专题15.3 一元一次不等式组（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理概念（含与一元一次不等式的区别联系）、解集（公共部分含义）、解法（数轴确定公共部分步骤）及实际应用，构建从基础概念到问题解决的完整学习支架。 资料设计突出“即学即练”即时巩固，“典例+变式”分层训练，结合购物、分配等实际问题培养模型意识。通过数轴直观表示解集发展几何直观（数学眼光），题型分层训练提升推理能力（数学思维），助力教师授课效率提升，学生可课后回顾练习，有效查漏补缺。

专题15.3一元一次不等式组 教学目标 1.了解一元一次不等式组及其解集的概念，能准确识别一元一次不等式组，明确其与一元一次不等式的区别与联系。 2.会解简单的一元一次不等式组，能正确运用不等式的基本性质求解每个不等式的解集。 3.熟练掌握用数轴确定一元一次不等式组解集的方法，能规范地在数轴上表示不等式组的解集（正确使用空心圈与实心点）。 4.能根据实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式组，解决简单的实际问题，包括求整数解等特殊解问题。 教学重难点 1.重点 一元一次不等式组解法 2.难点 一元一次不等式组解集的 “公共部分” 含义，及一元一次不等式组的应用. 知识点01 不等式组的解集 1. 基本概念 （1）一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式叫作一元一次不等式组 （2）不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. （3）解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 【即学即练】 1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 利用数轴求不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 【即学即练】 1. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 知识点02 一元一次不等式组的解法 1. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 同大取大，同小取小， 大小小大中间找，大大小小解不了． 2.不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 【即学即练】 1. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 2. 解不等式组：，并求它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 知识点03 一元一次不等式组的实际应用 应用一元一次不等式组解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 【即学即练】 1. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 【答案】(1)每个篮球100元，每个足球120元 (2)最少需要购买25个篮球 (3)最省钱的方案是购买篮球33个，足球17个 【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”“一元一次不等式的应用”，根据题意找到数量关系列出方程与不等式是解题关键． （1）根据题意中两次购买的数量和对应金额，设未知数分别列方程，再求解方程组即可； （2）设购买其中一个的数量为未知数，用未知数表示购买另一个的数量，根据题意列不等式并求解即可； （3）在（2）的条件下，根据数量列不等式，该不等式的解集与（2）中解出的不等式的解集中重合的部分即为满足条件的情况，从中找出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元， 由题意，得， 解得， ∴每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元； （2）解：设购买m个篮球，则购买个足球， 由题意，得， 解得， ∴最少需要购买25个篮球； （3）解：由题意，得， 解得， ∴， ∵购买一个足球需要120元，购买一个篮球需要100元，足球的售价比篮球高， ∴当购买足球数量最少，篮球数量最多时，最省钱， 又为整数，， ∴，即的最大值为33， ， ∴当时，即购买33个篮球，购买17个足球时，为最省钱的购买方案． 题型01 不等式组及其解集 【典例1】直接写出不等式组的解集： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集口诀是解题的关键． （1）根据大小小大中间找的原则直接写出解集即可； （2）根据大小小大中间找的原则直接写出解集即可； （3）根据大大小小解不了的原则直接写出解集即可． 【详解】解：（1）的解集为； （2）的解集为； （3）无解． 故答案为：，，无解． 【变式1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解，正确识图是解题的关键． 根据所给数轴表示出解集即可． 【详解】由数轴可得，两个不等式的解集分别为，， 不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 【变式4】已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴可知，该不等式组的解集为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，该不等式组的解集为， 故选：． 题型02 一元一次不等式组的解法 【典例1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集． 分别解两个不等式，然后找出它们的公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此，不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示如下： 【变式1】解不等式组：． 【答案】x>8 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，即可解题． 【详解】解：， 解得： ， 解②得： ， 不等式组的解集为x>8． 【变式2】解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 故此不等式组的解集在数轴上表示为： 【变式3】解不等式组： 【答案】无解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：无解 ． 【变式4】解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】不等式组的解集为：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上把解集表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ， ， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示出来为： 题型03 一元一次不等式组的整数解 【典例1】解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集为： 【变式1】不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数解，即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，共 4 个． 故选：B． 【变式2】一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 【变式3】求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，再求和即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． ∴所有整数解的和为． 【变式4】解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解是，，，， 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解集是， 则不等式组的整数解是． 题型04 根据不等式组的解集求参数的取值范围 【典例1】已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 【变式2】关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 【变式4】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 题型05 方程组和不等式组的综合题 【典例1】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 【变式2】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4】若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键． （1）先通过解方程组求出、关于的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围． （2）根据（1）中的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入得， 解得， ∵ 方程组的解都是正数，即， ∴ ， 解得，， 解得， ∴ 的取值范围是； （2）解：∵ ， ∴ ，， ∴． 题型06 一元一次不等式组的实际应用 【典例1】——分配问题 七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【典例2】——方案选择问题 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 【变式1】社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 【变式2】某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【变式3】列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 【答案】(1)型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； (2)有2种方案：①采购型货车台，型货车台；②采购型货车台，型货车台 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键． （）设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨，根据题意方程，然后解方程并检验即可； （）设该公司采购型货车台，则采购型货车台，由题意得，然后解不等式组得，再由为正整数，得或，从而求解． 【详解】（1）解：设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨， 根据题意，得方程， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； （2）解：设该公司采购型货车台，则采购型货车台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司采购方案：①采购型货车台，型货车台；②采购型货车台，型货车台． 【变式4】为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 【答案】(1)， (2)有两种购买方案∶方案一，购买A型设备1台，B型设备9台；方案二，购买A型设备2台，B型设备8台 (3)最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出不等式组求解，并求得正整数解； （3）通过计算、比较，再作出决策． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 故，； （2）解：设购买A型x台，则B型台， 由题意得：， 解得：， 所以或， 所以有两种购买方案∶ 方案一，购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二，购买A型设备2台，B型设备8台； （3）解：方案一需要资金：万元， 方案二需要资金：万元， 方案一更省钱， 即最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台． 一、单选题 1．不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了解一元一次不等式组．解题的关键是先求出每个不等式的解集，然后遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：， 故选C． 2．若数使关于的不等式的最小整数解是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式得出，由不等式的最小正整数解是知，求解可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的最小正整数解是， ， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得到关于的不等式组． 3．若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解不等式①得：， 解不等式②得． 因此不等式的解集为， 故选A． 5．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 6．若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键，解不等式组并根据其有且只有2个整数解确定a的取值范围，再结关于y的方程，然后再结合其解是整数确定整数a的值，最后将它们相加并计算即可． 【详解】解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 该不等式组有且只有2个整数解， 这2个整数解必然是1，2， ， 解得：， 将关于y的方程整理得：， 它的解是整数，且a为整数， 或， 则， 故选：B． 二、填空题 7．某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴求不等式组的解集，会利用数轴求不等式组的解集，理解含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：由数轴得 这个不等式的解集是， 故答案：． 8．若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出不等式组每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集情况得出关于的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式，得， 又且不等式组有实数解， ∴， 故答案为：． 9．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：， 由①得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 10．“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由输出结果可得出不等式，解出即可． 【详解】解：依题意得：第一次的结果为：，没有输出， 则，解得：； 第二次的结果为：，输出， 则，解得：； 综上可得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，解出不等式． 11．若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15，可以确定整数解为6，5，4这四个数，再根据解集确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是15，且， ∴， ∴不等式组的整数解为①6，5，4，或②6，5，4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确． 12．若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 【答案】或2/2或-1 【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的解集中的整数和为-5， ∴或， ∴或， 则整数的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围． 13．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得： 解②得： ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键． 14．某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为 元． 【答案】 【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求解出的值，最后计算全天的利润即可． 【详解】由题意得， 设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元， 设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋， 则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋， ∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元， ∴， 解得， ∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元， 设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋， 则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋， ∴全天的利润为 （元）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键． 三、解答题 15．利用数轴，求出满足下列各组不等式的x值的公共部分． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析， (3)数轴见解析， (4)数轴见解析，没有公共部分，原不等式组无解 【分析】（1）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （2）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （3）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （4）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如下， ∴的公共部分是； （2）在数轴上表示如下， 的公共部分是； （3）在数轴上表示如下， 的公共部分是； （4）在数轴上表示如下， 没有公共部分，原不等式组无解； 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，确定不等式组的解集，数形结合是解题的关键． 16．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解不等式的一般方法步骤求解即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：； （2）解： 解不等式①得：x>1， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】题目主要考查求不等式及不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题关键． 17．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）按照移项、合并同类项的步骤求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项得， 解得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以． 【点睛】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题关键是熟练掌握不等式和不等式组的解题步骤，同时理解不等式组解集“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则． 18．检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于，且不大于．前两次检验，的读数分别是，，那么第三次检验的应该为多少才能合格？ 【答案】第三次检验的的读数不小于且不大于才能合格． 【分析】设第三次检验的的读数为x，根据水质合格的标准，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：设第三次检验的的读数为x， 依题意得：， 解得：． 答：第三次检验的的读数不小于且不大于才能合格． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 19．据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 20．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键． 任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可； 任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案． 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.3一元一次不等式组 教学目标 1.了解一元一次不等式组及其解集的概念，能准确识别一元一次不等式组，明确其与一元一次不等式的区别与联系。 2.会解简单的一元一次不等式组，能正确运用不等式的基本性质求解每个不等式的解集。 3.熟练掌握用数轴确定一元一次不等式组解集的方法，能规范地在数轴上表示不等式组的解集（正确使用空心圈与实心点）。 4.能根据实际问题中的不等关系，列出一元一次不等式组，解决简单的实际问题，包括求整数解等特殊解问题。 教学重难点 1.重点 一元一次不等式组解法 2.难点 一元一次不等式组解集的 “公共部分” 含义，及一元一次不等式组的应用. 知识点01 不等式组的解集 1. 基本概念 （1）一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式叫作__________________. （2）不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的____________叫作不等式组的解集. （3）解不等式组 求不等式组解集的过程叫作____________. 【即学即练】 1. 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2. 利用数轴求不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 同大取大 同小取小 大于小的 小于大的 大于大的 小于小的 【即学即练】 1. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 知识点02 一元一次不等式组的解法 1. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集; 2.不等式组的整数解; 在不等式组解集范围内的整数值叫作不等式组的整数解. 【即学即练】 1. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 2. 解不等式组：，并求它的非负整数解． 知识点03 一元一次不等式组的实际应用 应用一元一次不等式组解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 【即学即练】 1. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 题型01 不等式组及其解集 【典例1】直接写出不等式组的解集： （1） ；（2） ；（3） ． 【变式1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A． B． C． D． 题型02 一元一次不等式组的解法 【典例1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式1】解不等式组：． 【变式2】解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【变式3】解不等式组： 【变式4】解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 题型03 一元一次不等式组的整数解 【典例1】解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【变式1】不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【变式3】求不等式组：的所有整数解的和． 【变式4】解不等式组：，并写出满足不等式组的整数解． 题型04 根据不等式组的解集求参数的取值范围 【典例1】已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是 ． 【变式1】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【变式3】若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【变式4】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 方程组和不等式组的综合题 【典例1】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式1】已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【变式2】若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【变式3】关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【变式4】若关于，的二元一次方程组的解都是正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 题型06 一元一次不等式组的实际应用 【典例1】——分配问题 七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【典例2】——方案选择问题 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式1】社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【变式2】某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【变式3】列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 【变式4】为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 一、单选题 1．不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 2．若数使关于的不等式的最小整数解是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是 ．    8．若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 9．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 10．“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是 ． 11．若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是 ． 12．若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 13．不等式组的解集为 ． 14．某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为 元． 三、解答题 15．利用数轴，求出满足下列各组不等式的x值的公共部分． (1)； (2)； (3)； (4) 16．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 17．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 18．检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于，且不大于．前两次检验，的读数分别是，，那么第三次检验的应该为多少才能合格？ 19．据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 20．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $