（专项复习三：压轴题）第一单元 简易方程（类型与技巧分析+十三大题型讲练+优选题拔尖练 共52题）-苏教版数学五年级下册专项培优讲练

专项复习三 简易方程（压轴题） 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，针对单元知识点在压轴题问题中的应用类型分析和技巧点拨，资料包含： 1. 题型讲练：按照应用类型划分，明确考点考察方向； 2. 压轴题专项练：结合本专题内容精选20题历年常考题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 题型一：方程的认识 【典例精讲】关于等式与方程，下列说法正确的是（　　） A．等式是方程，方程也就是等式 B．方程是等式，而等式不一定是方程 C．等式与方程毫无关系，所以上述说法都不对 【变式训练】甲、乙两船同时从同一码头起航向西而行，甲船每时行21 km，乙船每时行27 km，多少时后两船相距120 km？设x时后两船相距120 km，则所列方程正确的是(　　)． A．27x＋21x＝120 B．21x－27＝120 C．27x－21x＝120 D．27x－21＝120 题型二：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋15＝40       x÷0.8＝1.5       x＋5x＝63 2x－5.6÷0.7＝2.6      1.8x＋2.7x＝13.5    x－0.6x＝2.2 【变式训练】解方程。 x－1.2＝6.7               3.6＋2x＝44.8 题型三：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。                            【变式训练】解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 题型四：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】解方程。            【变式训练】解方程。 ①    ②         ③ 题型五：解含括号的方程 【典例精讲】解方程。 50.2－＝49.8            0.3＋7.8＝9        6（＋0.2）＝4.8 【变式训练】解方程。 x＋5.2＝14.8            24＋24x＝72         4×（x－6）＝26 题型六：方程的检验 【典例精讲】解方程，带★的要检验。 ★        【变式训练】解方程。（带☆题要求写出检验过程） ☆0.6＋x＝2.9    x÷4＝180         x＋4.5－8.2＝26 16×8＋4x＝178        3.2x÷2＝9.6         ☆x－0.3x＝1.05 题型七：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】小胖和小丁丁从学校出发到少年宫。小胖每分钟走80米，小丁丁每分钟走100米，小胖先出发，3分钟后小丁丁才出发，小丁丁多久追上小胖？ 【变式训练】某次数学考试，5个同学的平均分比后面3个同学的平均分少5分，前面两个同学的平均分是80分。那么，这五个同学的平均分是( )分。 题型八：列方程解和差倍问题 【典例精讲】小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 【变式训练】看图列方程并求解。 【变式训练】山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 题型九：列方程解年龄问题 【典例精讲】小明今年5岁，父亲31岁，再过( )年，父亲的年龄正好是小明年龄的2倍。 【变式训练1】五年前，爸爸的年龄比小军大27岁。今年爸爸的年龄刚好是小军的4倍，今年小军和爸爸各几岁？ 【变式训练2】爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍。今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 题型十：列方程解相遇问题 【典例精讲】甲、乙两地相距560千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇，已知客车每小时行驶75千米，货车每小时行多少千米？ 【变式训练1】张大爷和王大爷步行锻炼身体，张大爷每分钟走50米，王大爷每分钟走40米。环湖公路一周的长度是900米，两人同时从起点出发反方向走路。 （1）估计两人在何处第一次相遇，在图中用“△”标出来。 （2）多长时间后两人第一次相遇？ （3）第一次相遇后张大爷还要走几分钟才能回到起点？ 【变式训练2】甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲车每小时行驶85千米，乙车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 题型十一：列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶84.8千米，乙车每小时行驶72.6千米，两车在距离中点19.52千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【变式训练1】大货车时速88千米，小货车时速64千米，两车同地出发，同向而行。已知小货车先行驶1.5小时后大货车再开出，大货车经过多久能追上小货车？ 【变式训练2】小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 题型十二：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】小王家饲养的鸡和鸭一共239只，其中鸭的数量比鸡的数量的3倍还多15只，小王家养的鸡和鸭各多少只？（列方程解） 【变式训练1】小可同学借助网络查阅资料，了解到地球的表面积总约为5.1亿平方千米，由于其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍，所以地球看起来是一颗蓝色的星球，请你算一算地球上的海洋面积是多少亿平方千米？（用方程解答） 【变式训练2】鲜农果园里种着桃树和杏树，桃树比杏树少224棵，杏树的棵数是桃树的3倍。鲜农果园里杏树和桃树各有多少棵？（列方程解答） 题型十三：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每人分4个，那么就多出10个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果。一共有几个小朋友？苹果共有几个？（列方程解决问题） 【变式训练1】图书馆买了一批新书，如果每个书架放22本书，那么会有14本书没地方放，但如果每个书架放25本书，就会空出来一个书架，一共有多少个书架？这批新书有多少本？（列方程解答） 【变式训练2】小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 1．已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 2．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 3．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 4．五年级一班有男生21人，女生比男生少a人。用含有字母的式子表示该班学生总数是（    ）。 A．21－a B．21＋a C．21＋a＋21 D．42－a 5．如图所示，平行四边形ABCD的周长为70厘米，以BC为底时，高是12厘米；以CD为底时，高是16厘米，那么平行四边形ABCD的面积是（    ）。 A．180平方厘米 B．240平方厘米 C．320平方厘米 D．480平方厘米 6．甲数是m，比乙数的4倍少n，乙数是（    ）。 A． B． C． D． 7．李阿姨微信的钱包余额为120.88元。她要买12个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，付款后她的微信钱包余额应为( )元。她选中的玻璃杯单价是8元，付款后她的微信钱包余额为( )元。 8．用小棒拼接连在一起的正方形（如图），如果拼5个正方形，用了 根小棒；拼n个正方形，用了 根小棒。 9．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 10．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。 11．解方程。 3.5x＋4.6＝11＋3.3x        3×（x＋8）÷2＝18 12．“六一”儿童节，我校师生在小剧场举行文艺汇演，剧场安排座位时，如果每排座位坐50人，将会空出5排座位；如果每排座位坐40人，就有200人没有座位。小剧场共有多少排座位？我校师生共有多少人？ 答：小剧场共有45排座位，我校师生共有2000人。 13．实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题） 14．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 15．红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 16．位于同一直线上甲、乙、丙三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站300米又追上小强，问甲、丙两站的距离是多少米？ 17．全友家居现在要生产一批桌子和方凳，派出63名技术工人。每个工人平均每天能加工9张方凳或者6张桌子。为了供应市场，必须方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，才可以发货。怎么安排加工方凳和桌子的人数，既不造成浪费，又能满足供货？ 18．小春读一本小说，若每天读35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读40页，则最后一天要少读5页，如果他每天读39页，最后一天应读多少页才按规定时间读完？ 19．某校为活跃同学们的文娱活动，先购买了篮球11个、排球8个、足球2个，共用去1027元；后来又买回同样的篮球7个、排球5个、足球1个，又用去643元，那么，买同样的篮球、排球、足球各一个，共需多少元？ 20．甲乙两人上午8时同时骑车从东村到西村。甲的速度比乙的速度每小时快6千米，中午12时甲到达西村后立即返回东村在距西村15千米处遇乙。甲乙两人从出发到相遇需要几小时？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习三 简易方程（压轴题） 【解析版】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，针对单元知识点在压轴题问题中的应用类型分析和技巧点拨，资料包含： 1. 题型讲练：按照应用类型划分，明确考点考察方向； 2. 压轴题专项练：结合本专题内容精选20题历年常考题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 题型一：方程的认识 【典例精讲】关于等式与方程，下列说法正确的是（　　） A．等式是方程，方程也就是等式 B．方程是等式，而等式不一定是方程 C．等式与方程毫无关系，所以上述说法都不对 【答案】B 【思路引导】含有未知数的等式叫做方程。据此解答。 【完整解答】A．等式都是方程，方程是指含有未知数的等式，不含未知数的等式不是方程，说法错误； B．方程都是等式，但是等式不一定是方程，说法正确； C．等式和方程是有一定的关系，此选项说法错误。 故答案为：B 【变式训练】甲、乙两船同时从同一码头起航向西而行，甲船每时行21 km，乙船每时行27 km，多少时后两船相距120 km？设x时后两船相距120 km，则所列方程正确的是(　　)． A．27x＋21x＝120 B．21x－27＝120 C．27x－21x＝120 D．27x－21＝120 【答案】C 题型二：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋15＝40       x÷0.8＝1.5       x＋5x＝63 2x－5.6÷0.7＝2.6      1.8x＋2.7x＝13.5    x－0.6x＝2.2 【答案】x＝25；x＝1.2；x＝10.5； x＝5.3；x＝3；x＝5.5 【思路引导】根据等式的性质1，方程的两边同时减去15即可。 根据等式的性质2，方程的两边同时乘0.8即可。 先算x＋5x，将方程化为：6x＝63，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以6即可。 先算5.6÷0.7，将方程化为：2x－8＝2.6，再根据等式的性质1，方程的两边同时加上8，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以2即可。 先算1.8x＋2.7x，将方程化为：4.5x＝13.5，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以4.5即可。 先算x－0.6x，将方程化为：0.4x＝2.2，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以0.4即可。 【完整解答】x＋15＝40 解：x＋15－15＝40－15 x＝25 x÷0.8＝1.5 解：x÷0.8×0.8＝1.5×0.8 x＝1.2 x＋5x＝63 解：6x＝63 6x÷6＝63÷6 x＝10.5 2x－5.6÷0.7＝2.6 解：2x－8＝2.6 2x－8＋8＝2.6＋8 2x＝10.6 2x÷2＝10.6÷2 x＝5.3 1.8x＋2.7x＝13.5 解：4.5x＝13.5 4.5x÷4.5＝13.5÷4.5 x＝3 x－0.6x＝2.2 解：0.4x＝2.2 0.4x÷0.4＝2.2÷0.4 x＝5.5 【变式训练】解方程。 x－1.2＝6.7               3.6＋2x＝44.8 【答案】x＝7.9；x＝20.6 【思路引导】（1）利用等式的性质1，方程两边同时加上1.2； （2）先利用等式的性质1，方程两边同时减去3.6，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2。 【完整解答】（1）x－1.2＝6.7 解：x－1.2＋1.2＝6.7＋1.2 x＝7.9 （2）3.6＋2x＝44.8 解：3.6＋2x－3.6＝44.8－3.6 2x＝41.2 2x÷2＝41.2÷2 x＝20.6 题型三：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。                            【答案】x＝2.5；x＝192；x＝8 【思路引导】利用等式两边同时加上或减去同一个数以及两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式仍然成立的性质解方程。 （1）等式两边同时减去7.5。（2）等式两边同时乘8。（3）等式两边先同时减去3，再同时除以4。 【完整解答】7.5＋x＝10 解：7.5＋x－7.5＝10－7.5 x＝2.5 x÷8＝24 解：x÷8×8＝24×8 x＝192 4x＋3＝35 解：4x＋3－3＝35－3 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 【变式训练】解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 【答案】x＝12；x＝8；x＝20 【思路引导】（1）先根据等式的基本性质1给方程两边同时加上4，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以5即可； （2）先计算出4×1.5把算式写成2x＋6＝22，再根据等式的基本性质1给方程两边同时减去6，最后根据等式的基本性质2给方程两边同时除以2即可； （3）先把方程的左边化简为1.2x，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以1.2即可。 【完整解答】5x－4＝56     解：5x－4＋4＝56＋4 5x＝60 5x÷5＝60÷5 x＝12      2x＋4×1.5＝22     解：2x＋6＝22   2x＋6－6＝22－6 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8        2.4x－1.2x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 题型四：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】解方程。            【答案】；； 【思路引导】（1）先利用等式的性质1，方程两边同时减去2，再利用等式的性质2，方程两边同时除以2.5； （2）先利用等式的性质2，方程两边同时乘2，方程两边再同时除以2.5； （3）先利用等式的性质1，方程两边同时减去2.5，方程两边再同时加上7.5。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式训练】解方程。 ①    ②         ③ 【答案】①x＝3；②x＝0.12；③x＝1.6 【思路引导】①x－0.6x＝1.2，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－0.6的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－0.6的差即可。 ②3.6x÷0.2＝2.16，根据等式的性质2，方程两边同时乘0.2，再同时除以3.6即可。 ③4x＋1.6×0.5＝7.2，先计算出1.6×0.5的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去1.6×0.5的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。 【完整解答】①x－0.6x＝1.2 解：0.4x＝1.2 0.4x÷0.4＝1.2÷0.4 x＝3 ②3.6x÷0.2＝2.16 解：3.6x÷0.2×0.2＝2.16×0.2 3.6x＝0.432 3.6x÷3.6＝0.432÷3.6 x＝0.12 ③4x＋1.6×0.5＝7.2 解：4x＋0.8＝7.2 4x＋0.8－0.8＝7.2－0.8 4x＝6.4 4x÷4＝6.4÷4 x＝1.6 题型五：解含括号的方程 【典例精讲】解方程。 50.2－＝49.8            0.3＋7.8＝9        6（＋0.2）＝4.8 【答案】＝0.4；＝4；＝0.6 【思路引导】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先加上，把方程变成49.8＋＝50.2，然后方程两边同时减去49.8，求出方程的解； （2）方程两边先同时减去7.8，再同时除以0.3，求出方程的解； （3）方程两边先同时除以6，再同时减去0.2，求出方程的解。 【完整解答】（1）50.2－＝49.8 解：50.2－＋＝49.8＋ 49.8＋＝50.2 49.8＋－49.8＝50.2－49.8 ＝0.4 （2）0.3＋7.8＝9 解：0.3＋7.8－7.8＝9－7.8 0.3＝1.2 0.3÷0.3＝1.2÷0.3 ＝4 （3）6（＋0.2）＝4.8 解：6（＋0.2）÷6＝4.8÷6 ＋0.2＝0.8 ＋0.2－0.2＝0.8－0.2 ＝0.6 【变式训练】解方程。 x＋5.2＝14.8            24＋24x＝72         4×（x－6）＝26 【答案】x＝9.6；x＝2；x＝12.5 【思路引导】x＋5.2＝14.8，根据等式的性质1，方程两边同时减去5.2即可。 24＋24x＝72，根据等式的性质1，方程两边同时减去24，再根据等式的性质2，方程两边同时除以24即可。 4×（x－6）＝26，根据等式的性质2，方程两边同时除以4，再根据等式的性质2，方程两边同时加上6即可。 【完整解答】x＋5.2＝14.8 解：x＋5.2－5.2＝14.8－5.2 x＝9.6 24＋24x＝72 解：24＋24x－24＝72－24 24x＝48 24x÷24＝48÷24 x＝2 4×（x－6）＝26 解：4×（x－6）÷4＝26÷4 x－6＝6.5 x－6＋6＝6.5＋6 x＝12.5 题型六：方程的检验 【典例精讲】解方程，带★的要检验。 ★        【答案】x＝720，检验见详解；x＝6.4；x＝10 【思路引导】对于方程x÷120＝6，根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。在方程x÷120＝6两边同时乘120，即可解得x的值，然后把x的值代入原方程计算检验即可。 对于方程2.5x－0.5×8＝12，先计算方程中的乘法部分：0.5×8＝4，原方程变为2.5x－4＝12。根据等式的性质，等式两边同时加4：2.5x－4＋4＝12＋4，得到2.5x＝16。再在等式两边同时除以2.5，即可解得x的值。 对于方程2.4x＋3.8x＝62，先计算方程左边，2.4x＋3.8x＝（2.4＋3.8）x＝6.2x，原方程变为6.2x＝62。根据等式的性质，等式两边同时除以6.2，即可解得x的值。 【完整解答】x÷120＝6 解：x÷120×120＝6×120 x＝720 检验： 方程左边＝720÷120 ＝6 ＝右边 经检验，x＝720是原方程的解。 2.5x－0.5×8＝12 解：2.5x－4＋4＝12＋4 2.5x＝12＋4 2.5x＝16 2.5x÷2.5＝16÷2.5 x＝6.4 2.4x＋3.8x＝62 解：6.2x＝62 6.2x÷6.2＝62÷6.2 x＝10 【变式训练】解方程。（带☆题要求写出检验过程） ☆0.6＋x＝2.9    x÷4＝180         x＋4.5－8.2＝26 16×8＋4x＝178        3.2x÷2＝9.6         ☆x－0.3x＝1.05 【答案】x＝2.3；x＝720；x＝29.7 x＝12.5；x＝6；x＝1.5 【思路引导】（1）根据等式的性质1，方程两端同时减去0.6，算出方程的解； （2）根据等式的性质2，方程两端同时乘4，算出方程的解； （3）根据等式的性质1，方程两端同时减去4.5，再同时加上8.2，算出方程的解； （4）根据等式的性质1，方程两端同时减去16×8的积，再根据等式的性质2，方程两端同时除以4，算出方程的解； （5）根据等式的性质2，方程两端同时乘2，再同时除以3.2，算出方程的解； （6）先计算方程左边的减法得到0.7x，再根据等式的性质2，方程两端同时除以0.7，算出方程的解。 方程的检验：未知数的值代入原方程，分别计算等号左、右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【完整解答】☆0.6＋x＝2.9 解：0.6＋x－0.6＝2.9－0.6 x＝2.3 检验：把x＝2.3代入方程 方程的左边＝0.6＋2.3＝2.9 左边＝右边 所以x＝2.3是方程的解。 x÷4＝180 解：x÷4×4＝180×4 x＝720 x＋4.5－8.2＝26 解：x＋4.5－8.2－4.5＝26－4.5 x－8.2＝21.5 x－8.2＋8.2＝21.5＋8.2 x＝29.7 16×8＋4x＝178 解：128＋4x＝178 128＋4x－128＝178－128 4x＝50 4x÷4＝50÷4 x＝12.5 3.2x÷2＝9.6 解：3.2x÷2×2＝9.6×2 3.2x＝19.2 3.2x÷3.2＝19.2÷3.2 x＝6 ☆x－0.3x＝1.05 解：0.7x＝1.05 0.7x÷0.7＝1.05÷0.7 x＝1.5 检验：把x＝1.5代入原方程 方程左边 ＝1.5－1.5×0.3 ＝1.5－0.45 ＝1.05 左边＝右边 所以x＝1.5是方程的解。 题型七：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】小胖和小丁丁从学校出发到少年宫。小胖每分钟走80米，小丁丁每分钟走100米，小胖先出发，3分钟后小丁丁才出发，小丁丁多久追上小胖？ 【答案】 12分钟 【思路引导】小丁每分钟比小胖多行100－80＝20米，已知小胖提前走了3分钟，求出小胖3分钟行的路程就是两人相差的路程，设小丁追上小胖用x分钟，追及时间×速度差＝追及路程，据此列方程解答即可解答。 【完整解答】解：设小丁追上小胖用x分钟。 （100－80）x＝80×3 20x＝240 20x÷20＝240÷20 x＝12 答：小丁追上小胖用了12分钟。 【考点再现】此题考查了有关追及问题，找出追及路程、速度差是解题关键，牢记公式追及时间×速度差＝追及路程。 【变式训练】某次数学考试，5个同学的平均分比后面3个同学的平均分少5分，前面两个同学的平均分是80分。那么，这五个同学的平均分是( )分。 【答案】87.5 【思路引导】平均数＝总数量÷总份数，总数量＝平均数×总份数，设这五个同学的平均分是x分，则后面3个同学的平均分是（x＋5）分，5个同学的总成绩＝平均分×总人数，前两个同学的总成绩＝平均分×人数，后面3个同学的总成绩＝平均分×人数，根据5个同学的总成绩＝前两个同学的总成绩＋后面3个同学的总成绩，列出方程求出x的值即可。 【完整解答】解：设这五个同学的平均分是x分。 5x＝80×2＋（x＋5）×3 5x＝160＋3x＋15 5x＝3x＋175 5x－3x ＝3x＋175－3x 2x＝175 2x÷2＝175÷2 x＝87.5 这五个同学的平均分是87.5分。 【考点再现】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 题型八：列方程解和差倍问题 【典例精讲】小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 【答案】9串 【思路引导】根据题意，数量关系有小丽编的手串数量×2－3＝小红编的手串数量，小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24，设小丽编了x串手串，再用含有未知数x的式子表示小红编的手串数量，最后根据小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24列出方程，并根据等式的性质1和2解方程。 【完整解答】解：设小丽编了x串手串，则小红编了（2x－3）串手串。 2x－3＋x＝24 3x－3＝24 3x－3＋3＝24＋3 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 答：小丽编了9串手串。 【变式训练】看图列方程并求解。 【答案】大米26吨；面粉156吨 【思路引导】由图可知，大米有x吨，面粉有6x吨，面粉比大米多130吨，等量关系式：面粉的质量－大米的质量＝130吨，由此列出方程，再利用等式的性质2求出未知数的值，据此解答。 【完整解答】6x－x＝130 解：5x＝130 5x÷5＝130÷5 x＝26 26×6＝156（吨） 所以，大米有26吨，面粉有156吨。 【变式训练】山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 【答案】72平方米 【思路引导】用长36米的栅栏围一个长方形，即长方形的周长是36米，已知长是宽的2倍，设宽是x米，则长是2x米；根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”可列出方程（2x＋x）×2＝36，先计算出x＋2x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时除以3求解出x，即长方形的宽；把x的值代入2x中，计算出2x的值，即长方形的长；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算出这个长方形区域的面积。 【完整解答】解：设这个长方形区域的宽是x米，则长是2x米。 （2x＋x）×2＝36 3x×2＝36 3x×2÷2＝36÷2 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 2x＝2×6＝12 12×6＝72（平方米） 答：这个长方形区域的面积是72平方米。 题型九：列方程解年龄问题 【典例精讲】小明今年5岁，父亲31岁，再过( )年，父亲的年龄正好是小明年龄的2倍。 【答案】21 【思路引导】设再过x年，父亲年龄是小明的2倍，此时父亲年龄为（31＋x）岁，小明年龄为（5＋x）岁，根据x年后父亲年龄＝小明年龄×2，列出方程求出x的值即可。 【完整解答】解：设再过x年，父亲年龄是小明的2倍。 31＋x＝（5＋x）×2 31＋x＝10＋2x 31＋x－x ＝10＋2x－x 10＋x＝31 10＋x－10＝31－10 x＝21 再过21年，父亲的年龄正好是小明年龄的2倍。 【变式训练1】五年前，爸爸的年龄比小军大27岁。今年爸爸的年龄刚好是小军的4倍，今年小军和爸爸各几岁？ 【答案】小军9岁；爸爸36岁 【思路引导】无论过多少年小军和爸爸的年龄差不变，把小军今年的年龄设为未知数，爸爸今年的年龄＝小军今年的年龄×4，等量关系式：爸爸今年的年龄－小军今年的年龄＝27岁，据此列方程解答。 【完整解答】解：设今年小军x岁，则今年爸爸4x岁。 4x－x＝27 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 4×9＝36（岁） 答：今年小军9岁，今年爸爸36岁。 【变式训练2】爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍。今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 【答案】48岁；12岁 【思路引导】求一个数的几倍是多少，用乘法计算。根据等量关系，今年小丽的年龄×4＝今年爸爸的年龄，设今年小丽的年龄为未知数再列方程，利用等式的性质解方程即可。 【完整解答】解：设今年小丽x岁，则爸爸今年是（36＋x）岁。 4x＝36＋x 4x－x＝36 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 36＋x＝36＋12＝48（岁）   答：今年爸爸48岁，今年小丽12岁。 题型十：列方程解相遇问题 【典例精讲】甲、乙两地相距560千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时相遇，已知客车每小时行驶75千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】 65千米 【思路引导】根据“路程＝速度×时间”，客车每小时行驶75千米，行驶了4小时，所以客车行驶的路程为75×4千米；货车每小时行x千米，行驶了4小时，所以货车行驶的路程为4x千米。因为甲、乙两地相距560千米，客车和货车相对开出后相遇，说明两车行驶的路程之和等于甲、乙两地的距离，所以可列方程：75×4＋4x＝560，计算得300＋4x＝560，然后根据等式的性质，方程两边同时减去300，再同时除以4计算出x，即为货车的速度。 【完整解答】解：设货车每小时行x千米。 75×4＋4x＝560 300＋4x＝560 300＋4x－300＝560－300 4x＝260 4x÷4＝260÷4 x＝65 答：货车每小时行65千米。 【变式训练1】张大爷和王大爷步行锻炼身体，张大爷每分钟走50米，王大爷每分钟走40米。环湖公路一周的长度是900米，两人同时从起点出发反方向走路。 （1）估计两人在何处第一次相遇，在图中用“△”标出来。 （2）多长时间后两人第一次相遇？ （3）第一次相遇后张大爷还要走几分钟才能回到起点？ 【答案】（1）图见详解 （2）10分钟 （3）8分钟 【思路引导】（1）因为张大爷的速度比王大爷快，所以相同时间内，张大爷走的路程更远，据此估计两人第一次相遇的位置，并在图中用“△”标出来。 （2）根据“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：（张大爷的速度＋王大爷的速度）×相遇时间＝环湖公路一周的长度，据此列出方程，并求解。 （3）先根据“速度×时间＝路程”，用张大爷的速度乘第一次相遇的时间，求出张大爷已走的路程；再用全程减去张大爷已走的路程，即是张大爷此时离起点的距离；根据“路程÷速度＝时间”求出张大爷回到起点还要走的时间。 【完整解答】（1）两人第一次相遇的位置，如下图： （2）解：设后两人第一次相遇。 （50＋40）＝900 90＝900 90÷90＝900÷90 ＝10 答：10分钟后两人第一次相遇。 （3）900－50×10 ＝900－500 ＝400（米） 400÷50＝8（分钟） 答：第一次相遇后张大爷还要走8分钟才能回到起点。 【变式训练2】甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲车每小时行驶85千米，乙车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】75千米 【思路引导】把乙车每小时行驶的路程设为未知数，根据“（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝总路程”列方程求出乙车每小时行驶的路程，据此解答。 【完整解答】解：设乙车每小时行驶x千米。 （85＋x）×3＝480 （85＋x）×3÷3＝480÷3 85＋x＝160 85＋x－85＝160－85 x＝75 答：乙车每小时行驶75千米。 题型十一：列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行驶84.8千米，乙车每小时行驶72.6千米，两车在距离中点19.52千米处相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】503.68千米 【思路引导】根据题意可知，在相同时间内，甲车的速度比乙车的速度快，所以甲车和乙车相遇时，甲车比乙车多行了19.52×2千米；设两车相遇时，行驶了x小时；甲车每小时行驶84.8千米，x小时行驶84.8x千米；乙车每小时行驶72.6千米，x小时行驶72.6x千米；甲车行驶的路程－乙车行驶的路程＝19.52×2千米，列方程：84.8x－72.6x＝19.52×2，解方程，求出行驶的时间；再根据路程＝速度×时间，用甲车和乙车的速度和×行驶的时间，即可解答。 【完整解答】解：设两车相遇时，行驶了x小时。 84.8x－72.6x＝19.52×2 12.2x＝39.04 12.2x÷12.2＝39.04÷12.2 x＝3.2 （84.8＋72.6）×3.2 ＝157.4×3.2 ＝503.68（千米） 答：A、B两地相距503.68千米。 【变式训练1】大货车时速88千米，小货车时速64千米，两车同地出发，同向而行。已知小货车先行驶1.5小时后大货车再开出，大货车经过多久能追上小货车？ 【答案】4小时 【思路引导】设大货车经过x小时追上小货车；根据路程＝速度×时间，大货车时速88千米，大货车x小时行驶88x千米；用64×1.5，先求出小货车1.5小时行驶的路程，小货车x小时行驶64x千米，再求出小货车x小时行驶的路程。根据等量关系式：小货车1.5小时行驶的路程＋x小时行驶的路程＝大货车行驶的路程，列出方程：88x＝64x＋64×1.5，解方程，即可解答。 【完整解答】解：设大货车经过x小时追上小货车。 88x＝64x＋64×1.5 88x＝64x＋96 88x－64x＝96 24x＝96 x＝96÷24 x＝4 答：大货车经过4小时追上小货车。 【变式训练2】小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 【答案】14.8分钟 【思路引导】根据“速度×时间＝路程”，求出小巧先出发5分钟所走的路程。再根据“小巧先出发5分钟所走的路程＋两人速度和×相遇时间＝4千米”列方程解出相遇时间即可解答。 【完整解答】解：设小亚出发x分钟后两人相遇 4千米＝4000米 5×60＋（60＋190）x＝4000 300＋250x＝4000 300＋250x－300＝4000－300 250x＝3700 250x÷250＝3700÷250 x＝14.8 答：小亚出发14.8分钟后两人相遇。 题型十二：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】小王家饲养的鸡和鸭一共239只，其中鸭的数量比鸡的数量的3倍还多15只，小王家养的鸡和鸭各多少只？（列方程解） 【答案】56只；183只 【思路引导】设小王家养的鸡有x只，则鸭有（3x＋15）只，根据鸭的只数＋鸡的只数＝总只数，列出方程求出x的值是鸡的只数，总只数－鸡的只数＝鸭的只数。 【完整解答】解：设小王家养的鸡有x只。 3x＋15＋x＝239 4x＋15＝239 4x＋15－15＝239－15 4x＝224 4x÷4＝224÷4 x＝56 239－56＝183（只） 答：小王家养的鸡和鸭各56只、183只。 【变式训练1】小可同学借助网络查阅资料，了解到地球的表面积总约为5.1亿平方千米，由于其中海洋面积约为陆地面积的2.4倍，所以地球看起来是一颗蓝色的星球，请你算一算地球上的海洋面积是多少亿平方千米？（用方程解答） 【答案】3.6亿平方千米 【思路引导】地球上的陆地面积是x亿平方千米，则海洋面积是2.4x亿平方千米，根据陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积，列出方程求出x的值是陆地面积，陆地面积×2.4＝海洋面积。 【完整解答】解：设地球上的陆地面积是x亿平方千米。 x＋2.4x＝5.1 3.4x＝5.1 3.4x÷3.4＝5.1÷3.4 x＝1.5 1.5×2.4＝3.6（亿平方千米） 答：地球上的海洋面积是3.6亿平方千米。 【变式训练2】鲜农果园里种着桃树和杏树，桃树比杏树少224棵，杏树的棵数是桃树的3倍。鲜农果园里杏树和桃树各有多少棵？（列方程解答） 【答案】杏树336棵；桃树112棵 【思路引导】根据“杏树的棵数是桃树的3倍”可以设桃树有棵，杏树有3棵； 根据“桃树比杏树少224棵”可得出等量关系：杏树的棵数－桃树的棵数＝桃树比杏树少的棵数，据此列出方程，并求解。 【完整解答】解：设桃树有棵，杏树有3棵。 3－＝224 2＝224 2÷2＝224÷2 ＝112 112×3＝336（棵） 答：鲜农果园里杏树有336棵，桃树有112棵。 题型十三：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每人分4个，那么就多出10个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果。一共有几个小朋友？苹果共有几个？（列方程解决问题） 【答案】小朋友11个；苹果54个 【思路引导】根据题意，设一共有x个小朋友；如果每人分4个，那么就多出10个苹果，则一共有（4x＋10）个苹果；如果每人分6个，那么有2个小朋友未分到苹果，则一共有6（x－2）个苹果；因为苹果的数量不变，据此列出方程并求解，即求出小朋友的人数，进而求出苹果的总数。 【完整解答】解：设一共有x个小朋友。 4x＋10＝6（x－2） 4x＋10＝6x－12 6x－4x＝10＋12          2x＝22 x＝22÷2       x＝11                  苹果有： 4×11＋10 ＝44＋10 ＝54（个） 答：一共有11个小朋友，苹果有54个。 【变式训练1】图书馆买了一批新书，如果每个书架放22本书，那么会有14本书没地方放，但如果每个书架放25本书，就会空出来一个书架，一共有多少个书架？这批新书有多少本？（列方程解答） 【答案】13个；300本 【思路引导】设一共有x个书架，如果每个书架放22本书，那么会有14本书没地方放，则一共有（22x＋14）本书；如果每个书架放25本书，就会空出来一个书架，则一共有25（x－1）本书。两次的总数相等，都等于这批新书的本数，据此列出方程，并求出x的值（书架的数量），进而求出这批新书有多少本。 【完整解答】解：设一共有x个书架。 22x＋14＝25（x－1） 22x＋14＝25x－25 22x＋14＋25＝25x－25＋25 22x＋39＝25x 22x＋39－22x＝25x－22x 3x＝39 3x÷3＝39÷3 x＝13       22×13＋14 ＝286＋14 ＝300（本） 答：一共有13个书架；则这批新书有300本。 【变式训练2】小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【答案】小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 【思路引导】设小刚收集的邮票数为枚，小勇是小刚的2倍就是枚，小明是小勇的3倍，，就是枚，由题意可知，小明的邮票枚数＋小勇邮标枚数＋小刚的邮票枚数＝360，据此列方程求解，可得小刚的邮票数，再用小刚的邮票数乘2得小勇的邮票数，最后用小勇的邮票数乘3得小明的邮票数。 【完整解答】解：设小刚收集的邮票数为枚。 （枚） （枚） 答：小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 1．已知○、□、△各代表一个数，根据○＋△＝12，△＋□＝8，△－□＝6，可知下列选项正确的是（    ）。 A．○＝9 B．□＝2 C．□＝4 D．△＝7 【答案】D 【思路引导】根据“△＋□＝8，△－□＝6”，也就是两数之和为8，两数之差为6；再根据和差公式：较大数＝（和＋差）÷2，较小数＝（和－差）÷2，所以△为（8＋6）÷2，算出结果为7，□为（8－6）÷2，算出结果为1，□也可用“和－△”得到，即8－7结果也为1。再根据“○＋△＝12”，所以○＝12－△，即12－7结果为5。据此解答。 【完整解答】由分析可得： （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7 8－7＝1 12－7＝5 所以△＝7，□＝1，○＝5 A．○＝9，答案错误，不符合题意； B．□＝2，答案错误，不符合题意； C．□＝4，答案错误，不符合题意； D．△＝7，答案正确，符合题意； 故答案为：D 2．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【完整解答】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 3．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【思路引导】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【完整解答】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 4．五年级一班有男生21人，女生比男生少a人。用含有字母的式子表示该班学生总数是（    ）。 A．21－a B．21＋a C．21＋a＋21 D．42－a 【答案】D 【思路引导】用男生人数减去女生比男生少的人数，求出女生人数，再加上男生人数就是全班学生总数。 【完整解答】21－a＋21＝（42－a）人 所以用含有字母的式子表示该班学生总数是42－a。 故答案为：D 5．如图所示，平行四边形ABCD的周长为70厘米，以BC为底时，高是12厘米；以CD为底时，高是16厘米，那么平行四边形ABCD的面积是（    ）。 A．180平方厘米 B．240平方厘米 C．320平方厘米 D．480平方厘米 【答案】B 【思路引导】将平行四边形的周长除以2，先求出这个平行四边形一组邻边的和。将BC的长度设为x厘米，那么CD的长度为（35－x）厘米，据此根据面积一定，即CD×16＝BC×12，列方程解方程，求出BC的长。最后将其乘12厘米，求出平行四边形的面积即可。 【完整解答】解：设BC为x厘米。 12x＝（70÷2－x）×16 12x＝（35－x）×16 12x＝35×16－16x 12x＋16x＝560 28x＝560 x＝560÷28 x＝20 20×12＝240（平方厘米） 所以，平行四边形的面积是240平方厘米。 故答案为：B 【考点再现】本题考查了平行四边形的面积和简易方程，平行四边形的面积＝底×高。 6．甲数是m，比乙数的4倍少n，乙数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】方法一：代入法，将选项里的答案一一代入到题目中去，验证即可。 方法二：假设法，设乙数为，依据关系式，列出方程，求出乙数是多少。 【完整解答】方法一： A．，代入，答案错误； B．，代入，答案错误； C．，代入，答案正确； D．，代入，答案错误。 方法二：假设乙数为，列出方程，， 故答案为：C 【考点再现】此题的解题关键是掌握代入法和假设法，依据题型的区别和难易程度采用不同的方法就能解决问题。 7．李阿姨微信的钱包余额为120.88元。她要买12个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，付款后她的微信钱包余额应为( )元。她选中的玻璃杯单价是8元，付款后她的微信钱包余额为( )元。 【答案】 （120.88－12n） 24.88 【思路引导】第一空：根据钱包剩下的余额＝钱包余额－玻璃杯价格×个数，用字母和数字可列出式子。注意数字和字母相乘时可省略中间的乘号，据此得出答案。第二空：将单价是8元代入式子，算出余额。 【完整解答】120.88－n×12＝（120.88－12n）元 当n＝8时 　120.88－12n ＝120.88－12×8 ＝120.88－96 ＝24.88（元） 她要买12个同样的玻璃杯，每个玻璃杯n元，付款后她的微信钱包余额应为（120.88－12n）元。她选中的玻璃杯单价是8元，付款后她的微信钱包余额为24.88元。 8．用小棒拼接连在一起的正方形（如图），如果拼5个正方形，用了 根小棒；拼n个正方形，用了 根小棒。 【答案】 16 3n＋1 【思路引导】观察图形可知，摆1个、2个正方形分别需要4根、7根小棒，发现：每增加一个正方形，小棒的数量增加3根，据此规律解答。 【完整解答】摆1个正方形要4根小棒，4＝3×1＋1； 摆2个正方形要7根小棒，7＝3×2＋1； 摆3个正方形要10根小棒，10＝3×3＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个正方形要（3n＋1）根小棒。 当n＝5，3n＋1＝3×5＋1＝16（根） 填空如下： 如果拼5个正方形，用了16根小棒；拼n个正方形，用了（3n＋1）根小棒。 9．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 【答案】6 【思路引导】四支球队进行单循环比赛，总比赛场数为6场。比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分，两队的总得分是3＋0＝3分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分，两队的总得分是2＋1＝3分。每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。各队得分是四个连续自然数，设分别为x、x＋1、x＋2、x＋3，其和为18，列方程解答。 【完整解答】一共比赛了：3＋2＋1＝6（场） 总得分：3×6＝18（分） 设四个队中的最低分是x分 x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝18 4x＋6＝18 4x＋6－6＝18－6 4x＝12 4x÷4＝12÷4 x＝3 所以最高得分为：3＋3＝6（分） 【考点再现】通过得分情况，可知每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。设最低得分为x，其他几个连续的自然数就可以分别用含有x的式子表示出来，比赛总得分为18分，建立等量关系，列方程解答。 10．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。 【答案】45 【思路引导】设小明步行的速度为x千米/小时。追及问题的公式为：追及路程＝（追及者速度－被追者速度）×追及时间，骑自行车追及为：（15－x）×3（速度差15－x，时间3小时）；骑摩托车追及为：（35－x）×1（速度差35－x，时间1小时）。因为初始距离不变，建立方程：（15－x）×3＝（35－x）×1，然后解方程得出x的值后。那么初始距离为（35－5）×1＝30×1＝30千米，汽车速度为45千米/小时，速度差为45－5＝40千米/小时。根据追及公式，追及时间＝初始距离÷速度差，用30除以40得出结果后，把单位换算成分钟即可。 【完整解答】解：设小明步行的速度为x千米/小时。 （15－x）×3＝（35－x）×1 45－3x＝35－x 45－3x＋3x＝35－x＋3x 45＝35＋2x 35＋2x＝45 35＋2x－35＝45－35 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 （35－5）×1 ＝30×1 ＝30（千米） 45－5＝40（千米/小时） 30÷40＝0.75（小时） 1小时＝60分钟 0.75×60＝45（分钟） 若开汽车，每小时行45千米，45分钟能追上。 【考点再现】本题主要考查利用方程法解答追及问题，核心公式为：追及路程=速度差×追及时间），通过设定未知数、利用“追及路程不变”的隐含条件建立方程，求解被追者速度与初始追及路程，再代入公式计算不同追及速度和时间。 11．解方程。 3.5x＋4.6＝11＋3.3x        3×（x＋8）÷2＝18 【答案】x＝32；x＝4 【思路引导】3.5x＋4.6＝11＋3.3x，根据等式的性质1，方程两边同时减去4.6，减去3.3x，原式化为：3.5x＋4.6－4.6－3.3x＝11＋3.3x－3.3x－4.6，再化为：3.5x－3.3x＝11－4.6，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.5－3.3的差即可。 3×（x＋8）÷2＝18，根据等式的性质2，方程两边同时除以3，再乘2，再根据等式的性质1，方程两边同时减去8即可。 【完整解答】3.5x＋4.6＝11＋3.3x 解：3.5x＋4.6－4.6－3.3x＝11＋3.3x－3.3x－4.6 3.5x－3.3x＝11－4.6 0.2x＝6.4 0.2x÷0.2＝6.4÷0.2 x＝32 3×（x＋8）÷2＝18 解：3×（x＋8）÷2÷3×2＝18÷3×2 x＋8＝6×2 x＋8＝12 x＋8－8＝12－8 x＝4 12．“六一”儿童节，我校师生在小剧场举行文艺汇演，剧场安排座位时，如果每排座位坐50人，将会空出5排座位；如果每排座位坐40人，就有200人没有座位。小剧场共有多少排座位？我校师生共有多少人？ 【答案】 45排；2000人 【思路引导】根据题意，师生总人数和剧场座位排数是不变的，可设剧场共有x排座位；若“每排座位坐50人，将会空出5排座位”，则师生人数可用50×剧场座位排数，再减去5排空座位5×50＝250人得到，所以等式左边为50x－5×50；若“每排座位坐40人，就有200人没有座位”，则师生人数可用40×剧场座位排数，再加上200人得到，所以等式右边为40x＋200。据此列出方程，解答即可。 【完整解答】解：设剧场共有x排座位。 50x－5×50＝40x＋200 50x－250＝40x＋200 50x－250＋250＝40x＋200＋250 50x＝40x＋450 50x－40x＝40x＋450－40x 10x＝450 10x÷10＝450÷10 x＝45 40×45＋200 ＝1800＋200 ＝2000（人） 答：小剧场共有45排座位，我校师生共有2000人。 13．实验西校的辩论队在各大辩论比赛中屡创佳绩。一场辩论赛分为立论、驳论、自由辩论、总结陈词四个环节，总时长30分钟。已知总结陈词需要4分钟，立论时间比驳论时间多2分钟，且立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间。求立论、驳论、自由辩论各环节的时间。（列方程解应用题） 【答案】立论8分钟；驳论6分钟；自由辩论12分钟 【思路引导】设驳论时间为x分钟，立论时间比驳论多2分钟，故立论时间为（x＋2）分钟；立论和总结陈词的时间总和等于自由辩论时间，总结陈词4分钟，故自由辩论时间为（x＋2＋4）分钟。四个环节总时长30分钟，则立论时间＋驳论时间＋自由辩论时间＋总结陈词时间＝30，据此列方程为：（x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30，然后解方程即可。 【完整解答】解：设驳论时间为x分钟。 （x＋2）＋x＋（x＋2＋4）＋4＝30 x＋2＋x＋x＋2＋4＋4＝30 3x＋12＝30 3x＋12－12＝30－12 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 6＋2＝8（分钟） 6＋2＋4＝12（分钟） 答：立论8分钟，驳论6分钟，自由辩论12分钟。 14．甲、乙两工程队铺一条长2600米的公路，他们从两端同时施工。甲队每天铺70米，乙队每天铺60米，几天后能够铺完这条公路？ 【答案】20天 【思路引导】根据题意，设x天后能够铺完这条公路；甲队每天铺70米，x天铺70x米；乙队每天铺60米，x天铺60x米，甲队铺的米数＋乙队铺的米数＝这条路的总长度，列方程：70x＋60x＝2600，解方程，即可解答。 【完整解答】解：设x天后能够铺完这条公路。 70x＋60x＝2600 130x＝2600 x＝2600÷130 x＝20 答：20天后能够铺完这条公路。 15．红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 【答案】8.5千米 【思路引导】根据题意可知，在离家1.5千米处，红红仍然以相同的速度向前行走，明明以每小时6千米的速度返回拿借书卡再追赶红红，明明比红红多走了（1.5×2）千米，两人行走的时间却是相同的。设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米，则此时明明行走的路程是（x＋1.5×2）千米，根据红红行走的路程÷速度＝明明行走的路程÷速度，列出方程求出x的值是明明开始返回，红红行走的路程，再加上明明返回时已经走的路程和距离图书馆的距离即可。 【完整解答】解：设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米。 x÷4＝（x＋1.5×2）÷6 x÷4×24＝（x＋3）÷6×24 6x＝（x＋3）×4 6x＝4x＋12 6x－4x ＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 6＋1.5＋1＝8.5（千米） 答：他们家到图书馆的距离是8.5千米。 【考点再现】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 16．位于同一直线上甲、乙、丙三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站300米又追上小强，问甲、丙两站的距离是多少米？ 【答案】600米 【思路引导】设甲站到乙站的距离为x米；则乙站到丙站的距离也是x米；根据题意，小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇；小明走了（x＋100）米；小强走了（x－100）米；然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站300米又追上小强，小强实际又走了100＋300＝400米；小明走了（x－100＋x＋300＝2x＋200）米，即走了2个（x＋100）米；由此可知，二次相遇之间各走的路程应为相遇前各走的路程的2倍，即小强第二次走的路程＝第一次走的路程的2倍，即小强走的400米等于第一次与小明相遇走的路程（x－100）×2，列方程：（x－100）×2＝400，解方程，进而求出乙站到丙站的距离，进而求出甲、丙两站之间的距离。 【完整解答】解：设甲站到乙站的距离为x米，则乙站到丙站的距离也是x米。 第一次相遇：小明走了：（x＋100）米；小强走了：（x－100）米； 第二次相遇：小明走了：x－100＋x＋300＝（2x＋200）米；即小明走了2×（x＋100）米；由此可知，第二次走的路程＝第一次走的路程的2倍 小强走了：100＋300＝400（米） 2×（x－100）＝400 2×（x－100）÷2＝400÷2 x－100＝200 x－100＋100＝200＋100 x＝300 300×2＝600（米） 答：甲、丙两站距离是600米。 【考点再现】明确二次相遇之间各走的路程应为相遇前各走的路程之间的关系是解答本题的关键。 17．全友家居现在要生产一批桌子和方凳，派出63名技术工人。每个工人平均每天能加工9张方凳或者6张桌子。为了供应市场，必须方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，才可以发货。怎么安排加工方凳和桌子的人数，既不造成浪费，又能满足供货？ 【答案】加工桌子：27人；加工方凳：36人 【思路引导】设有x名技术工人加工桌子，则（63－x）名技术工人加工方凳；每个工人平均每天加工6张桌子，x名技术工人加工6x张桌子；每个工人平均每天加工9张方凳，（63－x）名技术工人加工9×（63－x）张方凳；方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，即加工的桌子张数×2＝加工方凳的张数，列方程：6x×2＝9×（63－x），解方程，即可解答。 【完整解答】解：设有x名技术工人加工桌子，则（63－x）名技术工人加工方凳。 6x×2＝9×（63－x） 12x＝9×63－9x 12x＋9x＝567－9x＋9x 21x＝567 21x÷21＝567÷21 x＝27 加工方凳：63－27＝36（名） 答：有27名技术工人加工桌子，有36名技术工人加工方凳。 【考点再现】本题主要考查列方程解应用题，要注意列方程的时候，要桌子的数量乘2才和方凳的数量相等。 18．小春读一本小说，若每天读35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读40页，则最后一天要少读5页，如果他每天读39页，最后一天应读多少页才按规定时间读完？ 【答案】42页 【思路引导】假设读完全书的规定时间是x天，则这本小说的总页数有35×（x＋1）页，因为总页数不变，所以这本小说的总页数还可以表示成（40x－5）页，据此列出方程，求出读完全书的规定时间，继而求出这本小说的总页数，如果他每天读39页，求出他在（规定时间－1）天里读的页数，再用这本小说的总页数减去读了的页数，即可求出最后一天应读多少页才按规定时间读完。 【完整解答】解：设读完全书的规定时间是x天， 35×（x＋1）＝40x－5 35x＋35＝40x－5 35x＋35＋5＝40x－5＋5 35x＋40＝40x 35x＋40－35x＝40x－35x 40x－35x＝40 5x＝40 5x÷5＝40÷5 x＝8 35×（8＋1）－39×（8－1） ＝35×9－39×7 ＝315－273 ＝42（页） 答：最后一天应读42页才按规定时间读完。 【考点再现】此题的解题关键是弄清题意，把读完全书的规定时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 19．某校为活跃同学们的文娱活动，先购买了篮球11个、排球8个、足球2个，共用去1027元；后来又买回同样的篮球7个、排球5个、足球1个，又用去643元，那么，买同样的篮球、排球、足球各一个，共需多少元？ 【答案】125元 【思路引导】7个篮球、5个排球、1个足球共花去643元，用643元乘2，求出14个篮球、10个排球、2个足球共花去1286元；用14个篮球、10个排球、2个足球的总价减去11个篮球、8个排球、2个足球的总价等于3个篮球、2个排球的价钱，即等于（1286－1027）元；再用11个篮球、8个排球、2个足球的总价减去7个篮球、5个排球、1个足球的总价，等于4个篮球、3个排球、1个足球的总价，即等于（1027－643）元，再用4个篮球、3个排球、1个足球的总价减去3个篮球、2个排球的总价，即可求出1个篮球、1个排球、1个足球共需要花多少钱。 【完整解答】643×2－1027 ＝1286－1027 ＝259（元） 1027－643＝384（元） 384－259＝125（元） 答：共需125元。 【考点再现】运用等式的差以及等量代换的方法是解决本题的关键。 20．甲乙两人上午8时同时骑车从东村到西村。甲的速度比乙的速度每小时快6千米，中午12时甲到达西村后立即返回东村在距西村15千米处遇乙。甲乙两人从出发到相遇需要几小时？ 【答案】5小时 【思路引导】假设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为（x＋6）千米，从上午8时到中午12时，共花时间（12－8）小时，用甲的速度比乙快的速度乘（12－8），求出甲到达西村后立即返回东村时两人所走的总路程是24千米，用24千米减去15千米，求出乙所走的路程是9千米，根据路程÷速度＝时间，两人所走的时间是一样的，据此列出方程，解方程求出乙的速度，即可求出最后一段两人所走的时间，再加上前一段时间4小时，即是甲乙两人从出发到相遇需要的时间。 【完整解答】（12－8）×6 ＝4×6 ＝24（千米） 解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为（x＋6）千米/时， （24－15）÷x＝15÷（x＋6） 9÷x＝15÷（x＋6） 9×（x＋6）＝15×x 15x－9x＝9×6 6x＝54 x＝54÷6 x＝9 即乙的速度为9千米/时。 （24－15）÷9 ＝9÷9 ＝1（小时） 4＋1＝5（小时） 答：甲乙两人从出发到相遇需要5小时。 【考点再现】此题的解题关键是弄清题意，把乙的速度设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $