，点M.·AE平分∠CAB,AE⊥ BE,·LCAE=LBAE,LAEB= ∠AEM=90°.又，：AE=AE, .△MBE≌△AME,∴.AB=AM=10,B5 -3M BE=EM..AC =6,..CM=AM-AC 3题答图 =10-6=4..F是BC的中点，BE =BM,EF为△BCM的中位线，BF=2CM=2 专题12平行四边形性质与判定的综合 1.证明：，四边形ABCD是平行四边形，，O是BD的中点， 又E是边CD的中点，.OE是△BCD的中位线， 0E,∥Bc,且0B=BC又CF=8C,0B=CR 又点F在BC的延长线上，.OE∥CF, .四边形OCFE是平行四边形 2.证明：·四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD. 又·△ADE和△BCF都是等边三角形， .∴.DE=AD=AE,CF=BF=BC,∠DAE=∠BCF=60°， ∴.BF=DE,CF=AE. ·∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE, ∴.∠DCF=∠BAE.在△DCF和△BAE中， .CD=AB, ∠DCF=∠BAE, LCF=AE, .△DCF≌△BAE(SAS),∴.DF=BE. 又BF=DE,∴.四边形BEDF是平行四边形. 3.(1)证明：∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE. 又.AE∥DC,∴.四边形AECD是平行四边形 (2)解：EF⊥AB,∴.∠BFE=90. :BE=5,BE=4 ’B距=5BF=4, .EF=√BE2-BF=√52-4=3. .∠ACE=90°，∴.EC⊥AC. 又AE平分∠BAC,EF⊥AB,.EC=EF=3. :四边形AECD是平行四边形，∴.AD=EC=3, .BF的长为4，AD的长为3. 4.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°， ∴.∠ADE=∠CBF=60°. ,·AE=AD,CF=CB,.△AED,△CFB是等边三角形 在口ABCD中，DC=AB,AD=BC,∴.ED=BF, ∴.ED+DC=BF+AB,即EC=AF. ·38. 又.DC∥AB,即EC∥AF, ·.四边形AFCE是平行四边形 (2)成立.证明如下： ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.DC∥AB,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC=AB, ∴.∠ADE=∠CBF 又.AE=AD,CF=CB, ∴，∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,即∠AED=∠CFB. 又AD=BC,∴.△ADE≌△CBF,∴.ED=FB. 又.·DC=AB,.ED+DC=FB+AB,即EC=FA 又.·DC∥AB,即EC∥FA, ∴四边形AFCE是平行四边形. 5.(1)证明：根据小明的作法知CF=AE. :四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. 又：CF=AE,.四边形AFCE是平行四边形，∴.AF∥CE. (2)解：以点A为圆心，EC的长为半径作弧，交BC于点F, 此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意，故小丽的 作法有问题. 6.【任务一】解：补充证明过程如下： 原式=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2 =2AB2+2BC2=2(AB2+BC2), .AC2+BD2=2(AB2+BC2). 【任务二】证明：如答图，延长CD至点E,使得DE=CD,连 接AE,BE. ,CD是AB边上的中线， E .BD =AD. D DE CD. ∴.四边形EBCA是平行四边形. B 由(1)，得AB2+EC=2(AC2+BC2),6题答图 .AB2+(2CD)2=2(AC2+BC2), .4CD2=2AC2+2BC2-AB2, ∴cm=(4c+Bc-合A8) 专题13平行四边形中的翻折或动点问题 1.C 2.√T5[解析]由折叠，得∠DAE=∠DAE,AD=AD'=2. AB∥CD,.∠DEA=∠D'AE,.LDAE=∠DEA,∴.AD= DE=2,∴.AD'=DE.又.AD'∥DE,∴.四边形ADED'是平行 四边形，.AD∥D'E.由折叠，得D'E垂直平分AA',∴AM'⊥ AD.又.AD∥BC,.AA'⊥BC,.△AA'B是直角三角形. AD'=A'D'=2,∠D'AA'=∠D'A'A.又∠D'AA'+∠B =90°，∠D'A'A+∠D'A'B=90°，∴.∠B=∠D'A'B,∴.D'A1 =D'B=2,∴AB=2+2=4.又A'是BC的中点，BC=AD =2,.A'B=1,.AA'=√AB2-A'B2=15. 3.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，，AE∥FC. E是AB边的中点，∴.AE=BE. 由折叠的性质，得BE=GE,∠CEB=∠CBG=LBBC, .AE=GE,∴.∠FAE=∠AGE LBEG-LFAE+LACELFAE-LBEG, .∠FAE=LCEB,.AF∥EC, .四边形AECF是平行四边形. (2)解：由折叠的性质，得GE=BE,GC=BC. △GCE的周长为20，∴.GE+CE+GC=20, ∴.BE+CE+BC=20. 四边形AECF是平行四边形， ∴.AF=CE,AE=CF=5, ∴.四边形ABCF的周长为AB+BC+CF+AF=AE+BE+ BC+CE+CF=5+20+5=30, 4.6 5.解：四边形ABCD平行四边形，.PD∥BQ 若要以P,D,Q,B为顶点的四边形为平行四边形，则PD =BO. 当0≤1≤子时，4AP=,60=4, ∴.PD=10-t,BQ=10-4t, ∴.10-t=10-4t,解得t=0; 当3<1≤5时，AP=,B0=4-10,PD=10-t, .10-t=4t-10,解得t=4; 当5<≤7时，4P=,c0=41-20, ∴PD=10-t,BQ=30-4t, ÷10-4=30-4,解得1=20， 3 当5<≤10时，4P=t,B0=4-30,∴PD=10-t .10-t=4t-30,解得t=8. 综上所述，当：为0或4或或8时，以P,DQ,B为顶点 的四边形为平行四边形. 易错疑难集训六 1.C[解析]如答图①，直线c在直线a,b外时，：a与b之 间的距离为4cm,b与c之间的距离为1cm,∴，a与c之间的 距离为4+1=5(cm);如答图②，直线c在直线a,b之间 时，：a与b之间的距离为4cm,b与c之间的距离为1cm, ∴a与c之间的距离为4-1=3(cm).综上所述，a与c之间 的距离为3cm或5cm.故选C. 1题答图① 1题答图② ,易错分析… 直线c的位置不明确，注意分①直线c在直线a,b .外，②直线c在直线a,b之间两种情况讨论求解. 参考答案及解析 2.D[解析]如答图①，BE=3cm,CE=4cm. ·四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AB=CD,AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB. 'AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE, ..∠BAE=∠AEB,.AB=BE=3cm, .口ABCD的周长为(3+3+4)×2=20cm; B E B E 2题答图① 2题答图② 如答图②，BE=4cm,CE=3cm 同理可得AB=BE=4cm, ∴.口ABCD的周长为(4+4+3)×2=22(cm). :易错分析 本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3cm和 4cm两部分，没有明确哪部分是3cm,哪部分是4cm, 故分两种情况 3.(2,4)或(8,2)[解析]：点 C在第一象限，.分两种情况， 如答图所示.①当OB为对角线 时，BC∥OA,BC=OA时，四边 0 D A 形OABC是平行四边形. 0(0,1),A(3,0),B(5,3), 3题答图 ∴，把点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长 度得到点C,∴.点C的坐标为(2,4)；②当AB为对角线时， BC∥OA,BC'=OA时，四边形OACB是平行四边形. 0(0,1),A(3,0),B(5,3),.把点B向右平移3个单位 长度，再向下平移1个单位长度得到点C,点C的坐标为 (8,2).综上所述，若以0，A,B,C为顶点的四边形为平行四 边形，则点C的坐标为(2,4)或(8,2)，故答案为(2,4)或 (8,2) 4.4或5[解析]设点Q运动的时间为ts,根据题意，得AP= tcm,CQ=2tcm,则PD=（(12-t)cm,BQ=(15-2t)cm. ①AD∥BC,∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边 形，.t=15-2t,解得t=5,.当t=5时，四边形APQB是平 行四边形；②.·AD∥BC,.当PD=QC时，四边形PDCQ是 平行四边形，.12-1=2，解得1=4，当=4时，四边形 PDCQ是平行四边形.综上所述，当P,Q同时出发4或5秒 后，其中一个新图形为平行四边形.故答案是4或5. 5.A :易错分析 本题说法中既有性质又有判定，首先要选出判定， 即②④，再判断②④是否正确.要注意性质和判定的 区别. ·39· 同步练测·八年级数学·北师版·下册 6.证明：OA=OC,OB=OD, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD 7.证明：如答图.E为AB的中点， D是BC的中点， ∴ED∥AC, EX2 D .∴.∠BDE=∠ACB=90°， 3y1 易得△EBD≌△ECD, ∴.∠1=∠2，CE=EB=AE 又，AF=CE,.AF=AE, 7题答图 ∴.∠3=∠F 又：∠2=∠3，.∠1=∠F, ∴.AF∥CE, ∴.四边形ACEF为平行四边形. 易错分析 通过已知条件，易得到FD∥AC,结合AF=CE,会 误认为一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平 行四边形.在使用判定定理时：注意不要混淆或臆造：】 本章考点检测训练 1.B2.C3.B4.5 5.AB=CD(答案不唯一)6.130 7.证明：.AD∥BC,.∴.∠DAC=∠BCA. .·DF∥BE,.∠DFA=∠BEC 在△AFD和△CEB中， ∠DAF=∠BCE, AF=CE, L∠DFA=∠BEC, ∴.△AFD≌△CEB(ASA),.AD=CB. ,·AD∥BC ∴.四边形ABCD为平行四边形 8.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,即AF∥CE, ∴.∠OAF=∠OCE. 又0为AC的中点，.A0=C0 在△AOF和△COE中， ,∠OAF=∠OCE, A0=C0, L∠AOF=∠COE, .∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.AF=CE, ∴，四边形AECF是平行四边形 (2)如答图，过点A作AM⊥BC于点M. ·AM⊥BC,BG⊥AE, ∴.∠MAE+∠MEA=90°，∠GBE+∠GEB=90°， ∴.∠MAE=∠GBE. ·40. ,·AB=AE,AM⊥BE, ∴.∠MAB=∠MAE, ∴.∠MAB=∠GBE. ,'AM⊥BC,∠ACB=45°， B ME .∠CAM=90°-∠ACB=45. 8题答图 .'∠AHB=∠ACB+∠HBC=45°+∠HBC=45°+∠GBE, ∠BAC=∠CAM+∠MAB=45°+∠MAB, ..∠AHB=∠BAC,即∠AHB=∠HAB. 9.A10.B11.6 12.(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH, CH的中点， .DE/BC,DE-RC.CF/RC.CF-C, ∴.DE∥GF,DE=GF, ∴.四边形DEFG为平行四边形. (2)解：：四边形DEFG为平行四边形， ∴.DG=EF=2. DG⊥BH,∠DGB=90°， .BG=√BD2-DG=√32-22=V5. 综合与实践 开展垃圾处理宣传活动 解：(1)宣传活动前，抽取的学生中C类的人数最多，占抽 取人数的百分比为品×10%=52%。 (2)不合理.宜传活动前“都不分类”的人数所占的百分比 为品x10%=16%, 活动后“都不分类”的人数所占的百分比为8%. 因为8%<16%，所以她分析数据的方法不合理. 由题中统计图表可知活动前“每次分类”和“经常分类”的 人数所古的百分比为 2×100%=32%,活动后“每次分 类”和“经常分类”的人数所占的百分比为45%+35%= 80%,有大幅提升，所以学校开展“垃圾分类”宣传活动的效 果非常好.（看法合理即可） 设计美丽的镶嵌图案 解：任务一：AD 任务二：正五边形的一个内角的度数为 (5-2)×180°=108°， 5 LABC=2×(3600-3×108)=18 任务三：答案不唯一以下三种方案中选取两种即可. ①正三角形，正方形，正六边形， ②正三角形，正九边形，正十八边形 ③正方形，正六边形，正十二边形.