第8章 8.1 平方根-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 要点提示 L.平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的平方根或二次方 根.求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 2.平方根的性质：正数有两个平方根，它们五为相反数.正数a的正的平方根记为“√a”,读作“根号a”,另 个负的平方根记为“一√a”,读作“负根号a”,其中a叫作被开方数.0的平方根是0，负数没有平方根。 O1固基础念 。。。 7.求下列各式中x的值： (1)16.x2+2=11.(2)2(2x-1)2-50=0. 知识点1平方根的定义及开平方 1.“的平方根是士号”用数学式子可表示为 3 4 42 A.9 B.g=3 C± = 42 9 3 D.- W93 知识点2平方根的性质 2.(2025赣州于都期中)9的平方根是( 8.(2025邹城期中)若一个正数a的两个平方 A.3 B.±√5C.3 D.±3 根分别是2x+1和x一4，则这个正数a是 () 3.已知8.622=74.3044，(-8.62)2=74.3044， A.9 B.-9 C.3 D.-3 若x2=74.3044,则x的值为 9.若x+1是16的一个平方根，则x的值是 4.(一号的平方根是 5.如果一个数的平方根是士11，那么这个数是 10.已知一个正数的两个平方根分别是a十3 和2a-15,求： 6.求下列各数的平方根： (1)这个正数. (1)1.69. (2(-2. (2)√a+12的平方根. 20 数学七年级RJ版 02提能力之 17.(教材变式)【实践与探究】 11.如果一个自然数的平方根是士a(a≥0)，那 (1)计算：w√32= 么与这个自然数相邻的下一个自然数的平 √0.52= 方根为 ( √02= A.±(a+1) B.±a+1 √(-6)2= C.±√a2+1 D.士√a+1 12.若a是（一4）2的平方根，b的一个平方根 -》- 是2，则a十b的值为 ( 【归纳与应用】 A.8 B.0 (2)观察(1)中的等式，根据其中的规律，猜 C.8或0 D.4或-4 想√a与a的关系是 13.分类讨论思想现定义一种运算，其规则为 (3)利用你得到的规律，计算： a￥b=a2一b2.根据此规则，如果x满足 ①若x<2,则√(x-2)2= (x十2)*5=0，那么x的值为 ②W(3.14-π)2 14.若(x2+y2-5)2=64,则x2十y2的值为 O3拓思维心 18.应用意识若整数x,y,之满足x2十y2= 15.已知正有理数x的平方根为a和a十b. 之2，则称之为x,y的“平方和数” (1)当b=6时，x的值为 例如：32+42=52，则5为3,4的“平方和 (2)若a2x+(a+b)2x=8,则x的值为 数” 请你根据以上材料回答下列问题： 16.求下列各式中x的值： (1)数3,4的另一个“平方和数”为 (1)25.x2-16=0. (2)5还可以是数 的“平方和数” (3)若数x+1与y-2的“平方和数”是0， 则x= ，y= (4)已知13是数1-x与12的“平方和 (2)(x+1)2-49=0. 数”，求x的值 (3)(2x-1)2=81. 下册第八章 7 第2课时算术平方根 要点提示 1.算术平方根：(1)正数a有两个平方根，其中正的平方根√a叫作a的算木平方根，正数a的算术平方根用a 来表示：(2)0的算术平方根是0，即6=0. 2.用计算器求正数的算术平方根的操作程序：首先按√口键，接着输入被开方数，最后按三键显示其算术平 方根的值 O1固基础 4;⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确 的有 ( 知识点1算术平方根的定义及求法 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1.(2025抚顺东洲区期中)“9的算术平方根是 7.若|a-1|+(b-3)2=0,则a+b的值的算 3”,用数学式子表达为 ( 术平方根是 A.√9=士3 B.√9=3 知识点3算术平方根的估算及用计算器求 C.士9=土3 D.-√9=-3 算术平方根 2.(2025宜春万载月考)16的算术平方根是 8.(2025天津)估计1+√6的值在 A.1和2之间 B.2和3之间 A.2 B.4 C.±4 D.±2 C.3和4之间 D.4和5之间 3.算术平方根等于它本身的数是 9.(教材变式)已知a为整数，且√I3<a< 4.若m是√16的算术平方根，则m十3= √17，则a的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 5.求下列各数的算术平方根： 10.用计算器计算下列各式并观察： 49(4)234 1 (1)121.(2)1.44.(3 1 (1)√8100= (2)√81= (3)√0.81= (4)√0.0081= 通过上述各式，你能发现什么规律？用自己 的语言叙述出来： 知识点2算术平方根的非负性 P易错点 误将求，√ā的算术平方根求成 6.下列说法：①任何数都有算术平方根；②一 a的算术平方根而出错 个数的算术平方根一定是正数；③a2的算术 16 11. 的算术平方根是 W81 平方根是a;④（π一4）2的算术平方根是π一 2 数学七年级RJ版 02提能力之 洒车能不能在走道上正常通行？ 12.若15一n是整数，则正整数n的值不可能 为 ( A.6 B.9 C.11 D.14 13.已知a一4与b+3都是非负数，且它们的 算术平方根互为相反数，则(a十b)225的 值为 () A.1 B.-1C.0 14.已知2a一7的算术平方根是5,2a+b一1 的算术平方根是4，则一√a+b的值为 O3拓思维 15.用计算器计算：√92+19，√992+199， 18.纠错题王老师给同学们布置了这样一道 √9992+1999，√9999+19999，….观察 习题：一个数的算术平方根为2m一6，它的 平方根为士(m一2)，求这个数. 所得结果，总结规律，应用得到的规律计算 小张的解法如下： 99…92十199…9的值为 N2025个9 依题意可知，2m-6是m-2或一(m-2)两个 2025个9 16.古代数学文化直田七亩半（一亩=240平 数中的一个.第一步 当2m一6=m一2时，解得m=4,第二步 方步)，忘了长和短.记得立契时，长阔争一 .2m-6=2×4-6=2,第三步 半.今问俊明公，此法如何算.意思是有一 .这个数为4； 块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽 当2m一6=-(m-2)时，解得m= 3,第四步 各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽 8 是长的一半.现在请你帮他算出它的长为 ∴.2m-6=2X 36=、2 ，第五步 步. 这个数为 4 9 17.(2025赣州南康区期中)如下图，一块长方形 空地面积为2800m2,其长、宽之比为7：4. 踪上所运，这个教为4或行 第六步 (1)求这块长方形空 空地 王老师看到后，说小张的解法是错误的.你 地的周长 花坛1 花坛2 知道小张错在哪里吗？请你予以改正. (2)若在空地内修建 “T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空 地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛 2为长方形，其长、宽之比为2：1)，花坛的 总面积为2166m2,宽度为2.5m的农药喷 23 下册第八章3.82.5°或202.5°【解析】分两种情况讨论： ①当OF在∠BOC之间时，如图① :直线AB,CD相交于点O,∠BOD =75°， .∠AOC=∠BOD=75°. :OE平分∠AOC, .∠AOE=∠EOC=37.5. 图① ∠AOF=120°， .∴.∠EOF=∠AOF-∠AOE=82.5°， 即a=82.5°； ②当OF在∠BOD之间时，如图②. 同理可得∠AOE=37.5°. :∠A0F=120°， ∴.∠EOF=∠AOF+∠AOE= 图② 157.5°， .a=360°-∠EOF=202.5°. 综上所述，a是82.5°或202.5°. 4.C5.C6.60°7.15° 8.解：(1)BD⊥AC,EF⊥AC, .∠BDC=∠EFC=90°， .BD∥EF, .∠HFE=∠DHF=∠1=23°， ∴.∠GFC=∠HFE+∠EFC=23°+90°=113°. (2)证明：：∠1=∠2=23°， 由(1)知∠HFE=∠1， ∴.∠2=∠HFE, .GF∥BC. :∠AMD=∠AGF, .DM∥GF, .∴.DM∥BC 9.B 10.解：5两直线平行，内错角相等6两直线平行，同 位角相等角的平分线的定义等角的补角相等 11.解：(1)证明：.DE∥AC, .∠C=∠DEB N∠AFD=∠DEB, ∴.∠C=∠AFD, .∴.DF∥BC. (2)DE∥AC, ∴.∠C+∠DEC=180. ∠C=36°， .∠DEC=180°-36°=144°. .EG平分∠DEC, i∠DBG=∠DBC=72 DE∥AC, .∠EGC=∠DEG=72°. 12.C13.24 14.解：(1)由题意知，大长方形的面积为ab,横向阴影部 分的长方形的面积为2a, 倾斜方向的平行四边形的面积为2b, 上述两个图形的重叠部分是平行四边形，则它的面积 为4. 设空白部分的面积为S,则S=ab一2a一2b+4. (2)当a=8,b=6时， S=ab-2a-2b+4=8X6-2×8-2×6+4=24, ∴大长方形中空白部分的面积为24. 15.解：S1十S2=S3.理由如下： 由平移的性质，得S三角形ABC=S三角形DEF· :S三角形ABC=S1十S2十S三角形MN,S三角形DEF=S3十 S三角形DM,.S1十S2=Sg: 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 1.C2D3.士8624±号5.121 6.解：(1)（土1.3）2=1.69，∴.1.69的平方根是士1.3. 2:(-2)》°-6（±2）°-0 (-2)厂的平方根是士2日 7.解：(1)16x2=9, = (2)2(2x-1)2=50, (2x-1)2=25, 2x-1=5或2x-1=-5, x=3或x=一2. 8.A 9.3或-5【解析】.（士4）2=16，∴.16的平方根是士4， .x+1=士4.①当x+1=4时，解得x=3;②当x+1 =一4时，解得x=一5.故x的值是3或一5. 10.解：(1)根据题意，得a十3十2a一15=0， 解得a=4,∴.a十3=7， .这个正数是7=49. (2)a=4,∴.a+12=4+12=16,∴./a+12=4, .√Q十12的平方根是士√4=士2. 11.C 12.C【解析】，a是(-4)2的平方根，a=士4. ,b的一个平方根是2，.b=4. 下册参考答案 当a=4,b=4时，a+b=8; 当a=-4,b=4时，a+b=0. 综上，a十b的值为8或0. 13.3或-7【解析】由题意可知，(x十2)￥5=(x+2)2 -52. (x十2)￥5=0， .(x+2)2-52=0, .(x+2)2=25,即x十2=5或x+2=-5, .x的值为3或一7. 14.13【解析】令m=x+y2,则原式可化为(m-5) =64, 两边开平方，得m-5=士8，解得m=13或-3. x2+y2≥0，x2+y2=13. 15.(1)9(2)2【解析】1)：正有理数x的平方根是a 和a十b,∴.a十a+b=0..b=6,.2a十6=0，∴.a= -3,.x=(-3)2=9. (2)正有理数x的平方根是a和a十b, ∴.(a+b)2=x,a2=x. a2x+(a+b)2x=8, x2+x2=8,x2=4. x>0,.x=2 16.解：(1)25.x2=16, 0 = (2)(x+1)2=49, x+1=7或x十1=-7， x=6或x=-8. (3)2x-1=9或2x-1=-9, x=5或x=一4. 17.解：130.506月 (2)√a=la (3)①2-x②π-3.14 18.解：(1)-5 (2)(答案不唯一)一3一4 (3)-12 (4)由题意可得(1-x)2+122=132,∴.(1-x)2=132 -122, ∴.(1-x)2=25,.1-x=±5，解得x=-4或x=6. 第2课时算术平方根 1.B2.A3.0和1 4.5【解析】m是√16的算术平方根，√16=4， .m=√4=2，m+3=5. 5.解：(1)：11=121，∴121的算术平方根是11. 数学七年级RJ版 (2)1.22=1.44,.1.44的算术平方根是1.2. ③：（片》-侣8的算术平方根是台 ,34_196/14)2_196 (4)281=81,（9）=8 2的算术平方根是 6.C 7.2【解析】.a-1+(b-3)2=0, .a-1=0,b-3=0 ,.a=1,b=3, .√a十b=√+3=2， 即a十b的值的算术平方根是2. 8.C 9.D【解析】9<13<16，.3<√13<4. .16<17<25,.4<17<5 a为整数，∴.a=4. 10.(1)90(2)9(3)0.9(4)0.09一个数缩小为原 来的0，则它的算术平方根缩小为原米的。 1号【解桥（台》广-√=：（号） 号“音的算术平方根是号故√的算术平方根 4 4 16 2 是 12.B 13.A【解析】由题意，得√a一4+√b+3=0,∴.a-4 =0,b十3=0，解得a=4,b=-3,∴.(a+b)225=1. 14.-19【解析】：√2a-7=5,∴.2a-7=25, 解得a=16. √/2a+b-T=4,.2a+b-1=16, 解得b=-15. 故-√a+b的值为-4+(-15)=-19. 15.10225【解析】.√92+19=10'， /992+199=100=102, /9992+1999=1000=103, /99992+19999=10000=10, ∴./99…92+199…9=102025. N2025个9 2025个9 16.60【解析】设此长方形田的宽为x步，则长为2x 步.根据题意，得x·2x=240×7.5,解得x=30(负 值已舍去)，∴.它的长为60步. 17.解：(1)长方形的长和宽之比为7：4， 设长为7xm,宽为4xm. 由题意，得7x·4x=2800, .x2=100, ∴.x=10(负值已舍去)， .长为70m,宽为40m, ∴.长方形的周长为2×(70+40)=220(m). (2)设花坛2的宽为am,则花坛1的边长和花坛2的 长均为2am. 由题意，得(2a)2+2a·a=2166, ∴.6a2=2166, ∴.a=19(负值已舍去)， .花坛1边长为38m,花坛2长为38m,宽为19m. .40-38=2<2.5, .农药喷洒车不能在走道上正常通行 18.解：小张的解法在第五步开始出错.改正如下：，2m 一6是某个数的算术平方根，∴2m-6为非负数.当 m=时，2m一6=一号<0，m=号不符合题意，合 8 去.综上所述，这个数为4. 8.2立方根 1.A2.C3.C 4.24【解析】设4阶魔方的棱长为acm,则a3=512. 83=512, ∴.a=8, “每个小立方体的棱长为号=2cm, .每个小立方体的表面积为2×2×6=24(cm). 364」 5.解：(1)原式=-3×√一27+(-10)+9 =-3×(-)-10+9 =3. ②原式-g-活+品 =-3-1+1 244 6.解：(1)x3=0.216, x=0.6. (2)x2=-125' 8 (3)(x-2)3=-27, x-2=-3, x=-1. (4)(2x-1)3=8. 2x-1=2, 3 x2 7.1.28.B 9.7或1【解析】（一√9）2=9,9的平方根是士3，.x =±3. 64的立方根是y,.y=4. 当x=3时，x十y=7: 当x=-3时，x十y=1. 综上所述，x十y的值是7或1. 10.D11.D12.C13.2 14.7【解析】125=5,8=2， .大正方体和小正方体的棱长分别为5cm和2cm. 故小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 7 cm. 15.解：(1)上述结论成立.证明如下： a十b=0,∴.b=-a, .b3=(-a)3=-a3, ∴.a3+b3=a3-a3=0, 即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互 为相反数”是成立的. (2)由题意，得1-2x与3x-5互为相反数，即1一2x +3x-5=0, 解得x=4, .1-√元=1-2=-1. 16.解：(1)根据题意知 x=4=16,x+y=25, 则x=16,y=9. (2),x=16,y=9, ∴.3x-2y-3=3×16-2×9-3=27. 又：27的立方根为27=3， .3x一2y一3的立方根为3. 17.解：(1)士32(2)-1 (3)2(x-2)4-162=0, .2(x-2)4=162 ∴.(x-2)4=81, .x-2=士3， .x-2=3或x-2=-3, .x=5或x=-1. 【解析】(2)：/a-2+1b-31=0,a-2≥0,1b-3 ≥0， ∴./a-2=0,1b-31=0, ∴.a-2=0,b-3=0, ∴.a=2,b=3, .a-b=2-3=-1. ./a-b=9-1=-1. 下册参考答案