5．1 导数的概念及其意义（思维导图+6大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．1 导数的概念及其意义 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平均变化率问题 4 知识点二：导数的概念 5 知识点三、导数的概念 5 知识点四、导数几何意义 6 知识点五、曲线的切线 8 知识点六、导数的定义的几种形式： 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：函数平均变化率的求解 9 题型二：瞬时速度的计算方法 10 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 12 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 14 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 16 题型六：过某点的曲线的切线 19 题型七：运用定义法推导函数的导函数 21 题型八：导数表达式的多种呈现形式 24 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 知识点三、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 知识点四、导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 知识点五、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 知识点六、导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式． 题型一：函数平均变化率的求解 【例题1】（2025·高二·江苏镇江·期中）已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设， 则， 令，解得. 所以可以取任意实数，不妨取， 则从1到的平均变化率为. 故答案为：（答案不唯一）. 【例题2】函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【答案】5 【解析】所以， 即，从而,解得或（舍去）． 故答案为：5. 【方法技巧与总结】 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【变式1】（2025·高三·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【解析】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 【变式2】已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【答案】 【解析】第3秒前公交车的瞬时速度为； 第3秒后公交车的瞬时速度为， 已知公交车第3秒前后的瞬时速度保持一致，所以， 而路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，所以，解得． 公交车在8秒内的总路程为，所以平均速度为． 故答案为：；. 【变式3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设， 则， 由题意知，解之得， 显然c的取值不改变结果，不妨取，则. 故答案为： 题型二：瞬时速度的计算方法 【例题3】（2025·高三·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【解析】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 【例题4】（2025·高二·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 大于 等于 【解析】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 【方法技巧与总结】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式4】（2025·高二·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【答案】 在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【解析】自变量从变到的过程中，， 则该函数的平均变化率为， 当趋于时，平均变化率趋于，则在第时，原油温度的瞬时变化率为℃/， 即在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 故答案为：；在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【变式5】某物体做斜抛运动，其竖直方向的位移为（单位：m），取． 时，该物体竖直方向的速度为． 【答案】0.5s 【解析】物体在竖直方向的速度 . 若物体竖直方向的速度为，则，解得． 故答案为：. 【变式6】函数在处的瞬时变化率为 ． 【答案】/ 【解析】增量为． 函数的平均变化率为， 而．． 故答案为：. 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 【例题5】（2025·高二·北京房山·期末）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】所求为. 故选：C. 【例题6】（2025·高二·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】由有， 所以. 故选：A． 【方法技巧与总结】 求曲线在某点处的切线方程的步骤 【变式7】曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 所以 . 因为， 所以曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：C. 【变式8】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数， 即 故选：A 【变式9】（2025·高二·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 【例题7】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为， ， 解得，.切点为. 故答案为：. 【例题8】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 【方法技巧与总结】 求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式10】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 【变式11】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点为，则 由题意可知，，解得或， 当时，， 又点在直线上，将，. 代入得，与已知条件矛盾，不合题意舍去． 当时，. 将代入直线中，得. 故答案为：，. 【变式12】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【答案】 【解析】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 【例题9】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以. 故选：B. 【例题10】函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 【方法技巧与总结】 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式13】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 【变式14】（2025·高二·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 【变式15】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 题型六：过某点的曲线的切线 【例题11】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【例题12】已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为， 又点在曲线上， 所以，∴所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式16】曲线过点的切线方程是 ． 【答案】或 【解析】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得， 所以所求的切线方程为或． 故答案为：或. 【变式17】已知曲线，则曲线C在处的切线方程为 ；曲线C过点的切线方程为 . 【答案】 或 【解析】将代入曲线C的方程得，所以切点 又，所以 则曲线在点处的切线方程为，即. 设切点为，则，由题意可知 又，则切线方程为，将点代入，得 即，解得或 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即，所以切线方程为或. 【变式18】曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 题型七：运用定义法推导函数的导函数 【例题13】设函数，若，则 ． 【答案】1 【解析】解:因为 =， ∴， ∴． 故答案为：1 【例题14】分别求出下列函数的导数： (1)，其中C是常数； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）根据定义可知 . （2）根据定义可知 1. （3）根据定义可知 . （4）根据定义可知 =. （5）根据定义可知 =. 【方法技巧与总结】 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式19】用导数的定义求函数的导数． 【解析】设， 则， 得， 即函数的导数为. 【变式20】已知，利用，求的近似值. 【解析】由， 可知. 【变式21】在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)． 求：(1)； (2)f′(1)． 【解析】(1)＝＝＝2＋Δx. (2)f′(1)＝＝ (2＋Δx)＝2. 题型八：导数表达式的多种呈现形式 【例题15】（2025·高二·重庆·月考）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知， 故选：B. 【例题16】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】根据导数的定义可知， ， 故选：D 【方法技巧与总结】 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【变式22】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）若是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A． 【变式23】（2025·高二·四川绵阳·月考）若，则（   ） A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【解析】依题意，. 故选：C 【变式24】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知：，即， 故选：A． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．1 导数的概念及其意义 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平均变化率问题 4 知识点二：导数的概念 5 知识点三、导数的概念 5 知识点四、导数几何意义 6 知识点五、曲线的切线 8 知识点六、导数的定义的几种形式： 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：函数平均变化率的求解 9 题型二：瞬时速度的计算方法 9 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 10 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 11 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 11 题型六：过某点的曲线的切线 13 题型七：运用定义法推导函数的导函数 14 题型八：导数表达式的多种呈现形式 15 知识点一：平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： 知识点诠释： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 知识点诠释： （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 知识点二：导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 知识点三、导数的概念 导函数定义： 由函数在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数．记作：或， 即： 知识点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系． （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数． （2）函数的导数，是指某一区间内任一点而言的，也就是函数的导函数． （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值． 导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值． 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 知识点四、导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，． 换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 知识点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 知识点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关． （2）切线斜率的本质———函数在处的导数． （3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性． ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直． ②，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴零度角，瞬时无增减． （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点； 为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？” 过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线都用“与有且只有一个公共点”来定义的切线呢？如图的曲线是我们熟知的正弦曲线的一部分，直线2显然与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线在点处的切线． 知识点五、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 知识点六、导数的定义的几种形式： 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 知识点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式． 题型一：函数平均变化率的求解 【例题1】（2025·高二·江苏镇江·期中）已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个 ． 【例题2】函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【方法技巧与总结】 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量． （3）得平均变化率． 【变式1】（2025·高三·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【变式2】已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【变式3】（2025·高三·江苏镇江·开学考试）已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 ． 题型二：瞬时速度的计算方法 【例题3】（2025·高三·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【例题4】（2025·高二·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【方法技巧与总结】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量． （2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式4】（2025·高二·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为 ℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是 . 【变式5】某物体做斜抛运动，其竖直方向的位移为（单位：m），取． 时，该物体竖直方向的速度为． 【变式6】函数在处的瞬时变化率为 ． 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 【例题5】（2025·高二·北京房山·期末）曲线在点处的切线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题6】（2025·高二·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【方法技巧与总结】 求曲线在某点处的切线方程的步骤 【变式7】曲线在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【变式9】（2025·高二·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 【例题7】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为 . 【例题8】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【方法技巧与总结】 求切点坐标的一般步骤 （1）设出切点坐标． （2）利用导数或斜率公式求出斜率． （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【变式10】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【变式11】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【变式12】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 【例题9】已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例题10】函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式13】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【变式14】（2025·高二·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式15】已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：过某点的曲线的切线 【例题11】过点且与曲线相切的直线的方程为 ． 【例题12】已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【方法技巧与总结】 （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 （1）设切点． （2）建立方程． （3）解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式16】曲线过点的切线方程是 ． 【变式17】已知曲线，则曲线C在处的切线方程为 ；曲线C过点的切线方程为 . 【变式18】曲线过点的切线方程为 . 题型七：运用定义法推导函数的导函数 【例题13】设函数，若，则 ． 【例题14】分别求出下列函数的导数： (1)，其中C是常数； (2)； (3)； (4)； (5). 【方法技巧与总结】 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量． （2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式19】用导数的定义求函数的导数． 【变式20】已知，利用，求的近似值. 【变式21】在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)． 求：(1)； (2)f′(1)． 题型八：导数表达式的多种呈现形式 【例题15】（2025·高二·重庆·月考）已知是函数的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【例题16】（2025·高二·江苏盐城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【方法技巧与总结】 割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如： ；（或：；；） ． 【变式22】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）若是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式23】（2025·高二·四川绵阳·月考）若，则（   ） A． B．3 C．6 D． 【变式24】（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $