专题 1 二次根式的运算精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 专题 1 二次根式的运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)． (2)．（结果保留根号） 3．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 4．计算：． 5．小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 6．计算： (1)； (2)． 7．计算： 8．如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为_____； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． (3)现有一支长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由． 9．计算： (1)． (2)． 10．综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 1．先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； (2)先化简，再求值：，其中． 2．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程： 解：            第一步             第二步                 第三步 … (1)甲同学的运算过程中第 步是通分； (2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值． 4．（1）先化简，再求值：，其中， （2）先化简，再求值: ，其中 5．化简求值： (1)已知，求代数式的值． (2)，从中选一个合适的代入求值． 6．先化简，再求值：，其中，． 1．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 2．阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： (1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 3．综合与实践 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注．为了方便同学们更好地放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 元素 数据 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 4．嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽，长是宽的4倍． (1)求这根铁丝的长度． (2)若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 5．观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 6．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．    7．如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． (1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ (2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 8．（1）比较大小：①_____；②_____；③_____（填“＞”，“＜”，或“=”）； （2）猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：_____（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并请你对猜想的结论进行证明； （3）结论应用．如图，某同学用竹条做二个面积为，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要________cm． 易错点1 定义性质理解出错 1．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D．1 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 4．要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 5．如果有意义，那么的取值范围是 ． 易错点2 化简变形符号出错 1．化简后等于（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是 ． 3．若，化简 ． 4．化简： ． 5．化简： ． 6．先化简，再求值：，其中． 易错点3 运算顺序错误或公式错误 1．计算： 2．计算：． 3．（1）计算：． （2）化简：． 4．甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 5．小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 类型3 二次根式的实际应用 易错易混专练 类型1 二次根式的运算 类型2 二次根式有关的化简 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 专题 1 二次根式的运算（解析版） 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：根据二次根式非负性得出， ． 2．计算： (1)． (2)．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的性质和二次根式的性质计算即可求解； （2）根据零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂和二次根式的乘除法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 4．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 根据二次根式有意义的条件得到，，化简二次根式，再计算除法即可． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵，， ∴，， ． 5．小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确  见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，正确的计算是解题的关键． 先将带分数化为假分数，计算括号内的二次根式的乘法，然后计算积的乘方，最后再算乘法即可． 【详解】解：他的做法不正确．正确的解答过程如下： 原式 ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算、立方根与平方根的化简、绝对值的运算，依据根式、绝对值的定义规则分步化简是解题关键． （1）根据二次根式乘除法则，将被开方数先乘除再化简； （2）分别化简立方根、平方根、绝对值，再按有理数运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 7．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法和乘除运算法则是解题的关键． 先将各项根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除运算法则，从左到右依次进行计算． 【详解】解： ． 8．如图，一个体积为的正方体容器内，外表面点A位置上有一只蜘蛛，外表面点B上有一只蚊子． (1)正方体的棱长为_____； (2)如果蜘蛛想吃到蚊子，求蜘蛛至少要爬行多少厘米． (3)现有一支长的竹签，这支竹签能全部放进正方体容器内部吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部，理由见解析 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据正方体体积计算公式求解即可； （2）将正方体沿着其一条棱所在的直线展开，根据两点之间线段最短，再结合勾股定理求解即可； （3）根据题意找到能放进正方体内的竹签的最长的长度的情形，运用两次勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该正方体的棱长为； 故答案为：3 （2）解：如图所示，将正方体沿着其一条棱所在的直线展开， 由两点之间线段最短可得，线段为蜘蛛爬行的最短路线． 在中，，， ∴， ∴蜘蛛爬行的最短路径为； （3）解：一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部，理由如下： 如图所示，在中， ，， ∴ 在中，，， ∴ ∴能放进正方体内的竹签的最大长度为， ∵， ∴， ∴一支长的竹签不能全部放进正方体容器内部． 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把各二次根式化简，然后计算即可； （2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路程问题，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）该金属丝的长即为线段的长加上线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接，可推出当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴， 同理可得， ∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 1．先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮， (2)，2025 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解题即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵当时，，由二次根式的性质可得： ，即小亮的计算是错误的， ∴小亮的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；； （2）解：原式, ∴原式 ． 2．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 3．先化简，再求值：，其中，下面是甲同学的部分运算过程： 解：            第一步             第二步                 第三步 … (1)甲同学的运算过程中第 步是通分； (2)请你先用与甲同学不同的方法化简，再求值． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质及分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律、分式的约分法则计算． 【详解】（1）解：甲同学的运算过程中第一步是通分； （2）解：原式 ； 当时， 原式． 4．（1）先化简，再求值：，其中， （2）先化简，再求值: ，其中 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用乘法公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项，再把字母的值代入化简结果计算即可； （2）利用乘法公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项，再把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式 （2） 当时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题的关键． 5．化简求值： (1)已知，求代数式的值． (2)，从中选一个合适的代入求值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式，平方根的计算，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用已知条件 和 ，先计算 和 的值，再代入表达式 中化简，最后求平方根即可． （2）先化简代数式，由分母不能为零可得 且 ，再从给定的 值中选择合适的值，代入化简后的表达式求值即可． 【详解】（1）解：∵ , ， ∴计算 ， ， ， ， ∴． （2）解：设原式为 ， ∵分母 且 ， ∴ 且 ， ∴只能选 ， 代入 ． 6．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先计算分式加法，再代入求值，根据二次根式的运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= = = = = 当，时，原式===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则和分式的通分，是解题的关键． 1．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 2．阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： (1)一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】(1) (2)①；②x=9；③△ABC 的面积为84 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形边长依次是、、， ∴ ， ∴ ； （2）①，， ； ②，，， ， ， 解得：； ③由②得 ： ， ． 3．综合与实践 项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算． 项目背景：现如今人们的生活水平不断提高，同质化的商品很难得到人们的关注．为了方便同学们更好地放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习． 驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离． 研究步骤：（1）如图，这是福州市某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们利用课余时间完成了如下实践探究，形成了如下实验报告： 调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 （2）已知地面为水平面，桌面是水平面，，为课桌的高度，挂钩顶端到地面的距离为，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论． （3）试验数据： 元素 数据 问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端到地面的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理等等知识，连接，交于点．由等角对等边以及三角形内角和定理可得出，再结合已知条件可得出，利用勾股定理分别求出和，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点．    ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 答：课桌挂钩顶端到地面的距离为． 4．嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽，长是宽的4倍． (1)求这根铁丝的长度． (2)若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【答案】(1) (2)，围成的正方形面积大． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）先求出长方形的长，再根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出长方形面积，再求出正方形边长，进而求出正方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴这根铁丝的长度为； （2）解：长方形的面积为， 围成的正方形边长为， ∴围成的正方形面积为， ∵， ∴围成的正方形面积大． 【点睛】 5．观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为： 6．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．    【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，   ∴两个正方形的边长分别为：，， 大矩形的长为，大矩形的宽为， 大矩形的面积为， ∴大矩形内阴影部分的面积为：大矩形面积． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，能够由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示出矩形的边长，求出矩形的面积，是解题的关键． 7．如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． (1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ (2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 【答案】(1)大相框的面积是小相框面积的倍 (2)现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）分别求出正方形和正方形的面积相除即可得出答案； （2）求出两个正方形的周长，即可判断彩带的长度够不够． 【详解】（1）解∶∵大相框的面积为，小相框的面积为， ∴， 答∶大相框的面积是小相框面积的倍； （2）解：不够用． 镶边所需要的彩带长为， 则现有的彩带不够用，还需买， 答∶现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带． 8．（1）比较大小：①_____；②_____；③_____（填“＞”，“＜”，或“=”）； （2）猜想证明：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：_____（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”），并请你对猜想的结论进行证明； （3）结论应用．如图，某同学用竹条做二个面积为，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要________cm． 【答案】（1）>，>，=（2）≥（3）240 【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论； （2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可； （3）根据对角线互相垂直的四边形面积=相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵ ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想：， 理由是：， ∴； 故答案为：≥ （3）设 由题意得： ， ， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 故答案为：240. 【点睛】此题考查了二次根式的实际应用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 易错点1 定义性质理解出错 1．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 2．若，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 根据二次根式具有非负性可得且求出的取值范围，再利用对所求式子进行化简，根据求出的取值范围确定绝对值内式子的正负，进而得到答案． 【详解】解：由题意可得，且 ， ， 故选：D 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件、零指数幂有意义的条件和二次根式有意义的条件，解题的关键是理解上述条件． 式子在实数范围内有意义，需同时满足分母不为零、零指数幂的底数不为零，以及二次根式的被开方数非负，由此即可解答． 【详解】解：为了使式子 在实数范围内有意义，需满足以下条件： ①零指数幂 有意义的条件是底数不为零，即， ∴． ②分母有意义的条件是被开方数，且分母不能为零， ，即 ． 综合以上，的取值范围是且． 故答案为：且． 4．要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围． 本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． 5．如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 易错点2 化简变形符号出错 1．化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 2．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 4．化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 5．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，完全平方公式等知识，根据有意义，求出，然后根据完全平方公式和二次根式的性质等化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴原式 ， ， 故答案为：． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和二次根式的性质化简，再运用分式的混合运算法则化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴ 则原式 ， 当时， 原式． 易错点3 运算顺序错误或公式错误 1．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 首先计算括号内的二次根式加减运算，再计算除法，并利用平方差公式对二次根式进行化简，最后合并同类项进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先利用平方差公式去括号和化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 【答案】(1)乙获胜 (2)选择的卡片为和，计算结果为；选择的卡片为和，计算结果为 (3)二；正确的化简过程见详解． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和乘法运算、平方差公式、去括号法则，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，去括号时注意符号的变化即可． （1）根据甲、乙所选卡片，列式后先逐项化简，再合并同类二次根式，最后比较大小即可； （2）从6张卡片中选两张计算乘积，选出结果为正数的即可； （3）去括号时注意符号的变化即可； 【详解】（1）解：甲：              乙：              ∵， ∴乙获胜． （2）若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．             若选择的卡片为和．         计算结果如下： ． （3）二．         正确的化简过程如下： 5．小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 易错易混专练 类型2 二次根式有关的化简 类型3 二次根式的实际应用 类型1 二次根式的运算 学科网（北京）股份有限公司 $