5.2 导数的运算（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

5.2导数的运算 题型一：基本初等函数的导数公式 1．已知函数，则 . 2．已知函数，则 ． 3．函数在处的导数是 . 4.下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：导数的加减法 5．已知， 则的导函数为 . 6．函数的导数 ． 6．已知（是的导函数），则 ． 7．已知函数，则＝（    ） A． B． C． D． 题型三：导数的乘除法 8．已知函数，则= ． 9．若，则 ． 10．设函数，则 ． 11．函数的导数是（    ） A． B． C． D． 题型四：简单复合函数的导数 12．已知函数，则 . 13．已知函数，则 ． 14．曲线在处的切线方程为 ． 15．已知，则 . 16．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 题型五：求某点处的导数值 17．已知函数，则 ． 18．若函数的导函数为，则 ． 19．已知，则当时的导数值= . 20．已知函数，则 . 题型六：切线平行、垂直问题 21．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 22．已知函数在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 . 23．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 24．曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 题型七：公切线问题 25．若曲线在处的切线，也是的切线，则 ． 26．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 27．若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 . 28．若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 . 29．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 30．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 1．若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 2．已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 3．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 4．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为 . 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B． C．是奇函数 D． 6．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 7．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 8．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 9．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 10．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2导数的运算 题型一：基本初等函数的导数公式 1．已知函数，则 . 【答案】 【解析】由得，，. 2．已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由，所以，所以. 3．函数在处的导数是 . 【答案】/0.5 【解析】函数，有，所以函数在处的导数是. 4.下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确. 故选D 题型二：导数的加减法 5．已知， 则的导函数为 . 【答案】 【解析】由， 则. 6．函数的导数 ． 【答案】 【解析】由. 6．已知（是的导函数），则 ． 【答案】 【解析】由题设，则， 所以，则. 7．已知函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，故.故选：A. 题型三：导数的乘除法 8．已知函数，则= ． 【答案】1 【解析】由题意，，所以. 9．若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 则， 故. 10．设函数，则 ． 【答案】 【解析】由导数的运算法则，可得. 11．函数的导数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D 题型四：简单复合函数的导数 12．已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 13．已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 14．曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题设，则， 且时，， 所以曲线在处的切线方程为，则. 15．已知，则 . 【答案】5 【解析】因为，所以，则. 16．函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复合函数的导数法则， . 故选：A 题型五：求某点处的导数值 17．已知函数，则 ． 【答案】 【解析】，令得， 解得，故，所以. 18．若函数的导函数为，则 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以 19．已知，则当时的导数值= . 【答案】 【解析】由，得， 所以. 20．已知函数，则 . 【答案】 【解析】函数， 则，所以，所以， 则， ， 所以. 题型六：切线平行、垂直问题 21．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【解析】对函数求导得，那么， 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，得． 22．已知函数在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 . 【答案】或 【解析】由题意可得，解得，所以点或. 23．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 24．曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，， 又因为直线的斜率为1， 由题意可得，解得. 故选：D. 题型七：公切线问题 25．若曲线在处的切线，也是的切线，则 ． 【答案】 【解析】由求导得，则曲线在处的切线斜率为， 又因切点为，故曲线在处的切线方程为. 由求导得，设切点坐标为， 由题意，，解得，故切点坐标为， 代入中，可得：. 26．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】3 【解析】由可得， 故曲线在处的切线的斜率为， 由于该切线与直线垂直，故， 27．若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 . 【答案】1 【解析】因为，，则，， 若函数与函数的图象在处有相同的切线， 且，则，即. 28．若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 . 【答案】/ 【解析】设与和的切点分别为， 由导数的几何意义可得，得， 再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得， 从而得出. 29．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 30．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 1．若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】/ 【解析】由题意得， 故，又， 故曲线在点处的切线方程为，即， 令，则；令，则； 故切线与坐标轴围成的三角形面积为， 2．已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 【答案】1 【解析】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 3．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 4．已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为 . 【答案】 【解析】设P点坐标为， 因为，所以，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 最短距离为. 5．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数，则是奇函数，A选项错误. ，B选项正确. 为偶函数，C选项错误. ，D选项错误. 故选：B 6．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】∵函数，， ，显然， 函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 又时，函数值为正，图像位于第一象限，排除D. 故选：A. 7．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】A 【解析】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 8．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 9．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 10．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解析】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $