5．1 导数的概念及其意义（8大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

5．1 导数的概念及其意义 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数平均变化率的求解 2 题型二：瞬时速度的计算方法 2 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 2 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 3 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 3 题型六：过某点的曲线的切线 4 题型七：运用定义法推导函数的导函数 4 题型八：导数表达式的多种呈现形式 4 02 重难点拓展 6 题型一：函数平均变化率的求解 1．（2025·高三·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 2．（2025·高二·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 3．（2025·高二·广西南宁·期中）函数在区间上的平均变化率等于 . 题型二：瞬时速度的计算方法 4．质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 5．为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 6．一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 7．（2025·高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·山西·期中）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 9．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 10．已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 11．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 12．已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ． 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 13．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 14．（2025·高二·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 15．（2025·高二·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六：过某点的曲线的切线 16．过点(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为 ． 17．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 18．过点作曲线的切线方程为 ． 题型七：运用定义法推导函数的导函数 19．函数y＝x＋在x＝1处的导数是 . 20．（2025·高二·北京·期中）已知，则的近似值为 . 21．已知曲线上两点，当时，割线AB的斜率为 . 题型八：导数表达式的多种呈现形式 22．（2025·高二·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 23．（2025·高二·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 24．（2025·高二·山东东营·期末）如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 1．（2025·高三·河南·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 2．（2025·高二·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·高二·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 4．（2025·高二·福建·期末）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 5．（2025·高二·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 6．（2025·高二·广东潮州·期末）设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 7．（2025·高二·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 8．（2025·高二·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 10．（2025·高二·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·福建三明·期中）如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 13．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 14．（2025·高二·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    15．若，则 . 16．（2025·高二·上海崇明·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 17．（2025·高二·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 18．若一个物体的运动时间（单位：s）与位移（单位：m）的函数关系式为，求此物体在和时的瞬时速度. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．1 导数的概念及其意义 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：函数平均变化率的求解 2 题型二：瞬时速度的计算方法 2 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 3 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 4 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 5 题型六：过某点的曲线的切线 7 题型七：运用定义法推导函数的导函数 9 题型八：导数表达式的多种呈现形式 10 02 重难点拓展 12 题型一：函数平均变化率的求解 1．（2025·高三·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【解析】由平均变化率的定义可得：， 故答案为： 2．（2025·高二·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 【答案】 【解析】函数 在 到 之间的平均变化率是 . 故答案为：. 3．（2025·高二·广西南宁·期中）函数在区间上的平均变化率等于 . 【答案】 【解析】由函数， 可得函数在上的平均变化率为 故答案为：. 题型二：瞬时速度的计算方法 4．质点的运动方程是（s的单位为m，t的单位为s），则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【解析】因为质点在时， ， 则当d趋近于0时，趋近于， 所以质点在时的瞬时速度为． 故答案为：. 5．为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量与时间的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图像的编号） 【答案】② 【解析】曲线在每一时刻的斜率代表在该时刻运煤效率，运煤效率逐步提高说明斜率越来越大， 即增加的越来越快，符合条件的只有②， 故答案为：②. 6．一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以当时的瞬时速度是：. 故答案为：. 题型三：函数在某定点处的切线问题分析 7．（2025·高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 8．（2025·高二·山西·期中）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以． 故选：C. 9．曲线在点处的切线斜率为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【解析】因为， 所以，． 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是． 故选：A 题型四：曲线切线切点坐标的确定技巧 10．已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 【解析】设切点的坐标为，切线斜率为， 由， 得．根据题意，得，解得， 当时，，所以切点为， 又，解得， 故所求切点的坐标为，． 11．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 【答案】 【解析】， 设曲线与直线相切的切点为， 结合已知条件，得，解得， ∴切点的坐标为. 故答案为：. 12．已知曲线，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为 ，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由， 得， ∴两曲线的交点坐标为． 由， 得＝， ∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)， 即． 故答案为：；. 题型五：结合函数图象理解导数的几何意义 13．（2025·高二·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B 14．（2025·高二·山东枣庄·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 15．（2025·高二·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B 题型六：过某点的曲线的切线 16．过点(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为 ． 【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0 【解析】解析：y′＝． 设所求切线的切点为A(x0，y0)． ∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝． 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率k＝2x0． ∵所求的切线过点(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率又为， ∴2x0＝， 解得x0＝1或x0＝5． 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)． 当切点为(1，1)时，切线的斜率k1＝2x0＝2； 当切点为(5，25)时，切线的斜率k2＝2x0＝10． ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0． 故答案为：2x－y－1＝0和10x－y－25＝0 17．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【解析】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 18．过点作曲线的切线方程为 ． 【答案】或 【解析】， ∵点不在曲线上， ∴点P不是切点．设切点为，则. ∴切线的斜率为. 又∵切线过和两点， 所以. 解得或. ∴过的切线的斜率为或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 题型七：运用定义法推导函数的导函数 19．函数y＝x＋在x＝1处的导数是 . 【答案】0 【解析】令f(x)＝x＋，则f′(1)＝＝＝＝0. 答案：0 20．（2025·高二·北京·期中）已知，则的近似值为 . 【答案】 【解析】由已知，则， 因为， 令得， 即， 解得， 的近似值为. 故答案为：. 21．已知曲线上两点，当时，割线AB的斜率为 . 【答案】 【解析】由函数的解析式有：， ∴， 当时，割线AB的斜率为. 故答案为： 题型八：导数表达式的多种呈现形式 22．（2025·高二·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由， 则. 故选：D. 23．（2025·高二·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据导数值的定义，. 故选：A. 24．（2025·高二·山东东营·期末）如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为， 根据图像， 所以. 故选：D. 1．（2025·高三·河南·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 2．（2025·高二·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B 3．（2025·高二·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解析】根据导数的定义，. 故选：D. 4．（2025·高二·福建·期末）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【解析】由，得，可得. 故选：D. 5．（2025·高二·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【解析】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 6．（2025·高二·广东潮州·期末）设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 【答案】D 【解析】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 7．（2025·高二·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【解析】函数的平均变化率为. 故选：B. 8．（2025·高二·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：A． 9．（2025·高二·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】由题意有，， 所以， 故选：B. 10．（2025·高二·河南·期末）已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 11．（2025·高二·福建三明·期中）如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由几何特征可知，直线扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，且由圆的对称性， 将此函数的图像只看一半,且图像是类似对称的，可知面积关于时间的函数的变化率是逐渐变大的， 故此函数的图像的切线的斜率应为逐渐变大的.可知D选项符合题意. 故选：D. 12．（2025·高二·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【解析】由题意有，，所以，即， 故选：C. 13．（多选题）（2025·高二·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确； 故选：ABD. 14．（2025·高二·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    【答案】 【解析】和分别表示函数图象在点处的切线斜率， 由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡， 所以， 所以． 故答案为：. 15．若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 16．（2025·高二·上海崇明·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】1 【解析】因为曲线在处的切线方程为， 所以， 故答案为：1. 17．（2025·高二·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 【答案】 【解析】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 18．若一个物体的运动时间（单位：s）与位移（单位：m）的函数关系式为，求此物体在和时的瞬时速度. 【解析】当时，， 所以. 当时，， 所以. 因此该物体在和时的瞬时速度分别为和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $