第7章 7.3 定义、命题、定理-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

7.3定义、命题、定理 要点提示 1.定义：通过精确的语言对数学中的对象、性质等进行清晰、明确的描述称为定义 2.命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.命题由题设和结论两部分组成.命题通常 可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论. 3.真命题与假命题：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题.被判断为错误（或假）的命题叫作假命题 4.定理与证明：经过推理证实得到的真命题叫作定理.它也可以作为继续推理的依据.一个命题的正确性需要 经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基 本事实、定理等 O1固基础 知识点(3命题的真假 知识点1定义 4.(2025南昌期中)要说明命题“若a>b,则|a >b”是假命题，能举的一个反例是() 1.下列描述是定义的是 A.a⊥b A.a=3,b=2 B.a=4,b=-1 B.不相交的两条线段是平行线 C.a=1,b=0 D.a=1,b=-2 C.用“=”连接而成的式子叫作等式 5.有下列命题：①两直线平行，同位角相等； D.同角的补角相等 ②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁 知识点2命题 内角互补；⑤两点确定一条直线.其中真命 2.下列句子是命题的是 ( 题是 (填序号). A.画∠AOB=45° 知识点4定理与证明 B.小于直角的角是锐角吗 6.(2025赣州期末)完成下面的证明，并在括号 C.连接CD 中填写推理理由. D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三 如右图，已知∠A=∠F,4 角形 ∠C=∠D,求证：BDCE. 3.指出下列命题的题设和结论： 证明：因为∠A=∠F, (1)如果a是有理数，那么a2≥0. (2)如果∠A=30°，∠B=30°，那么∠A 所以AC∥DF( =∠B. ), (3)两直线平行，内错角相等. 所以∠C+∠ =180°( 因为∠C=∠D, 所以∠D+∠ =180°( 所以BD∥CE( ). 下册第七章 之O2提能力之 11.(教材变式)判断下列命题是真命题还是假 命题.若是假命题，请举出一个反例. 7.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平 (1)两个锐角的和是锐角. 行”的题设是 (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与 A.垂直 这条直线平行 B.两条直线 (3)如果a2=b2,那么a=b. C.同一条直线 D.两条直线垂直于同一条直线 8.下列说法不正确的是 A.命题是判断一件事情的语句 B.要判断一个命题是假命题，只要举出一个 反例即可 C.基本事实正确与否必须用推理的方法来 。 O3拓思维 证实 D.定理正确与否必须用推理的方法来证实 12.(2025赣州于都期中)下图是一种躺椅的简 9.下列命题是真命题的有 化结构示意图.扶手AB与底座CD都平 ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直 行于地面EF,前支架OE与后支架OF分 线；②两条平行线被第三条直线所截，同位 别与CD交于点G和点D,AB与DM交 角的平分线互相平行；③P为直线1外 于点N,∠AOE=∠BNM. 点，A,B,C为直线l上的三点，PA=2cm, (1)求证：OE∥DM PB=3cm,PC=4cm,那么点P到直线l (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶 的距离是2cm;④∠a与∠β的两边分别平 手AB与靠背DM的夹角∠ANM度数. 行，∠a比∠3的3倍少40°，则∠a=125°. A.1个B.2个C.3个D.4个 10.开放题如下图，在三角形ABC中，点D 4 、/B 在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA 的内部.给出下列信息：①AB∥CE;②CE 平分∠DCA;③∠A=∠B.请选择其中的 两条信息作为条件，剩下的一条信息作为 结论组成一个命题.试判断这个命题是否 正确，并说明理由. 14 数学七年级RJ版.∠ABT=∠TBK,∴.∠BTKA =∠TBK BP∥CE, ∴.∠BTK=∠KCE,∠TBK 图① =∠KEC, ∠KCE=∠KEC. ∠KCE+∠DCE=180°， .∠KEC+∠DCE=180°， 即∠BEC+∠DCE=180°. (2)延长AB交FQ于点M,延长DC交BE于点N, 如图②. :射线BP,CQ分别平分 ∠ABE,∠DCE, .∠ABP=∠EBP,∠DCQ =∠ECQ. 图② 设∠ABP=∠EBP=a,∠DCQ= ∠ECQ=B, ∴.∠FBM=∠ABP=a,∠MBE=180°-2a,∠NCE =180°-2B,∠FCN=∠DCQ=B. AB∥DC, .∠CNE=∠MBE=180°-2a,∠FMB=∠FCN =B, .∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-(a+B), ∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-(180°-23) -(180°-2a)=2(a+B)-180°， .∠E+180°=2(180°-∠F), 即∠E+2∠F=180° 7.3定义、命题、定理 1.C2.D 3.解：(1)题设：a是有理数.结论：a2≥0. (2)题设：∠A=30°，∠B=30°.结论：∠A=∠B. (3)题设：两条直线平行.结论：内错角相等. 4.D 5.①②③⑤【解析】①两直线平行，同位角相等，故该命 题是真命题，符合题意； ②直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，简 称“垂线段最短”，故该命题是真命题，符合题意； ③同角的余角相等，故该命题是真命题，符合题意： ④同旁内角不一定互补，故该命题不是真命题，不符合 题意； ⑤两点确定一条直线，故该命题是真命题，符合题意 综上所述，真命题是①②③⑤. 6.解：内错角相等，两直线平行CED两直线平行，同 旁内角互补CED等量代换同旁内角互补，两直 线平行 7.D 8.C【解析】A.判断一件事情的语句叫命题，所以A选 项的说法正确，不符合题意： B.要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可， 所以B选项的说法正确，不符合题意； C.基本事实是从实践活动中得到的正确结论，不能用 推理的方法来证实，所以C选项的说法不正确，符合 题意； D.经过推理、论证得到的真命题称为定理，所以D选 项的说法正确，不符合题意. 9.A【解析】①过一点有且只有一条直线垂直于已知直 线的前提是在同一平面内，故①是假命题； ②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互 相平行，故②是真命题； ③P为直线l外一点，A,B,C为直线l上的三点，PA =2cm,PB=3cm,PC=4cm,只能说明点P到直线l 的距离不超过2cm,故③是假命题； ④∠a与∠B的两边分别平行，∠a比∠B的3倍少 40°，说明∠a与∠3相等或互补，则∠a=125°或20°， 故④是假命题. 综上所述，题中是真命题的有1个 10.解：（答案不唯一）选择①②作为条件，③作为结论，该 命题正确.理由如下： 'AB∥CE ∴.∠A=∠ECA,∠B=∠ECD, :CE平分∠DCA, ∴∠ECA=∠ECD, ∴.∠A=∠B. 11.解：(1)假命题.反例：∠1=70°，∠2=80°，但∠1十∠2 =150°，不是锐角（举反例不唯一）. (2)真命题. (3)假命题.反例：a=2,b=-2,有a2=b2,但a≠b (举反例不唯一). 12.解：(1)证明：∠BNM=∠OND,∠AOE=∠BNM, ∴.∠AOE=∠OND, ..OE//DM. (2).AB∥EF,CD∥EF, .AB∥CD, ∴.∠ODC+∠AOD=180°. ∠ODC=30°， .∠A0D=150°. :OE平分∠AOF, ∠B0F=号∠A0D=75 OE∥DM, ∴.∠ODN=∠EOF=75°，∠CDN=∠ODC+ ∠ODN=30°+75°=105°. .AB//CD, .∠ANM=∠CDN=105°. 下册参考答案