精品解析：陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年九年级上学期期末数学学业水平测试

2025－2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此可得出答案． 【详解】解：几何体的主视图和左视图是长方形，俯视图是三角形可以得到该几何体是三棱柱， 根据主视图中间的虚线和俯视图三角形的方向，可得A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键． 2. 已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的．先由点 求出反比例函数的比例系数 k，得到函数解析式，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 函数解析式为， 即反比例函数上的点满足， 故只有C选项满足． 故选：C． 3. 如图，在中，若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的三角函数定义，解题的关键是明确正弦、余弦、正切的对边、邻边与斜边的对应关系；根据三角函数定义逐一判断各选项的表达式是否正确． 【详解】解：在中，，则 A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：C． 4. 已知，，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比， 故选：C 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 6. 对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（ ）. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率．熟悉用频率估计概率的一般步骤是解题的关键．根据频率的稳定性，当抽取数量足够大时，频率接近概率．随着抽取数量的增大从表格中观察到频率稳定在，故合格率估计为． 【详解】解：∵当抽取数量足够大时，频率接近概率， ∴抽取条数为和时，合格频率均为，频率稳定，接近概率， ∴ 合格概率估计为， ∴条裤子中合格数量为条． 故选：． 7. 如图，，，若，则的长为（ ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握好相关知识是解题关键． 根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式和定义得到且△＝0，即16m2−4×（m−2）×（2m−6）＝0，即可得到的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，． ∴的值为或1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 台灯下钢笔的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键．根据台灯的光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于台灯的光源是由一点发出的，光线是发散的，因此台灯下钢笔的影子是中心投影． 故答案为：中心． 10. 若是关于的反比例函数，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数形式可表示为 （），因此指数部分需为，且系数不为零 【详解】解：∵函数 是关于 的反比例函数， ∴ 且 ． 由 得 ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为 ． 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 12. 在中，都是锐角，若满足，则是_____角三角形． 【答案】钝 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由非负数的性质可知，且，可求出的度数，再根据三角形内角和定理求，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∵ 都是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝． 13. 如图，，若，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 本题考查了相似三角形的性质，掌握知识点是解题关键． 【详解】解：，,， ， ， 解得或（舍去） 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15 计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 试题解析： ===. 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法解方程即可求解． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 【详解】解：配方，得，即． 两边开平方，得， 即， 所以 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60° 【解析】 【分析】由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2， ∴AB＝＝4， ∵tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 18. 如图①是一个几何体，图②是小星所画的这个几何体的三视图，但左视图和俯视图不完整． （1）请帮小星补全三视图； （2）按图中所标出的数据，求出该几何体的底面积． 【答案】（1）见解析； （2）该几何体的底面积为28． 【解析】 【分析】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，理解三视图的定义是解答的关键． （1）根据三视图，看得见的棱画实线即可解决问题； （2）根据俯视图，求出长方形的面积即可． 【小问1详解】 解：补全三视图如图， 【小问2详解】 解：由题意得，俯视图如图， ∴该几何体的底面积为． 19. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的判定定理是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点 ， 四边形是菱形． 20. 如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 22. 某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算以及古典概型中的组合问题．第一问是简单的等可能事件概率计算，直接应用概率定义即可．第二问涉及两个独立个体从四个实验中各选一个的情况，需考虑所有可能的结果数，并找出满足“两人所选实验相同”的结果数，进而求出概率．可通过列表法或树状图法列出所有可能情况，再进行概率计算． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 （2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 23. 如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，将分别代入、，即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 ∵直线与轴交于点， ∴当时，，即， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， 当时，， ∴， ∵， 设表示点的横坐标，表示点的横坐标，表示点的纵坐标，表示点的纵坐标， ∴，， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，确定函数解析式是解题的关键． 24. 某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 【答案】西安鼓楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 延长交于点，在中，由，用含的代数式表示，由可得对应边成比例，进而可求出． 【详解】解：如图，延长交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，即，解得， 西安鼓楼的高度约为． 25 根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长 【答案】任务1：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为；任务2：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 任务一：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的天平均增长率为x，根据11月26日的票房收入费用为7万元，11月28日的票房收入达到10.08万元，列出方程，解方程即可； 任务二：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据底面面积是列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：任务1：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去正方形的边长为． 26. 在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． （1）如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； （2）如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． 【小问1详解】 ，是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体的位置是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 6. 对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（ ）. A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 7. 如图，，，若，则的长为（ ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 台灯下钢笔的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 10. 若是关于的反比例函数，则的值是_____． 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 12. 在中，都锐角，若满足，则是_____角三角形． 13. 如图，，若，则的长为_____． 14. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°． 16. 解方程：． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形． 18. 如图①是一个几何体，图②是小星所画的这个几何体的三视图，但左视图和俯视图不完整． （1）请帮小星补全三视图； （2）按图中所标出数据，求出该几何体的底面积． 19. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 20. 如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 22. 某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． （1）若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； （2）若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 23. 如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求的面积． 24. 某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 25. 根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去正方形的边长 26. 在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． （1）如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； （2）如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $