第7章 7.2.3 平行线的性质-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

7.2.3平行线的性质 要点提示 平行线的性质：(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成，两直线平行，同位角相等：(2)两条 平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成，两直孩平行，内精角相等；(3)两条平行直线被第三条直线 所截，同旁内角互补.简单说成，两直孩平行，同多内角五补 O1固基础 知识点1平行线的性质1 1.(2025赣州安远月考)如图，直线a,b被直 线c所截，且a∥b.若∠1=45°，则∠2的度 数为 ( A.45 B.115° C.125° D.135° 知识点3平行线的性质3 C 6.(2025泸州)如图，直线a∥%.若∠1=132°， 则∠2= EC D A.42° B.48 C.52 D.58° 第1题图 第2题图 AL—B 2.如图，AB∥ED,∠ECF=70°，则∠BAF的 3 \2 度数为 C D 知识点2平行线的性质2 第6题图 第7题图 3.如图所示的是某机械加工厂加工的一种零 7.如图，AB∥CD.若∠1=65°，∠2=120°，则 件的示意图，其中AB∥CD,DE⊥BC,∠B ∠3的度数为 () =70°，则∠D等于 A.45° B.55° C.60° D.65 A.10°B.20 C.30° D.40° 8.如图，l∥AB,∠A=2∠B.若∠1=108°，则 A B ∠2的度数为 ( B A.36 B.46° C.72 D.82 A 第3题图 第4题图 4.(2025德阳)如图，一条水渠两次转弯后和原 来方向相同.如果第一次拐角∠CAB= 第8题图 第9题图 135°，则第二次拐角∠ABD= ( A.45° B.55°C.105°D.135 ◆易错点理解错平行线的性质而出错 5.如下图，已知AB,CD被直线BC所截，AB 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,有下 ∥CD,BD平分∠ABC,∠D=35°.求 列结论：①∠ACB=∠CAD;②∠ABD= ∠ABE的度数. ∠CDB:③∠BAC=∠DCA;④∠ADB =∠CBD.其中正确的有 (填序号). 下册第七章 之O2提能力之 ……之O3拓思维心 10.(2025南昌一模)一束 A 14.如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段， 平行于主光轴的光线 BP平分∠ABE. 经过凸透镜折射后，其 第10题图 (1)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和 折射光线相聚于一点.如图，光线AB∥ ∠DCE的数量关系， CD,折射光线BE,DE相交于点E.若 (2)如图②，CQ平分∠DCE,直线BP,CQ ∠ABE=170°，∠CDE=162°，则∠BED 交于点F,探究∠E和∠F的数量关系. 的度数为 ( A.32°B.31° C.30°D.281 11.如图，已知AB∥FD,DE和AC分别平分 ∠CDF和∠BAE.若∠DEA=46°， ∠ACD=56°，则∠CDF的度数为() A.22°B.33° C.44° D.55° F D E C 第11题图 第12题图 12.如图，∠B十∠DCB=180°，AC平分 ∠DAB,且∠D:∠DAC=5:2,则∠D 的度数是 13.(2025上饶弋阳期中)如下图，已知AB∥ CD,BC平分∠ABD (I)试说明：∠CBD=∠BCD, (2)若∠BCD=30°，求∠CDB的度数. 4 数学七年级RJ版理由：EF⊥MN,.∠EFN=90°.又∠BFE =48°， .∠BFN=∠EFN-∠BFE=90°-48°=42. 又，∠CGM=42°， ∴.∠CGM=∠BFN, ∴.AB∥CD 11.解：(1)70° (2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下： :∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, ∴.∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°十 90°=180°. (3)分两种情况讨论： ①如图①，当∠ACE=30°时，CE∥AB. ∠ACE=30°，∠ACB=90°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°. 又：∠B=60°， ∴.∠B+∠BCE=60°+120°=180°， ∴.CE∥AB. 图① 图② ②如图②，当∠ACE=150°时，CE∥AB. :∠ACE=150°，∠ACB=90°， .∠BCE=∠ACE-∠ACB=150°-90°=60° 又∠ABC=60, ∴.∠BCE=∠ABC,∴.CE∥AB. 综上所述，当∠ACE等于30°或150°时，CE∥AB. 7.2.3平行线的性质 1.A2.110°3.B4.D 5.解：ABCD,∠D=35°， .∠ABD=∠D=35. BD平分∠ABC, ,∴.∠ABC=2∠ABD=70°， ∴.∠ABE=180°-∠ABC=110° 6.B 7.B【解析】：AB∥CD,∠2=120°， ∴.∠2+∠BAD=180°， ∴.∠BAD=60° ∠1=65， .∠3=180°-∠1-∠BAD=55 8.A【解析】如图，：∠1=108°， ∴.∠3=∠1=108. 数学七年级RJ版 I∥AB, .∠3+∠A=180°，∠2=∠B, ∴∠A=180°-∠3=72. ∠A=2∠B,∴∠B=36°，∴∠2 =36°. 9.②③ 10.D【解析】如图，：AB∥CD∥OE,∠ABE=170°， ∠CDE=162°， .∠ABE+∠1=180°，∠CDE+∠2=180°， ∴.∠1=10°，∠2=18°， ∴.∠BED=∠1+∠2=10°+18°=28°. A D 11.C【解析】过点C作CN∥AB,过点E E作EM∥AB,如图. FD∥AB, C心… ∴.ABCN∥EM∥FD, B ∴∠BAC=∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE= ∠MED,∠MEA=∠BAE, .∠DEA=∠MED+∠MEA=∠FDE+∠BAE, ∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+∠FDC. 又，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE, .∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE=2∠BAC =2∠EAC, ∴.56°=∠BAC+2∠FDE,46°=∠FDE+2∠BAC, .3(∠BAC+∠FDE)=102°， .∠BAC+∠FDE=34°， ∴.∠FDE=(∠BAC+2∠FDE)-(∠BAC+ ∠FDE)=56°-34°=22°， ∴.∠CDF=2∠FDE=44°. 12.100° 13.解：(1).AB∥CD, ∴.∠ABC=∠BCD. BC平分∠ABD, ∴.∠ABC=∠CBD, ∠CBD=∠BCD. (2)∠BCD=30°， .∠CBD=30°，∠ABD=2∠CBD=60. .AB//CD, .∠CDB+∠ABD=180°， .∠CDB=180°-∠ABD=120. 14.解：(1)延长DC交BE于点K,交BP于点T,如 图①. AB∥CD,∴.∠ABT=∠BTK. BP平分∠ABE, .∠ABT=∠TBK,∴.∠BTKA =∠TBK BP∥CE, ∴.∠BTK=∠KCE,∠TBK 图① =∠KEC, ∠KCE=∠KEC. ∠KCE+∠DCE=180°， .∠KEC+∠DCE=180°， 即∠BEC+∠DCE=180°. (2)延长AB交FQ于点M,延长DC交BE于点N, 如图②. :射线BP,CQ分别平分 ∠ABE,∠DCE, .∠ABP=∠EBP,∠DCQ =∠ECQ. 图② 设∠ABP=∠EBP=a,∠DCQ= ∠ECQ=B, ∴.∠FBM=∠ABP=a,∠MBE=180°-2a,∠NCE =180°-2B,∠FCN=∠DCQ=B. AB∥DC, .∠CNE=∠MBE=180°-2a,∠FMB=∠FCN =B, .∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-(a+B), ∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-(180°-23) -(180°-2a)=2(a+B)-180°， .∠E+180°=2(180°-∠F), 即∠E+2∠F=180° 7.3定义、命题、定理 1.C2.D 3.解：(1)题设：a是有理数.结论：a2≥0. (2)题设：∠A=30°，∠B=30°.结论：∠A=∠B. (3)题设：两条直线平行.结论：内错角相等. 4.D 5.①②③⑤【解析】①两直线平行，同位角相等，故该命 题是真命题，符合题意； ②直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，简 称“垂线段最短”，故该命题是真命题，符合题意； ③同角的余角相等，故该命题是真命题，符合题意： ④同旁内角不一定互补，故该命题不是真命题，不符合 题意； ⑤两点确定一条直线，故该命题是真命题，符合题意 综上所述，真命题是①②③⑤. 6.解：内错角相等，两直线平行CED两直线平行，同 旁内角互补CED等量代换同旁内角互补，两直 线平行 7.D 8.C【解析】A.判断一件事情的语句叫命题，所以A选 项的说法正确，不符合题意： B.要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可， 所以B选项的说法正确，不符合题意； C.基本事实是从实践活动中得到的正确结论，不能用 推理的方法来证实，所以C选项的说法不正确，符合 题意； D.经过推理、论证得到的真命题称为定理，所以D选 项的说法正确，不符合题意. 9.A【解析】①过一点有且只有一条直线垂直于已知直 线的前提是在同一平面内，故①是假命题； ②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互 相平行，故②是真命题； ③P为直线l外一点，A,B,C为直线l上的三点，PA =2cm,PB=3cm,PC=4cm,只能说明点P到直线l 的距离不超过2cm,故③是假命题； ④∠a与∠B的两边分别平行，∠a比∠B的3倍少 40°，说明∠a与∠3相等或互补，则∠a=125°或20°， 故④是假命题. 综上所述，题中是真命题的有1个 10.解：（答案不唯一）选择①②作为条件，③作为结论，该 命题正确.理由如下： 'AB∥CE ∴.∠A=∠ECA,∠B=∠ECD, :CE平分∠DCA, ∴∠ECA=∠ECD, ∴.∠A=∠B. 11.解：(1)假命题.反例：∠1=70°，∠2=80°，但∠1十∠2 =150°，不是锐角（举反例不唯一）. (2)真命题. (3)假命题.反例：a=2,b=-2,有a2=b2,但a≠b (举反例不唯一). 12.解：(1)证明：∠BNM=∠OND,∠AOE=∠BNM, ∴.∠AOE=∠OND, ..OE//DM. (2).AB∥EF,CD∥EF, .AB∥CD, ∴.∠ODC+∠AOD=180°. ∠ODC=30°， .∠A0D=150°. :OE平分∠AOF, ∠B0F=号∠A0D=75 OE∥DM, ∴.∠ODN=∠EOF=75°，∠CDN=∠ODC+ ∠ODN=30°+75°=105°. .AB//CD, .∠ANM=∠CDN=105°. 下册参考答案