4.比例-【课堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学课堂笔记（人教版）

4 比例 比例的意义和基本性质 比例的意义 好好学习天天向上 国旗长5m,宽3m。 10 国旗长2.4m,宽1.6m。 国旗长60cm,宽40cm。 上图中操场上和教室里的两面国旗长和宽的比值有什么关系？相等 操场上的国旗：24：16=》 教室里的国旗：60：40=3 所以，2.4：1.6=60：40， 也可以写成2：4-60 1.640 像这样表示两个比相等的式子叫作比例。比例可以写成比的形式，也可以写成 分数形式。如a:b=c:d或号-号 比值是否相等是两个比能否组成比 在上图三面国旗的尺寸中， 例的关键条件。 还有哪些比可以组成比例？ (答案不唯一)5：19=60：40或 3 做一做三 10:5=1.6:2.4 1.下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 (1)6:10和9：15 (2)20:5和1：4 提示可以用比值相等判断， (4)06:02和2：日 也可以用乘积法判断。 (3)分：写和6：4 2.用右图中的4个数据可以组成哪些比例？ 提示对应边的比能组成比例。 42cm 4 cm 38 ④比例 比例的基本性质 组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两 项叫作比例的内项。 例如： 2.4:1.6=60:40 个内项 外项- 外项内项 上面的比例写成分数形式合=0,2.4和40仍然是外项，16 仍然是内项。 内项外项 计算下面比例中两个外项的积和两个内项的积。比较一下，你能发现什么？ (1)2.4:1.6=60:40 (2)号=8 2.4×40=96 3×15=45 1.6×60=96 5×9=45 2.4×40=1.6×60 3×15=5×9 发现：两个外项的积等于两个内项的积。 你能举一个例子，验证你的发现吗？ 例：4：8=5：104×10=8×5 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。用字 母表示就是：如果a:b=c:d,那么ad=bco 反过来，四个不为0的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等， 这四个数就可以组成比例。 做一做三 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 提示先假设可以组 (1)6:3和8：5 （2)0.2:2.5和4：50 成比例，再分别计 算“内项”和“外项 (3)号石和分日 的积，最后比较两 24 (4)12:子和号：5 个积是否相等。 39 ⊙课堂笔记)数学六年级下册人教 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中 的那个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。 提示模型总长：火箭总长=1：10，列比例时要注意对应。 2长征五号运载火箭总长约为57m。有一个长征五号运 载火箭的模型，它的总长与火箭总长的比是1：10。这 个模型总长约为多少米？ 解：设这个模型总长约为xm。 x:57=1:10 也可以用比值相等直接解比例。 x:57=1:10 10x=57×1 解：x:57=0.1 x=57x1 x=57×0.1 10 x=5.7 x=5.7 答：这个模型总长约为5.7m。 3 解比例46 1.5x0 :一交叉相乘将比例转化为等积式。 解：2.4x=1.5×6 x=15)x(6) （2.4) x=(华) 一先约分再计算比较简便。 划重点 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 做一做三 1.解比例。 (1)x810=子：号 (2)0.4:x=1.2:2 2.餐馆给餐具消毒，要用100mL消毒液配成消毒水，如果消毒液与水 的比是1：150，应加入多少升水？ 注意写解。 毒 40 ④比例 练习八 1.下面各表中相对应的两个量的比能否组成比例？如果能，把组成的比例写出来。 年龄/岁 12 14 箱子数量/个 2 8 身高/m 1.4 1.6 质量kg 30 120 时间/时 2 3 衣服数量/件 5 10 路程km 30 40 总价/元 400 800 2.下面哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来。 (1)4,5,12和15 （2)2,3,4和5 (3)1.6,6.4,2和5 111 。1 (4)2,3,6和4 3.写出比值是5的两个比，并组成比例。 4.李叔叔承包了两块水稻田，面积分别为0.5公顷和0.8公顷。秋收时，两块水稻田的 产量分别为3.75t和6t。两块水稻田的产量与面积之比，是否可以组成比例？如果 可以组成比例，指出比例的内项和外项。~产量：面积 5.判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 (1)6:9和9：12 (2)1.4:2和28：40 提示先假设成立， 求出内项之积和外 (3)分：和：日 (4)7.5:1.3和5.7：3.1项之积，再判断。 6. 我不运动时心脏45秒跳 那1分钟跳72次。 54次。 小红说得对吗？ 小红 7.已知24×3=8×9，你能写出比例吗？你能写几个？ 41 ⊙课堂笔记)数学六年级下册人教 8.解比例。 (1)分：=4：x (2)0.8:4=x:8 3 (3)4:x=3:12 28 (4)9=x 9.相同质量的水和冰的体积之比是9：10。一块体积是50dm3的冰，化成水后的体积是 多少？提示可以根据水和冰的体积的对应比列比例。 10.按照下面的条件列出比例，并且解比例。 提示列比例时注意对应。 (1)5与8的比等于40与x的比。 (2)x与子的比等于号与号的比。 (3)比例的两个内项分别是2和5，两个外项分别是x和2.5。 11.汽车厂按1：20的比生产了一批汽车模型。 提示模型长度：实际长度=1：20 (1)轿车模型长24.3cm,轿车的实际长度是多少？ (2)公共汽车长11.76m,公共汽车模型的长度是多少？ 12.一个秦代高级军吏俑模型的高度与实际高度的比是1：10，模型高度是19.6cm。这 个高级军吏俑的实际高度是多少？ 13.某小区1号楼的实际高度是35m,与模型高度的比是50：1.模型的高度是多少厘米？ 统一单位。← 14.把下面的等式改写成比例。 提示两内项之积=两外项之积 (1)3×40=8×15 （2)2.5×0.4=0.5×2 15.李老师买了6个足球和8个篮球，买两种球所花钱数相等。 提示6×足球的单 (1)足球与篮球的单价之比是多少？ 价=8×篮球的单价 (2)足球的单价是40元，篮球的单价是多少？ (3)你能提出其他数学问题并解答吗？ ④比例 2 正比例和反比例 正比例 文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。 数量/m 1 2 4 5 6 7 8 总价/元 3.5 10.5 14 17.5 21 24.5 28 根据上表，回答下面的问题。 (1)表中有哪两种量？总价和数量。 (2)总价是怎样随着数量的变化而变化的？数量增加，总价也随之增加。 (3)相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？ 35-35,子-35,10-35，… 一种量随着另一种 量的变化而变化 从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变 化，而且总价与相应数量的比值总是一定的，5=子-105-…=35。比值35， 3 实际就是彩带的单价。 用式子表示它们的关系就是： 盘-单价。（一定） 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫 作正比例关系。 上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定)，正 比例关系可以用下面的式子表示： 一定) 划重点 两种量是否成正比例关系的条件：(1)两种量是相关联的量。(2)两种量的比值一定。 43 四课堂笔记)数学六年级下册人教 上页表中的数据还可以用图象（如下图）表示。 总价/元 根据图象回答下面的问题。 (14,49) 49 (1)从图象中你发现了什么？ 42 发现总价随着数量的变化而变化。 35 (答案不唯一) 28 (2)把数对（10,35)和（12,42)所在 21 的点描出来，并和上面的图象连起来 再延长，你还能发现什么？ 2468101214数量/m 这两点与原图象在同一条射线上。 正比例关系图象的画法与折线统计图的画法基本相同。 (3)不计算，根据图象判断，如果买9彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？ 31.5元 14m (4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？2倍 你能举出生活中正比例关系的例子吗？ 每天读书的页数一定时，读的总页数和读的天数成正比例关系。 如果汽车行驶速度 正方形的周长与边 长成正比例关系。 一定，路程与时间 成正比例关系。 做一做三 一辆汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160 240 320 400 480 (1)写出几组路程与相对应的时间的比，并 路程/km 比较比值的大小。 (2)说一说这个比值表示什么。 480 400 (3)汽车行驶的路程与时间成正比例关系 320 吗？为什么？ 240 (4)在图中描出表示路程和相对应时间的点， 160 然后把它们按顺序连起来。估计一下行 80 驶120km大约要用多长时间。 0 123456时间/时 提示描点画图时一定要找准时间与对应的路程 ④比例 反比例 罗变量 变量、 把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器，容器的底面积与水的高度 的变化情况如下表。 容器的底面积/cm2 10 15 20 30 60 水的高度/cm 30 20 15 10 5 根据上表，回答下面的问题。 (1)表中有哪两种量？容器的底面积和水的高度。 (2)水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的？ 水的高度随着容器的底面积变大而不断变小。 (3)相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？ 10×30=300,15×20=300,20×15=300, 罗有某种关系 从上表可以看出，水的高度和容器的底面积是两种相关联的量，水的高度 随着容器的底面积变大而不断变小，而且水的高度与容器的底面积的乘积总是一 罗积不变 定的，30×10=20×15=15×20=…=300。乘积300，实际就是倒入容器的水的 体积。 用式子表示它们的关系就是：底面积×高度=体积。（一定】 反比例的意义 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫 作反比例关系。 在上面的实验中，高度和底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定)，反 比例关系可以用下面的式子表示： 两个变量 罗不变量 反比例关系字母表达式 (一定) 45 ©课堂笔记)数学六年级下册人教 你能举出生活中反比例关系的例子吗？ 如果总价一定，单 如果长方形的面积 价与数量成反比例 一定，长与宽成反 关系。 比例关系。 单价×数量=总价（一定 长×宽=面积（一定） 做一做三 运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。 每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50 运货的天数/天 1 2 3 4 5 6 (1)表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？ (2)写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积，并比较乘积的大小，说一说这 个乘积表示什么。 (3)运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？ 提示判断时，先找两个变化的量，再看两个变量的乘积是否一定，最后再判断。 你知道吗？ 反比例关系的图象 高度/cm 反比例关系也可以用 注意点与线的对应。 图象来表示。例如，上页表60 5 中的数据可以用右面的图象 50 45 表示。 40 35 反比例关系的图象是30 25 光滑的曲线。由右面的图象，2 15 你能看出容器的底面积分别1 5 是40cm2、50cm2、55cm2时， 0 51015202530354045505560底面积/cm2 水的高度分别是多少吗？ 乘积一定，都是300,300分别除以底面积可分别得到水的高度。 46 ④比例 练习九 1.下表是小林家去年上半年每月用电量情况。 月份 1 2 3 4 5 6 用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150 电费/元 60 65 55 60 65 75 (1)分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小。 (2)说明这个比值表示的意义。 (3)电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？ 提示先找出两种相关联的量之间的数量关系，再判断这两种量的比值是否一定。 2.判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。 (1)某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 (2)正方体的表面积与它的棱长。 (3)一个人的身高与他的年龄。 (4)小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数。 (5)一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 3.下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。 行驶路程km 15 30 45 75 耗油量L 2 4 6 10 (1)该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？ 耗油量L 10 (2)右图是表示该汽车行驶路 程与相应耗油量关系的图 8 象，说一说它有什么特点。 7 (3)利用图象估计一下，该汽 车行驶55km的耗油量是 多少？ 3 2 1 提示看图象上55km对应的纵 轴是多少。 0 51015202530354045505560657075路程km ,多比值相等 4.已知y与x成正此例关系，在下表的空格中填写合适的数。 1 2 5 10 20 2.5 7.5 20 37.5 47