第3章 概率初步 2 频率的稳定性-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

2频率的稳定性 要点提示 1.频率：在”次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m称为事件A发生的领率 2.频率的稳定性：一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质 称为频牵的稳定性. 3.概率：把刻画一个事件发生的可能性大小的数值称为这个事件发生的概率.一般地，在大量重复的试验中，我 们可以用事件发生的频率来估计事件发生的概率. 4.概率的范围：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率为0与1之间的一 个常数 O1固基础之 (3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率 的变化有什么规律？ 知识点1频率及其稳定性 1.为丰富学生的课外生活，某学校开展游园活 动.小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次， 套中6次，则小丽套圈套中的频率是( 知识点2用频率估计概率 A号 c D. 3.任意抛掷一只纸杯进行重复试验，获得如下 数据： 2.有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻 抛掷 杯口朝上 杯口朝下 横卧的 的是一个“兵”字，它的反面是平的.将它从 总次数 的频率 的频率 频率 一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面 100 0.21 0.38 0.41 朝上，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的 200 0.22 0.38 0.40 两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验 500 0.22 0.38 0.40 数据如下表（频率结果精确到0.01）： 根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯 试验次数 20 40 60 80100120140160 时杯口朝上的概率是 “兵”字面朝 14 0 38 42 52 66 7888 上的次数 易错点 对频率估计概率的意义理解 “兵”字面朝 b0.560.55 上的频率 0.700.450.630.590.52 不清 (1)a= ,b= 4.某射击运动员在同一条件下的射击成 (2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上 绩记录如下： 的频率的折线统计图， 射击次数 20 80 100 200 400 1000 0.801频率 射中九环 18 68 82 168 332 830 0.75 以上次数 0.70 0.65 射中九环 0.90 0.850.820.840.830.83 0.60 以上频率 0.55 0.50 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击 0.45 0.40 1次时“射中九环以上”的概率是( 0.35 0 20406080100120140160试验 A.0.83B.0.85C.0.86D.0.90 次数 下册第三 章 02提能力心 事件（填“必然”“随机”或“不 可能”) 5.(2025抚州南城期中)小星同学通过大量重 (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具， 复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概 在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆 率为0.4.下列说法正确的是 ) 规”三种奖品.经过多次试验后得到数据 A.小星定点投篮1次，不一定能投中 如下： B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中4次 试验次数 24 40 80 160 D.小星定点投篮4次，一定投中1次 获得“钢笔”的次数 10 16 28 60 6.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面 的球共60个，这些球除颜色外其余完全相 数为 同.某数学学习小组从盒子里随机摸出1个 03拓思维 球记下颜色，再把球放回盒子中摇匀.多次 8.应用意识某水果公司以2元/kg的成本购 重复上述过程，得到的统计数据如下表： 进10000kg柑橘，在销售过程中销售人员 摸球的 100 300 500 800 10002000 次数n 随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘 摸到红 制成如下图所示的统计图。 33 96 155 244 298 602 球的次数m ↑柑橘损坏率 摸到红 0.2 球的频率 0.3300.3200.3100.3050.2980.301 n 8 根据上表，从这个盒子里随机摸出1个球， 0 100200300400500柑橘的 它是红球的概率大约是 ( 质量/kg A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 (1)估计柑橘损坏的概率为 ,柑 7.民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起 橘完好的概率为 它，都能唤起我们对美好童年的回忆.此玩 (2)估计这批柑橘完好的质量为 kg. 具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸 (3)如果该公司希望销售这些柑橘能够获得 片分成八个面积相等的部分，在每个部分分 25000元的利润，那么在销售（已去掉损坏的 别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西 柑橘)时，每千克柑橘定价为多少元比较合适？ 北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一 个作为游戏的结果.图①是小浩制作的一个 “东南西北”玩具，展开后如图②所示. 零食 文具 文具 图书 图书 图① 图② (1)随机挑选出的一面写有“文具”是 38 数学七年级BS版(2)这个游戏的公平性和摸出球后放回摇匀时的 一样 (3)这个游戏对双方公平.理由：因为袋子中白球和 黑球各有5个，摸出球后放回摇匀，所以每人摸出黑 球的可能性都一样，所以这个游戏对双方是公平的. 2频率的稳定性 1.A 2.解：(1)180.55 (2)折线统计图如图所示. 频率 0.80 0.75 0.70 0.65 88 0.50 0.45 0.40 0.35 20406080100120140160试验 次数 (3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在 0.55附近浮动。 3.0.224.A 5.A【解析】小星同学通过大量重复的定点投篮练习， 用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可 知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正 确，选项B错误；小星定点投篮10次，不一定投中4 次，故选项C错误；小星定点投篮4次，不一定投中1 次，故选项D错误. 6.C【解析】根据表格可知，摸球的次数逐渐增加后，摸 到红球的频率逐渐接近0.3，所以从这个盒子里随机 摸出1个球，它是红球的概率大约是0.3. 7.解：(1)随机 (2)3 8.解：(1)0.10.9 (2)9000 (3)(25000+10000×2)÷9000=5(元)， 所以每千克柑橘定价为5元比较合适. 3等可能事件的概率 第1课时简单随机事件概率的计算 1.D2c3.C4号5.公平6号 7.行【解析】用1,23这三个数字随机组成一个无重 复数字的三位数，可能的结果有123,132,213,231， 312,321,共6种等可能的结果，只有123,321是“平稳 数，所以恰好是平稳数”的概率为后- 8.解：(1)P(小红获胜)=5 2x 15-3x (2)P(小文获胜)= 15 15-3x=2 15 15,解得x=3. 故当x为3时，小红和小文获胜的概率一样大」 9.C 10.B【解析】因为一个不透明袋子中装有4个白球、3 个红球、2个绿球和1个黑球，共有10个球， 所以从中随机摸出1个球，摸出白球的概率为0 4 2 2 ，摸出红球的概率为0，摸出绿球的概率为 1 1 ，摸出黑球的概率为 12.3【解析】由题意可知，当3≤n≤6时，拿出的书中 至少有1本《海底两万里》是一个必然事件，则n的 最小值是3. 13.解：(1)1或2 (2)所有可能的密码为911,912,913,914,915,916， 917,918,919,920,共10种等可能的结果，其中能被 3整除的有912,915,918，所以密码数能被3整除的 魔率为品 14.解：(1)1 (2)由题意，得乙同学第三次摸球得分应不低于10一 5-2=3(分)， 所以要摸到黄球或者红球， 所以P(乙同学三次摸球得分之和不低于10分)= 1+2-3 4-4 第2课时与面积等有关的概率 1.A2.43.(13(2)D4.C5.D 6.C【解析】因为转盘甲与转盘乙中阴影部分的圆心角 一样大，所以指针停在阴影区域的概率一样大.本题 易误认为概率大小与转盘大小有关而致错. 7.D 8.i6 【解析】因为边长为16cm的正方形可分成16个 图①中与④完全相同的等腰直角三角形，图①中③可 分成2个与④完全相同的等腰直角三角形，所以激光 笔射出的小红点落在涂色部分的概率为6： 3 9.解：分别求出四个小组石子落在草地内的次数与石子 落在长方形内的次数比. 112 一组：12+28=0.80： 92 二组：92十24≈0.79： 177 三组：177十43≈0.80： 121 四组：121十33≈0.79. 故估计石子落在草地内的概率为0.8， 所以草地的大致面积为0.8×4×5=16(m). 下册参考答案 13