5.1 导数的概念及意义（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

5.1导数的概念及意义 题型一 变化率 1．函数在上的平均变化率为 . 2．函数在区间上的平均变化率等于 . 3．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    4．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 5．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 题型二 瞬时变化率 6．如图，在平面直角坐标系中，直线，，围成的△的面积为，则在时的瞬时变化率是 . 7．已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 8．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 9．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 10．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 题型三 瞬时速度 11．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 12．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 13．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 14.某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（    ） A． B．2.9 C．0.45 D． 题型四 导数定义中极限的简单计算 15．已知函数在处的导数，则 ． 16．已知，则 . 17．设函数在处可导，且，则 . 18．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五 求曲线切线的斜率（倾斜角） 19．函数 的图象在处的切线的倾斜角为 20．若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 21．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 22．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 23．已知曲线在点处的切线斜率为1，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 24．在曲线的所有切线中，斜率等于的有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 题型六：切点坐标 25．过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 26．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 27．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 题型七：已知切线（斜率）求参数 28．若曲线与直线相切，则 ． 29．是在处的切线方程，则 . 30．已知函数在点处的切线方程为，则 . 31．已知函数在点的切线与直线平行，求的值 . 题型八：求在曲线上一点处的切线方程 32．曲线在处的切线方程为 ． 33．已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 34．已知函数，则在点处的切线方程为 ． 1．已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 2．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 3．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 4．若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 5．已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 6．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 9．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 10．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1导数的概念及意义 题型一 变化率 1．函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【解析】由平均变化率的定义可得：， 2．函数在区间上的平均变化率等于 . 【答案】 【解析】由函数，可得函数在上的平均变化率为 3．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】/0.75 【解析】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，，在上的函数表达式为，即可， 当在区间上的平均变化率为， 4．函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平均变化率定义得，故选：C. 5．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解析】由题意， ， ，故．故选：B 题型二 瞬时变化率 6．如图，在平面直角坐标系中，直线，，围成的△的面积为，则在时的瞬时变化率是 . 【答案】 【解析】由题设知：，即，而， 所以，则. 7．已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故时，的瞬时变化率为.故选：B 8．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【解析】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 9．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以．故选：C 10．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得．故选：B． 题型三 瞬时速度 11．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【解析】函数的导数， 当时，，即质点在时的速度为， 12．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【解析】， 则火箭在时的瞬时速度为. 13．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【解析】， 所以．故选D． 14.某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（    ） A． B．2.9 C．0.45 D． 【答案】A 【解析】由题意，求导后得，当时，， 故A正确.故选：A 题型四 导数定义中极限的简单计算 15．已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【解析】. 16．已知，则 . 【答案】 【解析】由 ， 因为，所以. 17．设函数在处可导，且，则 . 【答案】 【解析】根据导数的定义可知：. 18．若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 题型五 求曲线切线的斜率（倾斜角） 19．函数 的图象在处的切线的倾斜角为 【答案】 【解析】因为，所以，即切线的斜率为，所以切线的倾斜角为. 20．若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角 ． 【答案】 【解析】因为函数在处的导数， 所以函数在点处的切线斜率， 所以，又，所以倾斜角． 21．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【解析】由已知得，， . 22．曲线在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为，故选C 23．已知曲线在点处的切线斜率为1，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线在点处的切线斜率为1，所以， 则曲线在点处的切线斜率为 ．故选C. 24．在曲线的所有切线中，斜率等于的有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【解析】由题可知，函数的定义域为． 由，得， 令，则或解得或， 因为函数定义域为，所以舍去，即 曲线的斜率等于的切线有条．故选： 题型六：切点坐标 25．过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【解析】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 26．若曲线在某点处的切线方程为，则切点的坐标为 ． 【答案】 【解析】， 设曲线与直线相切的切点为， 结合已知条件，得，解得， ∴切点的坐标为. 27．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点. 因为曲线在点P处的切线的斜率，所以， 所以点P的坐标为或.故选：A. 题型七：已知切线（斜率）求参数 28．若曲线与直线相切，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以．直线的斜率为1， 令，解得，，所以，解得． 29．是在处的切线方程，则 . 【答案】2 【解析】，，且， 所以，得，则. 30．已知函数在点处的切线方程为，则 . 【答案】3 【解析】∵，∴，. ∵函数在点处的切线方程为， ∴，， 解得，，∴. 31．已知函数在点的切线与直线平行，求的值 . 【答案】1 【解析】，由题意可知，直线的斜率为2，所以，得. 题型八：求在曲线上一点处的切线方程 32．曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】设，则； 所以，且，即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为，即， 33．已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 34．已知函数，则在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 1．已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得 2．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 【答案】 【解析】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 3．已知函数的图象与直线相切，则实数 ． 【答案】1 【解析】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 4．若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 【答案】 【解析】设斜率为的直线与曲线相切于点， 因为，所以， 令，解得，所以， 所以切线的方程为：， 所以要求点到直线的最小距离， 即求切线到直线的距离， 由两平行线间的距离公式可得, 所以点到直线的最小距离是. 5．已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 【答案】或（写出其中一个即可）； 【解析】设切线与函数的图象切于点，， 所以切线方程为，即 设切线与函数的图象切于点，， 则切线方程为，即， 若两条切线是一条直线，则，得， 得，解得：或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 6．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由图可得， 而， 故.故选：C. 7．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为.故选：C 8．已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A． B．1 C．-1 D． 【答案】D 【解析】将切线方程整理为 ，其斜率为，因此. 切点在切线上，将代入切线方程： 所以故选：D. 9．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为.故选：A 10．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得.故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $