第二章 直线与圆的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026学年数学选择性必修第一册 第二章 直线与圆的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲二 第二章 直线与圆的方程 内 容 概 括 一、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 题型三、对称问题 知识要点 题型四:直线方程的综合应用 知识点一、直线的倾斜角 3、 圆的方程 知识点二、斜率公式 知识要点 知识点三、直线方程的五种形式 知识点一、圆的定义及方程 知识点四、斜率与倾斜角的对应关系 知识点二、点与圆的位置关系 知识点五、直线的方向向量 典型例题 典型例题 题型一：求圆的方程 题型一：直线的倾斜角与斜率 题型二：判断点与圆的位置关系 题型二：直线的方程 题型三：与圆有关的轨迹问题 二、两直线的位置关系 题型四：与圆有关的最值问题 知识要点 三、直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、两条直线平行与垂直的判定 知识要点 知识点二、两条直线的交点的求法 知识点一、直线与圆的位置关系 知识点三、三种距离公式 知识点二、圆与圆的位置关系 典型例题 典型例题 题型一：两条直线的位置关系 题型一: 直线与圆的位置关系的判断 题型二：两直线的交点及距离问题 题型二：与圆有关的最值问题 题型三：圆与圆的位置关系 一、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (1) 直线的倾斜角 1.定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围为0°≤α＜180°. (二) 斜率公式 (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α，当α＝90°时，直线斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. (三) 直线方程的五种形式 名 称 方 程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (3)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (4)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. (四) 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (5) 直线的方向向量 1.直线的方向向量的定义：直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量. 2.直线的方向向量的表示：直线P1P2的方向向量 的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【常用结论】 牢记倾斜角α与斜率k的关系 1.当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞. 2.当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时， k的值由－∞趋近于0(k≠0)． 3.特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1，垂直于y轴的方程为y＝y1； (2)x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0． 题型一：直线的倾斜角与斜率 例1-1.直线l过点P(1，0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________． 【方法归纳】 数形结合求斜率范围 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线的斜率均存在，则步骤如下： 第一步：连接 第二步：由斜率公式求出 第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为，一旦跨过垂直线则为 逆时针旋转（仍为递增）. 例1-2.【多选】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1 例1-3.如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例1-4.已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】 1．定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 题型二：直线的方程 例2-1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0　　　　　 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 例2-2．【多选】下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限； B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)； C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)； D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3. 例2-3．【多选】已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 变式2-1．过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程为____________． 变式2-2．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|取最小时，求直线l的方程． 变式1-3.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a的值为________． 二、两直线的位置关系 知识点一、两条直线平行与垂直的判定 1.两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直： ①设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则有l1⊥l2. 知识点二、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 知识点三、三种距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 【方法归纳】 1．直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. 2．两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 3．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5．与对称问题相关的五个结论 (1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)； (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 可求出x′，y′. (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 题型一：两条直线的位置关系 例1-1.“”是“直线与平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2.设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-3.【多选】已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为； B．原点到的距离的最大值为； C．的充要条件为； D．的充要条件为或. 例1-4.已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 变式1-1.已知的顶点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 变式1-2.已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【方法归纳】 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 题型二：两直线的交点及距离问题 例2-1.已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 例2-2.若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 例2-3.点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 例2-4.已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1.设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 变式2-2:点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 变式2-3:某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方? 题型三、对称问题 例3-1:过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________. 例3-2:已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________． 例3-3:下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4； B．点关于直线的对称点为； C．直线关于直线的对称直线的方程为； D．直线关于点的对称直线的方程为. 变式3-1：直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-2：已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 变式3-3：已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 变式3-4：在中,边上的高所在的直线方程为,的平分线所在直线方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标. 题型四:直线方程的综合应用 例4-1：已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． B． D． 例4-2.已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 例4-3.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 三、圆的方程 知识点一、圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 知识点二、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 【方法归纳】 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数． 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 题型一：求圆的方程 例1-1．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 例1-2．若圆经过点A（2，5）、B（4，3），且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例1-3．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程． 例1-4.已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 题型二：判断点与圆的位置关系 例2-1.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 例2-2.“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-3.若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 【方法归纳】 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 题型三：与圆有关的轨迹问题 例3-1.长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．－＝1 C．y2＝16x D．x2＋y2＝25 例3-2.点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为____________． 例3-3.已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【方法归纳】求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 题型四：与圆有关的最值问题 例4-1.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 例4-2.已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．　 三、直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相 交 相 切 相 离 公共点个数 两个 一个 0 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式 知识点二、圆与圆的位置关系 1.圆与圆位置关系的判定: (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图 示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| 公切线 4条 3条 2条 1条 无 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 2.过两圆交点的圆系方程: 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则过两圆交点的圆系的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 【方法归纳】 1. 圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.求过一点M圆的切线方程： (1)点M在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点M在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 3．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 题型一:直线与圆的位置关系的判断 例1-1．已知直线ax＋by＋c＝0过点M(cos α，sin α)，则(　　) A．a2＋b2≤1　　　　　　 B．a2＋b2≥1 C．a2＋b2≤c2 D．a2＋b2≥c2 例1-2．【多选】已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．直线l与圆M一定相交 B．若k＝0，则直线l与圆M相切 C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长 D．圆心M到直线l的距离的最大值为 例1-3．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________． 例1-4．(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A. 当x≠0时，的最小值是－； B. x2＋y2的最小值是1；； C. y－x的最小值是2－； D. |x＋y＋3|的最小值为2. 题型二：与圆有关的最值问题 例2-1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 例2-2.【多选】已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10； B．点P到直线AB的距离大于2； C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 ； D．当∠PBA最大时，|PB|＝3. 例2-3.点M在圆上，点N在圆上，求的最大值． 例2-4.已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 题型三：圆与圆的位置关系 例4-1.已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0． (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 例4-2.【多选】已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为； B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3； C．在C上存在点M，使得； D．在C上存在点N，使得. 例4-3.已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4-4.【多选】已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学选择性必修第一册 第二章 直线与圆的方程 2025-2026学年高二上学期期末考点大串讲二 第二章 直线与圆的方程【解析】 内 容 概 括 一、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 题型三:对称问题 知识要点 题型四:直线方程的综合应用 知识点一、直线的倾斜角 3、 圆的方程 知识点二、斜率公式 知识要点 知识点三、直线方程的五种形式 知识点一、圆的定义及方程 知识点四、斜率与倾斜角的对应关系 知识点二、点与圆的位置关系 知识点五、直线的方向向量 典型例题 典型例题 题型一：求圆的方程 题型一：直线的倾斜角与斜率 题型二：判断点与圆的位置关系 题型二：直线的方程 题型三：与圆有关的轨迹问题 二、两直线的位置关系 题型四：与圆有关的最值问题 知识要点 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、两条直线平行与垂直的判定 知识要点 知识点二、两条直线的交点的求法 知识点一、直线与圆的位置关系 知识点三、三种距离公式 知识点二、圆与圆的位置关系 典型例题 典型例题 题型一：两条直线的位置关系 题型一:直线与圆的位置关系的判断 题型二：两直线的交点及距离问题 题型二：与圆有关的最值问题 题型三：圆与圆的位置关系题型 一、直线的倾斜角与斜率、直线的方程 (一)、直线的倾斜角 1.定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围为0°≤α＜180°. (二)、斜率公式 (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan α，当α＝90°时，直线斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. (三)、直线方程的五种形式 名 称 方 程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (3)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (4)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. (四)、斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (五)、直线的方向向量 1.直线的方向向量的定义：直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量. 2.直线的方向向量的表示：直线P1P2的方向向量 的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【常用结论】 牢记倾斜角α与斜率k的关系 1.当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞. 2.当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时， k的值由－∞趋近于0(k≠0)． 3.特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1，垂直于y轴的方程为y＝y1； (2)x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0． 题型一：直线的倾斜角与斜率 例1-1.直线l过点P(1，0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________． 【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞) 【分析】方法一：数形结合，利用正切函数的图象和倾斜角与斜率的关系； 方法二：根据过P点的直线l与线段AB有交点，则A、B两点位于直线l的两侧，通过不等式求解. 【详解】 方法一：设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°， 斜率的取值范围为[1，＋∞)． 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ ]． 故斜率的取值范围是(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 方法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0． ∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上， ∴(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)·(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－． 即直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)． 【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞) 【方法归纳】 数形结合求斜率范围 已知一条线段的端点及线段外一点，求过点的直线与线段有交点的情况下直线的斜率的取值范围，若直线的斜率均存在，则步骤如下： 第一步：连接 第二步：由斜率公式求出 第三步：结合图象逆时针旋转（递增），当接近垂直时为，一旦跨过垂直线则为 逆时针旋转（仍为递增）. 例1-2.【多选】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1 【答案】：AD 【分析】利用正切函数的图象和倾斜角与斜率的关系； 【解析】：如题图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3， 则k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选A、D． 故答案：AD 例1-3.如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】因为，且，所以均不为零， 由直线方程，可化为， 因为，且，可得，y轴截距， 所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限． 故选：B. 例1-4.已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 变式1-1．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A. 变式1-2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可. 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 【方法归纳】 1．定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 题型二：直线的方程 例2-1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0　　　　　 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 【答案】D 【分析】求出交点M的坐标并确定旋转中心，旋转后的直线必过M点，求出已知直线的斜率，根据旋转方向得到所求直线的斜率，再利用点斜式方程得到直线方程. 【详解】：设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°， 所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝＝－3， 又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)， 即3x＋y－6＝0． 例2-2．【多选】下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限； B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)； C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)； D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3. 【答案】ABC 【详解】：对于A中，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0， 故点(k，b)在第二象限，所以A正确； 对于B中，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0， 所以无论a取何值点(3,2)都满足方程，所以B正确； 对于C中，由点斜式方程，可知过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确； 由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误 故选A、B、C． 例2-3．【多选】已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 变式2-1．过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程为____________． 【答案】：y＝x或x＋3y－10＝0. 【详解】：当直线过原点时，它在x轴，y轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x； 当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1， 又直线过A(4,2)，所以＋＝1，解得a＝，方程为x＋3y－10＝0． 综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0． 变式2-2．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|取最小时，求直线l的方程． 【答案】直线l的方程为x＋y－3＝0． 【分析】根据已知条件直线斜率一定存在，利用直线方程的点斜式求出直线在x轴的正半轴，y轴的正半轴上的A，B两点交点坐标，再利用均值定理求出最值. 【详解】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)． ∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点， ∴⇒k<0． ∴|MA|·|MB|＝·＝2＝2≥4． 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0． 变式1-3.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a的值为________． 【答案】： 【分析】:根据直线方程可以得到两条直线过同一个定点，并分别求出两条直线在y轴上和在x轴上的截距. 【详解】：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)， 直线l1在y轴上的截距为，直线l2在x轴上的截距为， 所以四边形的面积 当a＝时，四边形的面积最小． 故a＝. 二、两直线的位置关系 知识点一、两条直线平行与垂直的判定 1.两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直： ①设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则有l1⊥l2. 知识点二、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 知识点三、三种距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 【方法归纳】 1．直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. 2．两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 3．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5．与对称问题相关的五个结论 (1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)； (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 可求出x′，y′. (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 题型一：两条直线的位置关系 例1-1.“”是“直线与平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解. 【详解】若直线，则，解得：. 所以“”是“直线的充分必要条件. 故选：C 例1-2.设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线一般式下,两条直线垂直条件的判断方法求解. 【详解】当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 例1-3.【多选】已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为； B．原点到的距离的最大值为； C．的充要条件为； D．的充要条件为或. 【答案】BCD 【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大，最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 例1-4.已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 【答案】(1); (2) 或. 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2） 利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 变式1-1.已知的顶点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求直线的斜率，再结合两直线垂直时，斜率存在的情况下斜率之积为，求高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程； (2)先根据中点坐标公式求点的坐标，再利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率，所以所在直线的斜率， 则所求直线方程为，即 所以边上的高所在直线的方程为． （2）因为线段的中点， 所以边上的中线所在直线的斜率， 则所求直线方程为，即 所以边上的中线所在直线的方程为． 变式1-2.已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解； （2）求出的长，用面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即. 故点到直线的距离即为边上的高的长， 所以. （2）因为 ， 所以的面积为： 【方法归纳】 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 题型二：两直线的交点及距离问题 例2-1.已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由 和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可． 【详解】如图所示： 因为直线与轴，轴分别交于点，， 所以，，所以. 又和的面积相等， 所以，所以可设直线的方程为. 依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍）， 所以直线的方程为.又点在直线上， 所以，即. 故答案为：1 例2-2.若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 例2-3.点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点， 则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 例2-4.已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 变式2-1.设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； （2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值.【详解】（1）由，则，化简得，可得或， 当时，不成立， 当时，，， 此时之间的距离为. （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 当时，有最大. 变式2-2:点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 变式2-3:某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方? 【答案】供水站应建在处 【分析】根据两点间的距离以及点关于直线的对称性建立方程组求解即可. 【详解】如图，作点关于直线l的对称点，连接交l于， 若（异于）在直线l上，则， 因此供水站建在处，才能使得所用管道最省． 设，则的中点在l上，且， 即，解得，即，又因为， 则直线的方程为：，则化简为， 所以直线的方程为． 解方程组，得．所以点P的坐标为． 故供水站P应建在处． 题型三：对称问题 例3-1:过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________. 【答案】直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【分析】在直线l1上取一点A点坐标,利用A关于点P的对称点B在l2上，代入直线l2的方程，求出a的值，即可得直线l的方程. 【详解】：设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4,0)在直线l上， 因为P(0,1)也在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0． 例3-2:已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________． 【答案】：6x－y－6＝0 . 【分析】求出点M关于直线的对称点M′，再用两点式求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以解得a＝1，b＝0． 又反射光线经过点N(2,6)， 所以反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0． 故反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0 . 例3-3:下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4； B．点关于直线的对称点为； C．直线关于直线的对称直线的方程为； D．直线关于点的对称直线的方程为. 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 变式3-1：直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的 对称点求得反射光线所在直线方程. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 变式3-2：已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 变式3-3：已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1； (2)证明见解析； (3) 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及 的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得， 故的值为； （2）因为， 所以， 所以，解得， 所以直线恒过定点； （3）因为，所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 变式3-4：在中,边上的高所在的直线方程为,的平分线所在直线方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标. 【答案】；C. 【详解】：点既在边的高线上,又在的平分线上, 由得， ∴,而轴是角的平分线, ∴, ∴边所在直线方程为 ① 又, ∴边所在直线方程为 ② 联立① ②得的坐标为. 题型四:直线方程的综合应用 例4-1：已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． B． D． 【答案】B 【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：， 当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 例4-2.已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为，由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：. 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故答案为：2. 例4-3.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【分析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝， 再根据对称解得b＝，计算得到答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ， 则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0. 三、圆的方程 知识点一、圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径 知识点二、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 【方法归纳】 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数． 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 题型一：求圆的方程 例1-1．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可设圆的方程，将点(2,1)代入圆的方程求出方程，再求出结论. 【详解】：因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上， 所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， 所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2， 即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5， 所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)， 所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝. 故选:B 例1-2．若圆经过点A（2，5）、B（4，3），且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 例1-3．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程． 【答案】 【分析】利用待定系数法即可联立方程求解，或者利用几何法，求解圆心为两条直线的交点，即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r， 则圆的标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得，故所求圆的方程为． 例1-4.已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【详解】（1）解：设圆C的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得， 即圆C的方程为， （2）解：由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即． ∴圆的标准方程为． 题型二：判断点与圆的位置关系 例2-1.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 例2-2.“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 例2-3.若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于点在圆的外部，圆的半径需大于0，将点代入圆的方程列出不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：圆的标准方程为， 则， 若点在圆的外部，则， 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 【方法归纳】 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 题型三：与圆有关的轨迹问题 例3-1.长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1 B．－＝1 C．y2＝16x D．x2＋y2＝25 【答案】D 【分析】用轨迹动点的坐标表示已知条件中的相关点，再代入条件推导轨迹方程. 【详解】：由题意，设A (x0,0)，B(0，y0)，则x＋y＝100， 设M(x，y)，即x＝，y＝，有x0＝2x，y0＝2y， 所以(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25． 故选：D 例3-2.点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为____________． 【答案】2＋y2＝． 【分析】用轨迹动点的坐标表示已知条件中的相关点，再代入条件推导轨迹方程. 【详解】：设点M(x，y)，因为M为线段AP的中点，点A(3,0)，所以P(2x－3,2y)， 因为P为圆x2＋y2＝1上任意一点， 所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，化简得2＋y2＝， 所以点M的轨迹方程为2＋y2＝． 例3-3.已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】且. 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程. 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，若的中点为，则， 所以，易知：在以为直径的圆上，且， 所以弦的中点的轨迹方程且. 【方法归纳】求轨迹方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程； ③把方程化为最简形式； ④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； ⑤作答． 题型四：与圆有关的最值问题 例4-1.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)的最大值为－2＋，最小值为－2－． (2)x＋y的最大值为－1，最小值为－－1． (3)的最大值为＋1，最小值为－1． 【分析】把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想. 【详解】：(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率． 设过原点的直线的方程为y＝kx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1， 解得k＝－2＋或k＝－2－， ∴的最大值为－2＋，最小值为－2－． (2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值， 即直线与圆相切时在y轴上的截距． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1． ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1． (3)＝， 求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值， 可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差． 又圆心到定点(－1,2)的距离为， ∴的最大值为＋1，最小值为－1． 例4-2.已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题. 【详解】点，，， 设，则 ， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 【方法归纳】 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．　 四、直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相 交 相 切 相 离 公共点个数 两个 一个 0 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式 知识点二、圆与圆的位置关系 1.圆与圆位置关系的判定: (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图 示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| 公切线 4条 3条 2条 1条 无 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 2.过两圆交点的圆系方程: 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则过两圆交点的圆系的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 【方法归纳】 1. 圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.求过一点M圆的切线方程： (1)点M在圆上时： 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点M在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 3．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 题型一:直线与圆的位置关系的判断 例1-1．已知直线ax＋by＋c＝0过点M(cos α，sin α)，则(　　) A．a2＋b2≤1　　　　　　 B．a2＋b2≥1 C．a2＋b2≤c2 D．a2＋b2≥c2 【答案】D 【分析】根据已知条件可以判断点M在单位圆x2＋y2＝1上，再利用直线与圆有交点即可得到结论. 【详解】：由cos2α＋sin2α＝1可得点M在单位圆x2＋y2＝1上， 所以直线ax＋by＝－c和圆x2＋y2＝1有公共点． 所以圆心(0,0)到直线ax＋by＝－c的距离≤1， 即得到a2＋b2≥c2． 故选D． 例1-2．【多选】已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．直线l与圆M一定相交 B．若k＝0，则直线l与圆M相切 C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长 D．圆心M到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【详解】：M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆， A项：因为直线l：kx＋y＝0，直线l过原点，02＋02－2×0－2×0＋1＞0，原点在圆外， 所以直线l与圆M不一定相交，故错误； B项：若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故B正确； C项：当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故C正确； D项：由点到直线距离公式，可知d＝＝＝≤ (当k＝1时，等号成立). 即圆心M到直线l的距离的最大值为，故D正确. 故选:BCD． 例1-3．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是________． 【答案】：(＋1，＋∞)　 【分析】利用数形结合可以得到要使圆上恒有4个点到直线l的距离为1，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1. 【详解】：计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图， 直线l：x－y－2＝0与圆相交， l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1， 故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1． 故答案：(＋1，＋∞)　 例1-4．(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A. 当x≠0时，的最小值是－； B. x2＋y2的最小值是1；； C. y－x的最小值是2－； D. |x＋y＋3|的最小值为2. 【答案】BC 【详解】由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆. 设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1， 解得k≥或k≤－，故A错误； 因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上， 所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确； 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距， 则≤1，解得2－≤b≤2＋， 即y－x的最小值是2－，故C正确； |x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍， 圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝， 则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误. 故选：BD. 题型二：与圆有关的最值问题 例2-1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 【答案】C 【详解】：由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝， 则弦长为2， 则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±． 故选C． 例2-2.【多选】已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10； B．点P到直线AB的距离大于2； C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 ； D．当∠PBA最大时，|PB|＝3. 【答案】ACD 【分析】利用已知条件求出圆上点到直线的最大距离和最小距离，并用数形结合思想求出∠PBA的最大和最小值. 【详解】设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)， 由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0， 则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4， 所以直线AB与圆M相离， 所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确． 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3， 当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C、D都正确． 综上，选ACD． 例2-3.点M在圆上，点N在圆上，求的最大值． 【答案】 【分析】运用配方法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】，所以圆心，半径为，，所以圆心，半径为， 如图所示：当依次在一条直线上时，最大， 最大值为：. 例2-4.已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 题型三：圆与圆的位置关系 例3-1.已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0． (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】(1)见解析（略）；(2)2. 【详解】(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4， 两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， 所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圆C1和C2相交． (2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，整理得4x＋3y－23＝0， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0． 圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3， 故公共弦长为2＝2． 例3-2.【多选】已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为； B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3； C．在C上存在点M，使得； D．在C上存在点N，使得. 【答案】ABD 【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为；利用定点到圆上点距离的最大值和最小值即可知在C上存在点D，使得D到点的距离为3，分别设出两点坐标，写出对应表达式并与C的方程联立解得不存在点M，使得，存在点N，使得. 【详解】对于A，设点，，由，得，化简得，即，故A正确； 对于B，由A可知曲线C的方程表示圆心为，半径为4的圆，圆心与点的距离为， 则点与圆上的点的距离的最小值为，最大值为， 而，故B正确； 对于C，设，由得， 又，联立方程消去得， 再代入得无解，故C错误； 对于D，设，由得， 又，联立方程消去得， 再代入得，所以存在点满足条件，故D正确． 故选：ABD 例3-3.已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径. 因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为：. 因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 例3-4.【多选】已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 【答案】BC 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $