第3章 概率初步 3 等可能事件的概率-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 要点提示 1.等可能事件的概率：一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A)=n m 2.游戏的公平性：只要双方获胜的概率相等，也就是说双方获胜的可能性一样大，就认为游戏对双方是公平的。 O1固基础 。。。。。。。。 进一步.这个游戏 (填“公平” 或“不公平”) 知识点简单随机事件概率的计算 6.（2025上海)小明与小杰在玩卡牌游戏，已知 1.（2025齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌 小明手里有1,2,3,4四张卡牌，小杰手里有 鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成 2,4,6,8四张卡牌，小明从小杰手里抽出一 功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是 张卡牌.如果抽到小杰手中四张卡牌中的任 意一张概率都相等，那么小明抽出的这张卡 A. B吉 c号 1 D.4 牌中，和自己手中某一张卡牌上的数字一样 2.(2025深圳)某校进行《九章算术》《周髀算 的概率为 经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本 7.新定义题如果一个三位数中任意两个相邻 阅读活动.小聪从中任取一本，恰好抽到《九 数字之差的绝对值不超过1，那么称该三位 章算术》的概率为 数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组 A c 0.3 成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳 3.在某市组织的物理实验操作考试中，考试所 数”的概率为 用的实验室共有24个测试位，分成6组，同 8.一个不透明的布袋中有15个球，它们除颜 组4个测试位各有1道相同的试题，各组的 色外完全相同，其中白球有x个，绿球有2x 试题不同，分别标记为A,B,C,D,E,F.考 个，其余为黑球.小红从中任意摸出1个球， 生从中随机抽取1道试题，则某个考生抽到 若为绿球，则小红获胜；若为黑球，则小文 试题A的概率为 获胜。 A号 c 1 0.2a (1)求小红获胜的概率（用含x的式子表示）. 4.一个路口的红绿灯时长为红灯30s、黄灯 (2)当x为何值时，小红和小文获胜的概率 5s、绿灯40s.当某人到达该路口时，看见红 一样大？ 灯的概率是 5.小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游 戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑 方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前 下册第三章 O2提能力之 轮设置的数字可能是 (2)请你帮小张同学列举出所有可能的密 9.有以下6个项目：太空“冰雪”实验、液桥演 码，并求密码数能被3整除的概率。 示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间 科学设施介绍与展示、天地互动环节.若随 机选取1个项目写观后感，则恰好选到实验 项目的概率是 ( A号 c 10.一个不透明袋子中装有4个白球、3个红 球、2个绿球和1个黑球，每个球除颜色外 都相同.从中随机摸出1个球，则下列事件 3 发生的概率为O的是 O3拓思维)之 A.摸出白球 B.摸出红球 14.一个不透明的布袋中，装有红、黄、蓝三种 C.摸出绿球 D.摸出黑球 颜色的球（除颜色外其余都相同），其中有 11.跨语文学科（2025赣州石城月考)在学习 红球2个、蓝球1个和黄球若干个.已知从 了《卖油翁》这篇课文后，语文老师分别将 “表演课本剧”“分析人物特征”“围绕一个 中任意模出1个球是红球的概率为号 字做思维导图”这三项作业分别写在三张 (1)布袋中黄球的个数为 完全相同的卡片上，然后将这三张卡片放 (2)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3 入一个不透明的盒子中，让每位同学从中 分，摸到蓝球得2分（每次摸完后放回摇 随机抽取一张卡片（抽完之后放回），并完 匀).乙同学在摸球游戏中，第一次随机摸 成卡片上对应的作业.小颖抽到“分析人物 到1个红球，第二次随机摸到1个蓝球.若 随机再摸一次，求乙同学三次摸球得分之 特征”的概率是 和不低于10分的概率. 12.一个不透明的书箱中有4本《海底两万里》 和2本《钢铁是怎样炼成的》，从书箱中任 意拿出n本书，其中拿出的书中至少有1 本《海底两万里》是一个必然事件，则的 最小值是 13.某密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个 数字：0,1,2，…9.小黄同学是9月份中旬 (中旬为某月中的11日一20日)出生，用生 日“月份十日期”设置密码为9××，小张同 学要破解其密码. (1)第一个转轮设置的数字是9，第二个转 40 数学七年级BS版 第2课时与面积等有关的概率 要点提示 与面积有关的概率的计算：有时候概率的大小与面积的大小有关，事件A发生的概率等于事件A可能出 现的结果组成的图形的面积除以所有可能出现的结果组成的图形的面积，即P(A)= 事件A可能出现的结果组成的图形的面积 所有可能出现的结果组成的图形的面积 O1固基础念 A.找到宝藏的概率跟所选择区域的形状 有关 知识点1与面积有关的概率的计算 B.在区域③不可能找到宝藏 1.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并 随机地停留在某块方砖上，则小球停留在涂 C.在区域①一定能找到宝藏 色区域的概率是 ( ) D.在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 B. 5 C. 3 4.有下列四个游戏盘，若扔一粒黄豆落在涂色 D. 4 部分，则可中奖.小明希望中奖，他应选择的 游戏盘是 第1题图 第2题图 2.在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试 验，则针头扎在阴影区域内的概率为 知识点2与转盘有关的概率 3.(2025乐平期末)在综合与实践课上，同学们 5.转动下列各转盘，指针指向红色区域的概率 想运用数学知识设计一个寻宝游戏.同学们 最大的是 ) 将一张正方形纸片按照图①所示的方式折 个红 叠，然后打开，得到如图②所示的图形.同学 白 们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割 A B 成如图③所示的七块区域并进行编号，随后 将一个“宝藏”埋藏在某个区域内. P易错点 误认为概率大小与转盘大小 有关而致错 6.转动如图所示的转盘甲和转盘乙，如果 图① 想让指针停在阴影区域，两个转盘成功 ①③ 2 的概率相比 ) -⑦ 6 图② 图③ A.转盘甲更大 第3题图 B.转盘乙更大 (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦ C.两个一样大 转盘甲转盘乙 的周长为 第6题图 D.无法确定哪个更大 (2)下列说法正确的是 下册第三章 02提能力 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概 率（精确到0.1），并算出草地的大致面积. 7.跨语文学科《卖油翁》中写道：“乃取一葫芦 置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱 孔人，而钱不湿.”由此可见卖油翁的技艺之 高超.若铜钱直径为4cm,中间有边长为 1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油 (油滴大小忽略不计)，则油滴恰好落入孔中 的概率是 () A号 B.1 8.2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在 月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开 O3拓思维 启了人类探测器首次在月球背面的样品采 10.右图所示的是计算机中 1 集任务.小亮同学是航天知识爱好者，他利 的一种益智小游戏“扫 用边长为16cm的正方形制作出如图①所 雷”的画面，在一个9×9 示的七巧板，并拼出如图②所示的火箭模 的正方形雷区中，随机埋 型.在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔 藏着10颗地雷，每个小方 射出的小红点落在该模型的任意位置，则它 格内最多只能埋藏1颗地雷.小红在游戏开 落在涂色部分的概率为 始时首先随机地，点击一个方格，该方格中出 现了数字“3”，其外围区域（图中阴影部分） 记为A区域，表示A区域中有3颗地雷；接 着，小红又点击了左上角第一个方格，出现 ① 了数字“1”，其外围区域（图中阴影部分）记 ③7⑦ 图① 图② 为B区域；A区域与B区域以及出现数字 第8题图 “1”和“3”的两格以外的部分记为C区域.小 9.【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下 红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那 图阴影图形). 么她应点击A,B,C中的哪个区域？ 【实践方案设计】在草地的外围画了一个长 5m、宽4m的长方形，有四个小组的同学分 别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点 进行了记录.记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草 112 92 177 121 地内的次数 石子落在草地外 28 24 43 33 长方形内的次数 数学七年级BS版(2)这个游戏的公平性和摸出球后放回摇匀时的 一样 (3)这个游戏对双方公平.理由：因为袋子中白球和 黑球各有5个，摸出球后放回摇匀，所以每人摸出黑 球的可能性都一样，所以这个游戏对双方是公平的. 2频率的稳定性 1.A 2.解：(1)180.55 (2)折线统计图如图所示. 频率 0.80 0.75 0.70 0.65 88 0.50 0.45 0.40 0.35 20406080100120140160试验 次数 (3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在 0.55附近浮动。 3.0.224.A 5.A【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习， 用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可 知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正 确，选项B错误；小星定点投篮10次，不一定投中4 次，故选项C错误；小星定点投篮4次，不一定投中1 次，故选项D错误. 6.C【解析】根据表格可知，摸球的次数逐渐增加后，摸 到红球的频率逐渐接近0.3，所以从这个盒子里随机 摸出1个球，它是红球的概率大约是0.3. 7.解：(1)随机 (2)3 8.解：(1)0.10.9 (2)9000 (3)(25000+10000×2)÷9000=5(元)， 所以每千克柑橘定价为5元比较合适. 3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 1.D2c3.C4号5.公平6号 7.行【解析】用1,23这三个数字随机组成一个无重 复数字的三位数，可能的结果有123,132,213,231， 312,321,共6种等可能的结果，只有123,321是“平稳 数，所以恰好是平稳数”的概率为后- 8.解：(1)P(小红获胜)=5 2x 15-3x (2)P(小文获胜)= 15 15-3x=2 15 15,解得x=3. 故当x为3时，小红和小文获胜的概率一样大」 9.C 10.B【解析】因为一个不透明袋子中装有4个白球、3 个红球、2个绿球和1个黑球，共有10个球， 所以从中随机摸出1个球，摸出白球的概率为0 4 2 2 ，摸出红球的概率为0，摸出绿球的概率为 1 1 ，摸出黑球的概率为 12.3【解析】由题意可知，当3≤n≤6时，拿出的书中 至少有1本《海底两万里》是一个必然事件，则n的 最小值是3. 13.解：(1)1或2 (2)所有可能的密码为911,912,913,914,915,916， 917,918,919,920,共10种等可能的结果，其中能被 3整除的有912,915,918，所以密码数能被3整除的 魔率为品 14.解：(1)1 (2)由题意，得乙同学第三次摸球得分应不低于10一 5-2=3(分)， 所以要摸到黄球或者红球， 所以P(乙同学三次摸球得分之和不低于10分)= 1+2-3 4-4 第2课时与面积等有关的概率 1.A2.43.(13(2)D4.C5.D 6.C【解析】因为转盘甲与转盘乙中阴影部分的圆心角 一样大，所以指针停在阴影区域的概率一样大.本题 易误认为概率大小与转盘大小有关而致错. 7.D 8.i6 【解析】因为边长为16cm的正方形可分成16个 图①中与④完全相同的等腰直角三角形，图①中③可 分成2个与④完全相同的等腰直角三角形，所以激光 笔射出的小红点落在涂色部分的概率为6： 3 9.解：分别求出四个小组石子落在草地内的次数与石子 落在长方形内的次数比. 112 一组：12+28=0.80： 92 二组：92十24≈0.79： 177 三组：177十43≈0.80： 121 四组：121十33≈0.79. 故估计石子落在草地内的概率为0.8， 所以草地的大致面积为0.8×4×5=16(m). 下册参考答案 13 3 1 10.解：根据题意，可知P(A)=8,P(B)=3,P(C)= 63 68-34 因为管>写>品 所以P(A)>P(B)>P(C), 所以小红应点击C区域. 本章小结 1.A2.A3.C4.A5.0.60 6.解：(1)0.98 (2)因为8000÷0.98≈8163.3（块）， 所以估计工厂至少需要生产8164块电池才能完成这 批订单. 7.D8.D 9.C【解析】由图可知，在每个岔路口都有两种可能，且 可能性相等，最终共有H,G,E,F四个出口， 所以该车辆最终从H口驶出的概率为4： 10g 11.解：两人获胜的概率一样大.理由如下： 因为小明投中黑色区域得2分，投中灰色区域减1 分，投中白色区域不得分， 所以P(小明得分)=2X8-8=1 64 8 因为小颖投中黑色区域减1分，投中灰色区域得2 分，投中白色区域不得分， 所以P(小颖得分)=2X8-8=1 64 8 即两人获胜的概率一样大， 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 1.D【解析】可以组成的三角形有△ACD,△ACE, △ADE,△BCD,△BCE,△BDE,△CAB,△DAB, △EAB,共9个 2.(1)△ABD(2)∠ADE,∠AED,∠DAE AE (3)△ACE,△ACD,△ACB(4)6 3.20° 4.解：因为直线AB∥CD,∠FEC=62°， 所以∠GFE=∠FEC=62°. 因为EF平分∠CEG, 所以∠GEF=∠CEF=62°， 所以∠EGB=180°-∠GEF-∠GFE=56°， 5.D6.D 7.B【解析】因为三角形三个内角度数之比为1：3：4， 4 所以三个内角中最大内角是180×1十3+4一90， 所以该三角形是直角三角形， 数学七年级BS版 8.C【解析】由三角形内角和等于180°，得∠A十∠B+ ∠C=180. A.∠A=∠B=2∠C,则2∠C+2∠C+∠C=180°， 解得∠C=36°，则∠A=∠B=72°，故不是直角三角 形，不合题意： B.∠C=∠B=30°，则∠A=120°，故不是直角三角 形，不合题意； C.∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°，解得∠C=90°， 故是直角三角形，符合题意； D.∠A-∠B=90°，则∠A=90°+∠B>90°，故不是 直角三角形，不合题意。 9.C【解析】因为AB∥L,CD∥l, 所以AB∥CD, 所以∠ABC=∠BCD=60. 因为∠BAC=54°， 所以∠ACB=180°-60°-54°=66°. 因为AM∥CB, 所以∠MAC=∠ACB=66°. 10.4【解析】因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°， ∠BAD+∠CAD=90°. 因为AD⊥BC,所以∠B+∠BAD=90°，∠CAD+ ∠C=90°.故互余的角共有4对. 11.解：(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： 因为∠A=25°，∠B=80°， 所以∠C=180°-25°-80°=75°=25°×3， 所以△ABC是“三倍角三角形”. (2)因为∠A=24°， 所以∠B+∠C=156. 设最小内角的度数为x ①当24°=3.x时，x=8°，符合题意； ②当x=24°时，另外两个角分别为24°×3=72°，156 一72°=84°，符合题意； ③当x十3x=156°时，x=39°，24<39，不符合题意. 故△ABC中最小内角的度数为8°或24°. 12.解：(1)∠A+∠D=∠B+∠C (2)如图，连接AD,则∠BAD十∠B +∠C+∠ADC=360 根据“8字形”数量关系可知，∠E十 ∠F=∠EDA+∠FAD, 所以∠BAF+∠B+∠C+∠CDEB +∠E+∠F=360°. 第2课时三角形的三边关系 1.D2.B 3.A【解析】因为OP=OQ=30cm, 所以(30-30)cm<PQ<(30+30)cm,即0cm<PQ <60cm, 所以A选项符合题意. 4.27【解析】分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为5，底边长为11时， 因为5十5=10,10<11，所以不能组成三角形，不符合 题意；