第21章 一元二次方程 专题复习2025-2026学年人教版 九年级数学上册

第21章 一元二次方程专题复习 考点一 一元二次方程及相关概念 1．下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知方程是一元二次方程，则的值为（     ） A． B．1或 C．1 D．0 考点二 一元二次方程一般式 3.把一元二次方程化成一般式，则的值分别是（     ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 4．一元二次方程的常数项是（     ） A．1 B． C． D．2 考点三 一元二次方程的根 5.关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．1 B．1011 C．2020 D．4041 考点四 一元二次方程根的判别式 7.一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 8.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，则实数k的取值范围是 . 9.若关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根，则实数k的取值范围是 . 考点五 一元二次方程根与系数的关系 10.已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为（ ） A．5，6 B．－5，－6 C．5，－6 D．－5，6 11.若关于x 的方程x2−mx−3=0的一个根是3，则它的另一个根是( ) A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 考点六 一元二次方程根的解法 12.解下列方程 （1） （x﹣2）2＝9； （2） （3） （4）2x2+x﹣2＝0． （5） 考点七 一元二次方程的实际应用 13.某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡45张，则可列方程为 ． 14.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A．7队 B．6队 C．5队 D．4队 15.两个连续奇数的积是323，则这两个奇数是 ． 16.流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 17.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 18.如图，在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为510平方米．若设道路的宽为x米，根据题意所列方程为（ ） A．（20＋x）（33－x）＝510 B．（20－x）（33－x）＝33×20－510 C．（20－x）（33－x）＝510 D．（20＋x）（33－x）＝33×20－510 19.云南省是我国花卉产业大省,一年四季都有大量鲜花销往全国各地,花卉产业已成为云南省许多地区经济发展的重要项目.近年来某乡的花卉产值不断增加,2022年花卉的产值是640万元,2024年产值达到1 000万元. （1）2023年、2024年花卉产值的年平均增长率是多少？ （2）若2025年花卉产值继续稳步增长（即年增长率与前两年的年增长率相同）,请估计2025年这个乡的花卉产值将达到多少万元. 20.昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商销售某品牌头盔，进价为 30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元，月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x 元，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21.如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． (1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 考点八 一元二次方程综合问题 22.已知关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根； 23．已知关于x的一元二次方程． (1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 答案解析集 第21章 一元二次方程专题复习 考点一 一元二次方程及相关概念 1. 答案：C​ 解析：一元二次方程需满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2。 1. ① ax2+bx+c=0未说明 a=0，不一定是二次方程； 2. ② x2−x1​=0是分式方程； 3. ③ xy−x2=2含两个未知数； 4. ④ (x+1)(x−2)=x2−7化简后为一次方程； 5. ⑤ x2+9=0满足条件； 6. ⑥ (x−2)(x+3)=0化简后为 x2+x−6=0，满足条件。 综上，只有⑤和⑥是一元二次方程，共2个。 2. 答案：C​ 解析：由一元二次方程定义得 k+1=0且 k+1=2，解得 k=1。 考点二 一元二次方程一般式 1. 答案：B​ 解析：原方程化为 2x2−x=4x，即 2x2−5x=0，故 a=2,b=−5,c=0。 2. 答案：C​ 解析：方程化为 x2−3x−2=0，常数项为 −2。 考点三 一元二次方程的根 1. 答案：B​ 解析：将 x=0代入方程得 −a+1=0，解得 a=1。 2. 答案：A​ 解析：将 x=2代入方程得 4a−2b=2020，即 2a−b=1010。 则 2021−2a+b=2021−(2a−b)=2021−1010=1。 考点四 一元二次方程根的判别式 1. 答案：A​ 解析：Δ=12−4×1×(−1)=5>0，有两个不等实根。 2. 答案：k≥−1且 k=0​ 解析： 2. 当 k=0时，Δ=(−2)2+4k≥0，解得 k≥−1； 2. 当 k=0时，方程为一次方程 −2x−1=0，有实根。 综上，k≥−1且 k=0。 3. 答案：k≥−1​ 解析：需考虑 k=0的情况（一次方程有实根），结合 k=0时 Δ≥0，得 k≥−1。 考点五 一元二次方程根与系数的关系 1. 答案：D​ 解析：由韦达定理得 b=−(2+3)=−5，c=2×3=6。 2. 答案：A​ 解析：设另一根为 t，则 3t=−3，解得 t=−1。 考点六 一元二次方程的解法 1. 答案： （1）(x−2)2=9⇒x−2=±3⇒x=5或 x=−1 （2）公式法：Δ=36+32=68，x=26±68​​=3±17​ （3）Δ=4−8=−4<0，无实数根 （4）公式法：Δ=1+16=17，x=4−1±17​​ （5）(x+3)2−2(x+3)=0⇒(x+3)(x+1)=0⇒x=−3或 x=−1 （6）因式分解：(x+1)(x+4)=0⇒x=−1或 x=−4 考点七 一元二次方程的实际应用 1. 答案：x(x−1)=45 解析：每两人互送贺卡，共送 x(x−1)张。 2. 答案：C​ 解析：设球队数为 n，则单循环场次为 2n(n−1)​=10，解得 n=5。 3. 答案：17和19 或 -19和-17​ 解析：设两奇数为 n,n+2，则 n(n+2)=323，解得 n=17或 n=−19。 4. 答案：D​ 解析：第一轮传染 x人，总感染 1+x；第二轮传染 x(1+x)人，总人数为 1+x+x(1+x)=1+x+x2。 5. 答案：A​ 解析：主干1个，支干 x个，小分支 x2个，总数 1+x+x2=157。 6. 答案：C​ 解析：道路平移后，草坪长为 (33−x)米，宽为 (20−x)米，面积为 (33−x)(20−x)=510。 7. 答案： （1）设年平均增长率为 x，则 640(1+x)2=1000，解得 x=25% （2）2025年产值：1000×(1+25%)=1250万元 8. 答案：50元​ 解析：设涨价 x元，则利润为 (10+x)(600−10x)=10000，解得 x=10或 40。取较小值 x=10，实际售价为 40+10=50元。 9. 答案： （1）设宽为 xm，则长为 (38−2x)m，由 x(38−2x)=180得 x=9或 10。 2. 当 x=9时，长 20m>19m（不符合墙长）； 2. 当 x=10时，长 18m<19m。 故长为 18m，宽为 10m。 （2）不能。方程 x(38−2x)=200的判别式 Δ=382−1600=−156<0，无实数解。 考点八 一元二次方程综合问题 1. 证明： Δ=(k−1)2−4(k−2)=k2−6k+9=(k−3)2≥0， ∴ 方程恒有两个实数根。 2. 答案： （1）Δ=(2m+1)2−4(m2−2)=4m+9>0⇒m>−49​ （2）两根互为相反数，则 2m+1=0⇒m=−21​ 学科网（北京）股份有限公司 $