5.1数列基础（题型专练）高二数学人教B版选择性必修第三册

5.1数列基础 题型一   数列的概念及辨析 1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：c 2．（24-25高二下·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·月考）（多选）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 题型二   根据规律填写数列中的某项 1．（25-26高二上·湖南永州·月考）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 2．（23-24高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【详解】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）剔除正整数数列1，2，3…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第900项是（   ） A．928 B．929 C．930 D．931 【答案】C 【分析】先找出不大于某个数的完全平方数的个数，再根据新数列与原数列的关系来确定新数列的第900项. 【详解】计算不大于的完全平方数的个数， 设不大于的完全平方数有个，因为，所以（表示小于等于的最大整数）. 确定原数列中去掉完全平方数后新数列的项数与原数列项数的关系 原数列共有项，其中完全平方数有个，那么新数列的项数为. 令， 因为是正整数，设， 则，故， 所以， 由，可得，所以， 由，可得，所以， 所以，， 故选：C. 4．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 【答案】B 【分析】观察数列可得通项公式为，解不等式可得结果. 【详解】根据规律可得该数列的通项公式为， 由得，． ∵，∴该数列中小于1的项有9项． 故选：B. 题型三   数列周期性的应用 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】首先确定数列的周期，再求值. 【详解】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为： 2．（25-26高二上·陕西延安·月考）设数列满足，且，则 ． 【答案】 【分析】根据递推公式，依次求出数列各项，判断数列周期，进而求出结果. 【详解】由题意得，，，，，以此类推， 可知数列周期为，即，所以. 故答案为：. 3．（25-26高二上·全国·期中）已知数列中，，，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先说明数列是以3为周期的周期数列，然后根据数列的周期性即可求解. 【详解】由可得  ①，当时，  ②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列是以3为周期的周期数列，故． 故选：B. 题型四   累加法求通项 1．（23-24高二上·福建厦门·月考）下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星的个数是，由，，，，可推出 【答案】465 【分析】由题得，然后列出等式，相加即可. 【详解】由题得，所以 ，，…， 将上述等式相加得， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 3．（24-25高二下·河南·期末）在数列中，，且，则（   ） A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 【答案】A 【分析】用累加法求解. 【详解】由题意可得：，，，，， 各式相加可得， 因为，所以. 故选：A 4．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，，，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得. 【详解】 所以 累加得 故选：C. 题型五   累乘法求通项 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B. 2．（25-26高二上·全国·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 3．（24-25高二下·广东·期中）设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得，再用累乘法计算. 【详解】令，可得， 所以 ． 故选：C． 4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 题型六   利用与的关系求通项 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设是数列的前项和，，则 ． 【答案】/ 【分析】对取奇数与偶数分类讨论，再利用，即可求得和，再由即可求出结果. 【详解】由可得： 由又可得：， 代入可得：， 所以， 故答案为： 2．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】因为， 当； 所以， 当时，，符合上式，所以， 故选：C. 3．（24-25高二下·河南开封·期末）已知数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而利用基本不等式可求得的值. 【详解】当时，； 当时，根据. 当时，上式也满足， 故 若，则， 但且仅当时取等号. 所以则的最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题设条件可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 题型一   数列的单调性 1．（25-26高二上·广西·月考）已知数列的通项公式为，则 . 【答案】 【分析】先求出的解析式，判断它为正值和负值时的取值范围，并据此将的绝对值符号去掉并化简，再根据通项公式计算即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，当时，， 则 . 故答案为： 2．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】对通项公式变形，结合反比例函数单调性得到数列的单调性可解. 【详解】因为，则 ， 所以当时，有，即有， 当时，有，即有， 故数列在时单调递减；在,时单调递增， 因为，故的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二下·辽宁大连·期中）设数列满足：，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件判断数列的正负，然后比较大小，从而证明. （2）构造数列表达式，然后求其范围，得到不等式. 【详解】（1）证明：由已知条件可知与同号且， 故，， 故． 所以成立． （2）证明：因为，故， 则， 当时， 所以当时，． 且当时，． 所以当时，． 题型二  数列的最大最小项  1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 4．（24-25高二上·广东·期末）记的前项和为，且数列的通项公式为，则当取得最小值时（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据得到的单调性，再结合的正负可得数列的增减性，即可得到时最小. 【详解】由题意可得，则， 所以当时，；当时，， 又因为， 所以当时，； 当时，； 当时，． 因此当时，数列单调递减；当时，单调递增，所以， 故． 故选：C． 题型三   由数列的单调性求参数 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高二上·山东·月考）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，利用累加法求出数列的通项公式，再根据为单调递增数列，可得恒成立，进而可得出答案. 【详解】令，则， 由，，…，， 累加得， 故， 因为为单调递增数列，所以恒成立， 则， ，， 因为，所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是递增数列，所以，不等式恒成立求解参数的取值范围即可. 【详解】由题可知是递增数列，所以，即， 所以，故．因为，所以． 故选：C. 4．（24-25高二下·广西桂林·月考）已知函数若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，结合指数函数单调性及数列单调性列出不等式组求解. 【详解】函数，由数列是递增数列， 得，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 题型一   数列不等式恒成立问题 1．（25-26高二上·河北邢台·月考）在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】设， 则． 易得函数为增函数． 由，，得，， 所以，故的取值范围为． 故答案为： 2．（23-24高二下·湖南·月考）已知数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法得到不等式，最后利用二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】数列中，得 当时，得 累加得， 可得，则， 当时符合上式，则， 所以， 对于任意的，不等式， 即恒成立，∴， 设， 可得，即有，解得或， 则实数t的取值范围是． 故答案为： 【点睛】易错点睛： 不等式转化中的遗漏：在转化不等式时，要小心考虑每个步骤，特别是在累加时，避免出现漏项. 解不等式时的根的判断：在解二次不等式时，必须仔细判断根的符号，确保的取值范围正确. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知正项数列满足,,则的通项公式为 .若对任意的,关于的不等式恒成立,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将等式两边取对数可得，利用累乘法计算求得；对于不等式 ，分类讨论n为偶、奇数，结合一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】将等式两边取对数， 得，得 ，得， 则当时，， 得，故，所以， 又满足上式，故. 因为对任意的，关于n的不等式 恒成立， 所以当n为偶数时，， 得或恒成立，则或； 当n为奇数时，， 得或恒成立，则或. 故t的取值范围为. 故答案为：； 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 5．（24-25高二下·四川南充·期末）若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【详解】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 题型二   数列新定义 1．（25-26高二上·山东烟台·期末）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据斐波那契数列的性质，结合周期性逐一判断选项. 【详解】由题可知斐波那契数列定义为：， 令，即除以4的余数. 计算的周期性： 前几项为： 观察得是以为周期的周期数列， 一个周期为：，和. A选项：计算（余数为），则，A正确； B选项：利用斐波那契数列性质可知， 求和：， 因为，所以 取：，B错误； C选项：，个完整周期的和， 余下项为， ，，C正确； D选项：先证明恒等式，当时，， 则平方和： ， 取：，D正确. 故选：ACD 2．（25-26高二上·广西贺州·月考）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为．例如时，操作可知，则 ． 【答案】17 【分析】根据题意探索，，，与之间的关系，即可求解. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为：. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，，…，是，，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中存在唯一使得，满足性质的数列，，…，的个数为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可. 【详解】设为符合题意的的个数， 考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的： 第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况； 第二种为1到不符合性质排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况； 故 设 易知 ， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）对一个元数列，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数，将前个数在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后个数（也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列进行一次洗牌，先选择，然后数列可以变成，或者变成．特别地，如果取（其中表示不超过的最大整数），且将放到的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”． (1)请写出数列经过两次完美洗牌后得到的新的数列； (2)对任意给定的正整数，数列能否经过有限次完美洗牌后变成？并说明理由； (3)至少需要多少次洗牌才能将变成？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)11 【分析】（1）按照完美洗牌规则可得； （2）由特殊到一般，先猜想结论，再利用数学归纳法证明即可； （3）定义最长递减子数列，借助数列项数的变化规律可得. 【详解】（1）由题意，数列为，则，则， 故每一次洗牌应将放到的后面，即放到后面，放到后面， 故数列经过一次完美洗牌后为，再经过一次完美洗牌后为. 故经过两次完美洗牌后得到的新的数列为. （2）当时，数列为，经过次完美洗牌后变成数列. 当时，数列为. 由可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 当时，数列为. 由 可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 猜想：数列可以经过次完美洗牌后变成. 下面用数学归纳法证明： （i）由上可知，当时， 数列经过次完美洗牌后变成. （ii）假设当时，数列可以经过次完美洗牌后变成， 当时，数列为. 则由完美洗洗牌规则可知，前次洗牌中，每次洗牌前数列均分前后两组，每组张牌，且两组数中与奇偶性相同， 故经过每次完美洗牌后，前组偶数均放在后一组相应位置的偶数后， 同理，奇数也均放在后一组相应位置的奇数后， 故偶数的排列与奇数的排列互不影响. 由归纳假设可知，原数列中的偶数项数列与奇数项数列，经过次完美洗牌后分别变成与， 再经过第次完美洗牌，偶数项插入相应奇数项后， 则数列可变成. 由（i）（ii）可知，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. 综上，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. （3）， 由（2）可知，数列经过次完美洗牌可变成数列， 由数列可看成张空白牌加2025张牌共张牌， 即数列进行完美洗牌， 故经过次洗牌可将数列变成，即变成数列. 下面证明至少需要次洗牌才能将变成. 首先给出定义：对于给定递减数列， 若在数列中删除若干项，不改变剩余项的顺序得到的子数列仍为递减数列， 则称该所得数列为递减子数列，所有递减子数列中项数最多的称为最长递减子数列. 记数列经过次洗牌的最长递减子数列项数为，. 由题意一次洗牌操作，先要任选一个正整数， 记为第次洗牌选择的正整数的取值， 则，， 记经过次洗牌的最长递减子数列为， 则第次洗牌后，数列的最长递减子数列的项数， 故，， 故，即经过任意次洗牌，最长递减子数列项至少还有2项， 即不可能变成数列. 综上可知，至少需要次洗牌才能将变成. 题型三   数列的实际应用 1．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推关系通过逐项求解，即可求出结果. 【详解】由题意可知，，， ，，． 所以解下个环所需的最少移动次数为． 故选：A． 2．（25-26高二上·福建漳州·期中）（多选）被誉为“闽南第一山”的风景文化名胜——漳州平和灵通山，主峰海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称．灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜒直上几乎呈70度倾斜，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可． 【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，… 设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确； B：，故B正确； C：结合A分析知：，故C错误； D：，， 可得，故D正确． 故选：ABD． 3．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】设，根据三角形相似，列出等式，化简得到，由累乘法可得，进而求出结果. 【详解】，设， 在梯形中，，所以， 则，所以，即， 所以， 故． 故答案为：. 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）. 如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成（简称为步“雹程”）. “冰雹猜想”可表示为数列满足：（为正整数），.问：当时，试确定使得需要 步“雹程”；若，则所有可能的取值所构成的集合为 . 【答案】 9 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果； 由，根据递推公式，逐步计算，即可得出所求集合. 【详解】当时，即，由， 可得，，，，，， ，，，因此使得需要步雹程； 由题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得或； 当时，由，解得或； 当时，由，解得； 当时，由，解得， 综上，所有可能的取值为， 因此所有可能的取值所构成的集合为. 故答案为：；. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.1数列基础 题型一数列的概念及辨析 题型二根据规律填写数列中的某项 题型三数列周期性的应用 基础达标题 题型四累加法求通项 题型五累乘法求通项 题型六利用a_n与S_n的关系求通项 数列基础 题型一 数列的单调性 能力提升题 题型二数列的最大最小项 题型三由数列的单调性求参数 题型一数列不等式恒成立问题 拓展培优题 题型二数列新定义 题型三数列的实际应用 基础达标题 题型一数列的概念及辨析 1.(25-26高二上陕西榆林期中)下列结论中，正确的是() A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列的通项公式的形式是唯一的 C.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数 D.数列13,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式 2.(24-25高二下.吉林四平期中)以下三个结论中正确的个数为() ①1,1,1,1，·是数列；②cos0,sin1,tan2不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A.0 B.1 C.2 D.3 3.(25-26高二上·江苏南通·月考)（多选）下列有关数列的说法正确的是() 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.数列-2024,0,4与数列4,0，-2024是同一个数列 B.数列{an}的通项公式为an=n(n-1),则110是该数列的第11项 c.在数列1,2，V5,2,5,,第8个数是22 D.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an=2n+1 题型二根据规律填写数列中的某项 1.(25-26高二上湖南永州月考)数列导，，言，是，异，…的第7项是() A.器 B. c.器 D. 2.（23-24高二上·吉林长春期中)分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传 统科学众多领城的难题提供了全新的思路.下图是按照0·，的分形规律生长成的一个树形图，则第11 行的实心圆点的个数是() 第1行 …第2行 第3行 …第4行 .第5行 …第6行 A.89 B.55 C.34 D.44 3.(24-25高二下辽宁大连期中)剔除正整数数列1,2,3.中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个 新数列的第900项是() A.928 B.929 C.930 D.931 4.(24-25高二上·甘肃定西期末)已知数列0,1g2,1g3,1g4,,根据该数列的规律，该数列中小于1 的项有() A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 题型三数列周期性的应用 1.(25-26高二上陕西西安月考)已知在数列{aa}中，a1=2,a2m1+1=an1(n≥2，n∈N),则 a2025= 2.（25-26高二上陕西延安月考)设数列{8n}满足41=会，且a1=支，则2025= 3.(25-26高二上全国.期中)已知数列{an}中，a1=2,a2=4,an十a+1十a+2=2,则a2026=（) A.4 B.2 C.-2 D.-4 题型四累加法求通项 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.（(23-24高二上·福建厦门月考)下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星 的个数是f(n),由f(1)=1,f(2)=3,f(3)=6,f(4)=10,可推出f(30)= ◆ ◆◆◆◆ 2.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨月考)已知数列{an}满足a1=1,ana+1=2”am+1,则an=（) 2 A.2+1 B.2 c D.2 3.(24-25高二下河南期末)在数列{an}中，a1=1023,且an=a1十1g是(n≥2)，则a10o0=（) A.1026 B.1029 C.1032 D.1035 4.(23-24高二上河南省直辖县级单位期末)已知数列{an}满足a2=0,a2叶1=a2m十责， a2H2=a2zH1(neN),则数列{an}的第2024项为() A.8器 B.8器 c. 1012 D.0指 题型五累乘法求通项 1.(25-26高二上黑龙江哈尔滨期末)在数列{an}中，a1=3,3a+1=an·9”,则a5=() A.316 B.317 C.318 D.319 2.(25-26高二上全国期末)已知数列{an}中，a1=4,（n+1)a+1=（n+2)an,则an= 3.(24-25高二下广东期中)设直线y-1=(n+1)(x-1)与x轴的交点的横坐标为xn,则 X1·X2X3'X4·X2024=（） A.8器 B.202阿 C.2025 D.2026 4.(22-23高二上.重庆九龙坡期末)已知a1=2,an=n(a+1an),则数列{an}的通项公式是an=（） A.n B.n+1 C.2n .(尝)” 题型六利用a,与Sn的关系求通项 1.(25-26高二上黑龙江大庆期末)设Sn是数列{am}的前n项和，Sn+(-1)an=京-克，neN,则 S2027= 2.(25-26高二上河北邯郸月考)记数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=十十+…+贵(n∈N),则n=() A. B.六 C.点赤 D.京十赤 3.(24-25高二下河南开封期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2*1-2,若p+9=10(p,9∈N), 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则ap十ag的最小值为】 4.(25-26高二上吉林长春期末)已知数列{am}满足受+是+…+=2n(n∈N), bn=入(an-1)-n2+4n,若数列{bn}为单调递增数列，则的取值范围为 B 能力提升题 题型一数列的单调性 1.(2526商二上广西月考)已知数列[n}的通项公式为3=n+员，则ak+1k= 2.(2425高二上河南驻马店月考)已知数列(n}的通项公式为an=器，则an的最小值为（) A.2 B.昌 c D.1 3.(23-24高二上湖北武汉.期末)函数f(x)的定义域为[1，+∞)，数列{an}满足an=f(n),则“函数 f(x)为减函数"是“数列{an}为递减数列"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高二下辽宁大连-期中)设数列[an}满足：a1=1,aH1=an十忌，neN (1)求证：an<a+1 2)求证：V4n-3≤an≤V8n-7. 题型二数列的最大最小项 1.(25-26高二上江苏苏州期中)已知数列{an}的通项公式为an=器，n∈N,则数列{an}的最小项 是() A.第1项 B.第6项 C.第7项 D.第13项 2.(25-26高二上江苏连云港月考)数列{an}的通项公式为an=n2+kn,若数列{an}仅第7项最小， 则实数k的取值范围是() A.(-∞，-14) B.（-0∞，-15] c.(-15,-13) D.[-15,-13] 3.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考)数列{an}的通项公式为an=n(n+1),{bn}满足： b=n()”,则数列bn}的最大项是第()项 A.6 B.7 C.8 D.9 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高二上广东期末)记{cn}的前n项和为Tn且数列{cn}的通项公式为cn=2-20n+25,则 当T取得最小值时n=() A.4 B.5 C.6 D.7 题型三由数列的单调性求参数 (a-1)n+4,n<6 1.(25-26高二上·天津滨海新.月考)已知数列{an}满足：an= 3a5n≥6 (neN,a>0), 数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围为() A.（,1) B.[1) c.(1) D.[31) 2.(25-26高二上山东月考)在正项数列{an}中，对任意m,neN,+n=am十am+m+n+入-2， 1=1,若{”}为单调递增数列，则入的取值范围是() A.(0,+∞)B.[1,+0) C.(-1,+∞) D.(0,1] 3.(24-25高二下湖北省直辖县级单位期中)已知数列{an}的通项公式为n=兽，若{an}是递增数列， 则k的取值范围为() A.(-∞，1)B.(1,+∞) c.（-∞，支) D.(3,+o) .(24-25高二下广西桂林月考)已知函数x=3a及4，xS a7x>8 若数列{an}满足an=f(n(neN) 且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是() A.(罗，3 B.[9,3) c.(2,3 D.[2,3) 拓展培优题 题型一数列不等式恒成立问题 1.(25-26高二上河北邢台月考)在数列{an}和{bn}中，an=0n,bn=24n,且不等式an十bn>入对 任意n∈N+恒成立，则的取值范围为 2.(23-24高二下.湖南月考)已知数列{an}的前n项和为Sna1=1,anaH1=（n+1)ana+1,对于任 意的a∈[-3,3]，n∈N,不等式2Sn<t2+at恒成立，则实数t的取值范围为 3.(25-26高二上湖南衡阳月考)已知正项数列{an}满足+1=1，a1=方，则{an}的通项公式为 an= 若对任意的n∈N+,关于n的不等式[t-(-1)”an][t+(-1)”a#3]>0恒成立，则t的取 值范围为 4.(2526高二上甘肃兰州-期中)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3十…+nan=21,设bn=m1z 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,Sn为数列{bn}的前n项和若Sn<t对任意n∈N恒成立，则实数t的最小值为() A.4 B.3 C.2 D.1 5.(24-25高二下.四川南充期末)若数列{n}满足卖+去十点十…十=，且不等式 4n入≤4nan+37对一切正整数n恒成立，则7的最大值() A.6 B.7 C.8 D.9 题型二数列新定义 1.(25-26高二上山东烟台期末)（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这 样的一列数：1,1,2,3,5,8，，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等 于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以 4所得余数按原顺序构成的数列记为{b},则下列四个结论正确结论的序号是() A.b2026=3 B.a1+a2+a3+·+a2026=a2027-1 C.b1+b2+b3+…+b2026=2703D.a+a3+a+…+a026=a2026a2027 2.(25-26高二上广西贺州月考)2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题， 用数学语言描述为：将数字1,2,3，·，n(n≥2)按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时 针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为n·例如n=5时， 操作可知a5=3,则a40= 3.(24-25高二下.湖北武汉期中)己知a1,a2,,an是1,2，，n(n≥2，n∈N)满足下列性质T的 一个排列，性质T:排列a1,a2,,an中存在唯一k∈{1,2，wn-1}使得a;>a+1,满足性质T的数列a1 ,a2,,ag的个数为 4.(24-25高二下浙江杭州期中)对一个n元数列a1a2···,an,规定一次洗牌操作为：先任选一个正整 数kE{1,2,···,n},将前k个数a1a2··,ak在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后n-k个数 ak+1ak+2···,an(也保持相对顺序不变)中得到一个新的数列.例如：对数列1,2,3,4,5进行一次洗牌， 先选择k=3,然后数列可以变成1,4,5,2,3，或者变成4,1,2,5,3.特别地，如果取k=[号]（其中[x]表 示不超过x的最大整数)，且将a;(1≤i≤k)放到a+的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”. (1)请写出数列2,5,4,8经过两次完美洗牌后得到的新的数列； (2)对任意给定的正整数n,数列2”2”-1,2”-2，···，2,1能否经过有限次完美洗牌后变成 1,2,3,···,2”-1,2”?并说明理由； (3)至少需要多少次洗牌才能将2025,2024，···，1变成1,2，···，2025？ 题型三数列的实际应用 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26高二上·甘肃平凉·月考)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成 串，以解开为胜.在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N)个圆环所需的最少移动次数，若a1=1, 2am-1,n=2k,kE N' 且an= (2a1+2,n=2k-1keN，则解下7个圆环所需的最少移动次数为() A.64 B.31 C.16 D.127 2.(25-26高二上·福建漳州期中)（多选）被誉为“闽南第一山"的风景文化名胜一一漳州平和灵通山，主峰 海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称.灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜓直上几乎呈70度倾 斜，十分惊险.某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为a,则(） A.a6=13 B.3ant1=an1+an+3 c.2a4=51 D.∑0254=2025a2026-1 3.(25-26高二上河南商丘·月考)如图，已知∠A0B=90°，且边OA,OB有无限长，按下面操作：在边 OA,OB上分别取OA1=0B1=2,沿A1B1剪去一个Rt△OA1B1,再在边A1A,B1B上分别取 A1A2=B1B2,沿A2B2剪去一个梯形A1B1B2A2,依次操作，在边AnA,BnB上分别取AnA+1=BnBH1 沿A+1Bt1剪去一个梯形AnB nB+1A#1,使得每一个梯形AnBnB+1A+1的面积都等于Rt△OAB1的面 积的一半，则AA+1= 一（用含n的式子表示). A3A2 A O 6 B3 B 4.(24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶 数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数 学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则得出 6→310→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”).“冰雹猜想”可表示 ,an=2k(k∈N+) 为数列an}满足：a1=m(m为正整数)，ar1= (3am+1,an=2k+1(keN),间：当m=13时， 试确定使得an=1需要 步“雹程”；若a7=1,则m所有可能的取值所构成的集合为 7/7 5.1数列基础 题型一   数列的概念及辨析 1．C 2．B 3．BC 题型二   根据规律填写数列中的某项 1．C 2．B 3．C 4．B 题型三   数列周期性的应用 1．-1 2． 3．B 题型四   累加法求通项 1．465 2．D 3．A 4．C 题型五   累乘法求通项 1．B 2． 3．C 4．C 题型六   利用与的关系求通项 1．/ 2．C 3． 4． 题型一   数列的单调性 1． 2．B 3．A 4．【答案】（1）证明：由已知条件可知与同号且， 故，， 故． 所以成立． （2）证明：因为，故， 则， 当时， 所以当时，． 且当时，． 所以当时，． 题型二  数列的最大最小项  1．B 2．C 3．B 4．C 题型三   由数列的单调性求参数 1．A 2．A 3．C 4．C 题型一   数列不等式恒成立问题 1． 2． 3． 4．B 5．A 题型二   数列新定义 1．ACD 2．17 3． 4．【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)11 【分析】（1）按照完美洗牌规则可得； （2）由特殊到一般，先猜想结论，再利用数学归纳法证明即可； （3）定义最长递减子数列，借助数列项数的变化规律可得. 【详解】（1）由题意，数列为，则，则， 故每一次洗牌应将放到的后面，即放到后面，放到后面， 故数列经过一次完美洗牌后为，再经过一次完美洗牌后为. 故经过两次完美洗牌后得到的新的数列为. （2）当时，数列为，经过次完美洗牌后变成数列. 当时，数列为. 由可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 当时，数列为. 由 可知， 数列经过次完美洗牌后变成. 猜想：数列可以经过次完美洗牌后变成. 下面用数学归纳法证明： （i）由上可知，当时， 数列经过次完美洗牌后变成. （ii）假设当时，数列可以经过次完美洗牌后变成， 当时，数列为. 则由完美洗洗牌规则可知，前次洗牌中，每次洗牌前数列均分前后两组，每组张牌，且两组数中与奇偶性相同， 故经过每次完美洗牌后，前组偶数均放在后一组相应位置的偶数后， 同理，奇数也均放在后一组相应位置的奇数后， 故偶数的排列与奇数的排列互不影响. 由归纳假设可知，原数列中的偶数项数列与奇数项数列，经过次完美洗牌后分别变成与， 再经过第次完美洗牌，偶数项插入相应奇数项后， 则数列可变成. 由（i）（ii）可知，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. 综上，对任意给定的正整数， 数列可以经过次完美洗牌后变成. （3）， 由（2）可知，数列经过次完美洗牌可变成数列， 由数列可看成张空白牌加2025张牌共张牌， 即数列进行完美洗牌， 故经过次洗牌可将数列变成，即变成数列. 下面证明至少需要次洗牌才能将变成. 首先给出定义：对于给定递减数列， 若在数列中删除若干项，不改变剩余项的顺序得到的子数列仍为递减数列， 则称该所得数列为递减子数列，所有递减子数列中项数最多的称为最长递减子数列. 记数列经过次洗牌的最长递减子数列项数为，. 由题意一次洗牌操作，先要任选一个正整数， 记为第次洗牌选择的正整数的取值， 则，， 记经过次洗牌的最长递减子数列为， 则第次洗牌后，数列的最长递减子数列的项数， 故，， 故，即经过任意次洗牌，最长递减子数列项至少还有2项， 即不可能变成数列. 综上可知，至少需要次洗牌才能将变成. 题型三   数列的实际应用 1．A 2．ABD 3． 4．9 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $