第2章 相交线与平行线 2 探索直线平行的条件-【支点·同步系列】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE. 因为∠AOC+∠AOG=90°，∠COE+∠AOC+ ∠AOG+∠G0F=180°， 所以∠COE+∠GOF=90°， 所以∠AOG=∠GOF, 所以OG是∠AOF的平分线. 13.解：(1)130°(2)120 (3)∠AOD+∠BOC=180°.理由如下：由图①得 ∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOC=∠COD一 ∠BOD,∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOD+ ∠BOC=90°+∠BOD+90°-∠BOD=180°. 14.告【解析】根据垂线段最短可知，当BP1AC时， BP最短. 1 1 因为S三角EAC=2BC·AD=2AC·BP, 所以名X6X4-名X5BP,所以B即-号 故BP最短时，其值为号 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 1.D2.A3.C 4.BDEF同位角相等，两直线平行 5.AOB60°AOC EFC同位角相等，两直线平行 6.解：CB∥EO. 理由：因为OA平分∠DOE,所以∠AOE=∠AOD. 因为∠AOD=∠BOC,所以∠AOE=∠BOC. 又因为∠B=∠BOC,所以∠AOE=∠B, 所以CB∥EO 7.D 8.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD 9.C 10.B【解析】同位角∠CAB=∠NCD,故AB∥CD,A 选项推理正确，不符合题意；由∠DCG=∠BAC不 能得到AB∥CD,所以B选项推理错误，符合题意；由 ∠MAE=∠ACG,∠DCG=∠BAE,可得同位角 ∠BAN=∠DCN,故AB∥CD,C选项推理正确，不 符合题意；同位角∠MAB=∠ACD,故AB∥CD,D 选项推理正确，不符合题意， 11.85°12.相同 13.解：(1)如图，直线PT即为所求. (2)如图，直线MN即为所求 (3)∥ 14.解：CE∥DF.理由如下： 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 所以∠DBC=∠ABC,∠BCE=∠ACB. 因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠BCE 又因为∠DBF=∠F,所以∠BCE=∠F, 所以CE∥DF」 15.解：因为MN,PQ分别是∠AME和∠DPF的平 分线， 所以∠AME=2∠EMN,∠DPF=2∠FPQ. 又因为∠EMN=∠FPQ,所以∠AME=∠DPF 因为∠BMP=∠AME, 所以∠BMP=∠DPF,所以AB∥CD 第2课时利用内错角、同旁内角 判定两条直线平行 1.B 2.∠FAD ∠FAC ∠EAB ∠CAB ∠DAB ∠ACB 3.A4.C5.同旁内角互补，两直线平行 6.D7.B8.C 9.C【解析】A.当∠1=∠2时，由“内错角相等，两直线 平行”可得a∥b,故本选项不符合题意；B.当∠1= ∠2，∠3=∠4时，易知∠1=∠2=∠3=∠4=90°，由 “内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线 平行”可得a∥b,故本选项不符合题意：C.当∠1=∠2 时，不能得出a仍，故本选项符合题意；D.当∠1十∠2 =180时，由“同旁内角互补，两直线平行”可得a∥b, 故本选项不符合题意. 10.③④⑤【解析】①∠1=∠2，不能判断AB∥CD,不 合题意；②因为∠3=∠4，所以BE∥FG,不合题意； ③因为∠1+∠3+∠BGC=180°，所以AB∥CD,符 合题意；④因为∠1十∠3=∠2+∠4，所以AB∥ CD,符合题意；⑤因为∠E=∠F,所以BE∥FG,所 以∠3=∠4.因为∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠2+ ∠4，所以AB∥CD,符合题意. 11.∠ABD=∠D(答案不唯一) 12.②③【解析】①若∠DAC=∠ACB,则AD∥BC,不 符合题意；②若∠BAC=∠ACD,则AB∥CD,符合 题意；③若∠BAD+∠ADC=180°，则AB∥CD,符 合题意；④若∠BAD+∠ABC=180°，则AD∥BC, 不符合题意.综上所述，能使直线AB∥CD成立的是 ②③. 13.解：(1)证明：因为OC平分∠AOF,OD平分∠BOF, 所以∠COF=∠AOF,∠D0F= 2∠BOF, 所以∠COD=∠COF+∠DOF-名（∠AOF+ ∠BOF)=90°， 所以OC⊥OD. (2)因为∠COD=90°， 所以∠1+∠BOD=90°. 因为∠D与∠1互余， 所以∠1+∠D=90°， 所以∠D=∠BOD, 所以ED∥AB. 下册参考答案 14.解：(1)70 (2)当∠ACE=30°或150时，CE∥AB.理由如下： ①如图①，当∠ACE=30°时. 因为∠ACE=∠A=30°，所以AB∥CE: 图① 图② ②如图②，当∠ACE=150°时. 因为∠ACE=150°，∠ACB=90°， 所以∠BCE=∠ACE-∠ACB=150°-90°=60°， 所以∠BCE=∠B, 所以AB∥CE. 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.D2.B3.B4.80° 5.132°【解析】因为AB⊥AE,所以∠BAE=90°.又因 为∠CAE=42°，所以∠BAC=∠BAE-∠CAE=90° -42°=48°. 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠C=180°，所以∠C= 180°-∠BAC=180°-48°=132°. 6.解：因为DB∥FG∥EC, 所以∠DAG=∠D=58°，∠CAG=∠C=34°， 所以∠CAD=∠DAG+∠CAG=92°. 因为AP平分∠CAD, 1 所以∠PAC=2∠CAD=46, 所以∠PAG=∠PAC-∠CAG=46°-34°=12°. 7.解：由题意可知，ABCD,DMOE 因为∠ODC=30°，所以∠BOD=∠ODC=30°. 因为∠EOF=90°，所以∠AOE=180°-∠EOF ∠B0OD=180°-90°-30°=60. 因为DM∥OE,所以∠AND=∠AOE=60°，所以 ∠ANM=180°-∠AND=120° 8.D 9.B【解析】如图，过点O向左作射线OE,使OE∥AB, 则OE∥AB∥CD, +D 所以∠BOE=∠ABO=a,∠COE=∠DCO=B, 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=a+B. 10.12° 11.∠2+∠3一∠1=180°【解析】如图，过点E作EF∥ AB. 因为AB∥CD, 所以EF∥AB∥CD, 所以∠5=∠6，∠1=∠4， 10 数学七年级BS版 所以∠2=∠4+∠5=∠1+∠6， 3 所以∠6=∠2-∠1. 6 因为∠3+∠6=180°， 所以∠2+∠3-∠1=180° 12.(1)80°(2)∠AFG-∠EGD=60 【解析】(1)因为AB∥CD,所以∠1=∠EGD. 因为∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠1=2∠2， 所以∠2+60°+2∠2=180°， 解得∠2=40°， 所以∠1=2∠2=80°. (2)因为AB∥CD, 所以∠AFG=∠FGD, 即∠AFG=60°+∠EGD, 整理得∠AFG-∠EGD=60°. 13.解：(1)因为∠MON=50°，OE平分∠MON, 1 所以∠AOB=∠COB=2∠MON=25°， 因为AB/ON,所以∠AB0O=∠COB=25°. (2)依题意可分以下三种情况讨论： ①当∠BAD=∠ABD=25时，因为∠AOB=25°， 所以∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD= 180°-25°-25°-25°=105°； ②当∠BAD=∠BDA时，因为∠ABD=25°， 所以∠BAD=×180°-250=7.5， 所以∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD= 180°-25°-25°-77.5°=52.5°； ③当∠ADB=∠ABD=25°时，∠BAD=180°- ∠ADB一∠ABD=130°.因为AB∥ON,所以 ∠BAO+∠MON=180°，所以∠BAO=130°，此时 点D,O,C重合，不符合题意. 综上所述，∠OAC的度数为105°或52.5°. 14.180(2n一1)°【解析】如图，过每个角的顶点作AB 的平行线 B i水 ----- 2n C D 由“两直线平行，同旁内角互补”可得每两条平行线 间的两个同旁内角的和均为180°.一共有2n个角， 就会有(2n-1)个180°，所以∠1+∠2+∠3+…+ ∠2n=180(2n-1)°. 第2课时平行线性质与判定的综合 1.B 2.C【解析】因为CD⊥AB,EF⊥AB,所以CD∥EF, 所以∠BFE=∠BCD.又因为∠CDG=∠BFE,所以 ∠CDG=∠BCD,所以DG∥BC,所以∠AGD= ∠ACB,所以甲的说法正确；因为CD⊥AB,EF⊥ AB,所以CD∥EF,所以∠BFE=∠BCD.因为 ∠AGD=∠ACB,所以DG∥BC,所以∠CDG= ∠BCD,所以∠CDG=∠BFE,所以乙的说法正确；2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 要点提示 1.两直线平行的条件1：同位角相等，两直线平行 2.平行线的性质：(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)平行于同一条直线的两条直线平 行，也就是说，如果a∥b,b∥c,那么a∥c O1固基础 解：OA∥DE.理由如下： 因为∠AOB=120°，OC平分∠AOB, 知识点1同位角 1.如图，∠B的同位角是 /A D 所以∠AOC= 2 ∠ 284 A.∠1 B.∠2 3 (角平分线的定义). B C C.∠3 D.∠4 第1题图 又因为∠EFC=60°， 2.(2025深圳期中)下列各选项中，∠1和∠2 所以∠ 是同位角的是 所以OA∥DE( 6.(2025陕西期末)如下图，AB与CD相交于 点O,OA平分∠DOE,∠B=∠BOC.判断 CB与EO的位置关系，并说明理由. 知识点2利用同位角判定两条直线平行 3.(2025桂林模拟)如图，已知∠1=90°，添加 下列条件能使两条铁轨平行的是 ( A.∠2=90° B.∠3=90 C.∠4=90° D.∠5=90° 几1几3 铁轨 64 铁轨中中四 枕木枕木 知识点3平行线的性质 第3题图 第4题图 7.按下列要求画图，只能画一条直线的是 4.如图，由∠D=∠CFE可以判定 ( ,其理由是 P 5.过程补充题如右图，已知 ①过点P画与已知 ②过点P画与已知 ③过点P画与已知 ∠AOB=120°，OC平分D- 直线l垂直的直线 直线相交的直线 直线1平行的直线 第7题图 ∠AOB,交直线DE于点 B A.①②③B.②③C.①② D.①③ F.若∠EFC=60°，则OA与DE平行吗？ 8.如下图，取一张长方形的硬纸板ABCD,将 请说明理由. 硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 补全以下解题过程： 为折痕.把长方形ABFE平放在桌面上，则 下册第二章 另一面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥ 车行驶的方向与最初行驶的方向 AB,请说明理由. (填“相同”或“不同”) 13.如下图，已知三角形ABC,点P在边 BC上 (1)过点P画AB的平行线交AC于点T. (2)过点C画MN∥AB, (3)直线PT MN(填位置关系). 之O2提能力)之…… 9.将一张长方形纸片按图所示的方式对折三 次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是 Je-0-B 14.如下图，∠ABC=∠ACB,BD平分 ∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F. 第9题图 判断CE与DF的位置关系，并说明理由. A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.无法确定 10.如图，FA⊥MN于点A, HC⊥MN于点C,下列推 M- -v 理中错误的是 ( 第10题图 A.由∠CAB=∠NCD,得 AB/∥CD B.由∠DCG=∠BAC,得AB∥CD C.由∠MAE=∠ACG,∠DCG=∠BAE, 得AB/∥CD ……心O3拓思维之… D.由∠MAB=∠ACD,得AB∥CD 15.推理能力如下图，EF与AB,CD分别相 11.(2025杭州期中）如图，若将木条a绕点O 交于点M,P,MN,PQ分别是∠AME和 旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小 ∠DPF的平分线.若∠EMN=∠FPQ,试 角度为 说明：AB∥CD, a 0/0150 30 /65 130 第11题图 第12题图 12.(教材变式)如图，某学员在练车场练习驾 驶小轿车.一开始向左拐弯30°行驶一段距 离后，再向右拐弯30°.经过两次拐弯后，轿 数学七年级BS版 第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 要点提示 1.两直线平行的条件2：内精角相等，两直线平行. 2.两直线平行的条件3：同旁内角互补，两直线平行 3.尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线. O1固基础 D 知识点①内错角、同旁内角 1.如图，直线AB与直线DE 第4题图 第5题图 A 6 相交于点F,C为平面上一 5.如图，若弯形管道ABCD的拐角∠ABC= 4 点，连接BC,CF.下列说 27 120°，∠BCD=60°，则管道AB∥CD.其中 法：①∠1和∠5是同位角； 第1题图 的依据是 ②∠2和∠5是内错角；③∠4和∠6是对顶 知识点3尺规作图：作已知直线的平行线 角；④∠2和∠3是同旁内角；⑤∠5和∠6 6.如图，用尺规作图作出OA∥BF,则作图痕 互为补角.其中正确的有 ) 迹弧MN是 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A.以点B为圆心，OD长为半径作的弧 2.（教材变式)如图，∠B的同位角是 B.以点B为圆心，DC长为半径作的弧 ;∠B的内错角是 C.以点E为圆心，OD长为半径作的弧 ∠B 的同旁内角是 D.以点E为圆心，DC长为半径作的弧 第2题图 第3题图 第6题图 第7题图 知识点2利用内错角、同旁内角判定两条 易错点不会判断“三线八角” 直线平行 7.如图，下列说法错误的是 3.(2025抚州金溪期中)如图，点E在AC的 A.∠A与∠C是同旁内角 延长线上，下列条件能判断ABCD的是 B.∠1与∠3是同位角 ( C.∠2与∠3是内错角 A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=1809 D.∠3与∠B是同旁内角 4.如图，下列说法中，正确的是 ( 02提能力 A.因为∠A+∠D=180°，所以AD∥BC B.因为∠C+∠D=180°，所以ABCD 8.如图所示的是篱笆围栏抽象出几何图形的 C.因为∠A+∠D=180°，所以AB∥CD 一部分，则下列条件中能判断直线11∥12的 D.因为∠A+∠C=180°，所以AB∥CD 是 下册第二章 (1)求证：OC⊥OD. (2)若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB. E 第8题图 A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠2=∠1 D.∠4=∠3 9.在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法 中，不一定能判定纸带a,b两条边互相平行 的是 图① 图②图③ 图④ 第9题图 A.如图①，展开后测得∠1=∠2 B.如图②，展开后测得∠1=∠2，∠3=∠4 ……之O3拓思维 8… C.如图③，测得∠1=∠2 D.如图④，展开后测得∠1+∠2=1809 14.如下图，将一副三角板中两个直角三角形 10.如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3= 的直角顶点C叠放在一起，其中∠A= ∠4；③∠1+∠3+∠BGC=180°；④∠1+ 30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° ∠3=∠2+∠4；⑤∠E=∠F,∠1=∠2. (1)若∠BCD=110°，则∠ACE的度数为 其中能判断ABCD的有 (填序号). (2)按住三角板ABC不动，三角板DCE绕 顶点C转动一周.当∠ACE等于多少度 时，CE∥AB？请说明理由. 第10题图 第11题图 11.如图，若添加一个条件，使得AB∥DE,这 个条件可以是 12.如图，有下列条件：①∠DAC =∠ACB;②∠BAC= ∠ACD;③∠BAD+∠ADC 第12题图 =180°；④∠BAD+∠ABC =180°.其中能使直线AB∥CD成立的是 (填序号). 13.如下图，点O在直线AB上，F是DE上一 点，OC平分∠AOF,OD平分∠BOF. 28 数学七年级BS版