3.1.2直线与椭圆的位置关系导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第 2 课时　直线与椭圆的位置关系 【学习目标】1. 能用直线和椭圆方程解决一些简单问题，如交点个数，弦长，面积等. 2. 掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，掌握椭圆弦长的计算方法. 3. 领悟数形结合与转化与化归思想，提高运算能力. 【学习重难点】重点：直线与椭圆位置关系的判断. 难点：直线与椭圆位置关系的应用. 【知识梳理】 1.研究直线与椭圆的位置关系中，联立消去得一个关于的一元二次方程．填写下表： 位置关系 解的个数 的取值 相切 相离 2.如果直线的斜率为，被椭圆截得弦两端点坐标分别为，则弦长= .（弦长公式） （推导过程） 3. 直线(不平行于轴)过椭圆()上两点，，其中线段中点为，则有 .（点差法解决中点弦问题） （推导过程） 【典例分析】 例1、已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线与椭圆： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 变式、直线与椭圆的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 例2、已知斜率为的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，则弦的长为________． 变式、已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求的最大值． 例3、已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程． 变式、已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是_______． 例4、已知椭圆的中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与椭圆交于点，求四边形面积的最大值. 【当堂训练】 1．若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围是(　　) A．　 　B． C． D． 2.已知直线与椭圆相交于两点.若椭圆的离心率为，焦距为，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 3.焦点是，且截直线所得弦中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________． 【课后反思】 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第 2 课时　直线与椭圆的位置关系 【学习目标】 1. 能用直线和椭圆方程解决一些简单问题，如交点个数，弦长，面积等. 2. 掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，掌握椭圆弦长的计算方法. 3. 感受椭圆曲线与方程的内在联系，领悟数形结合与转化与化归思想，提高运算能力. 【学习重难点】重点：直线与椭圆位置关系的判断. 难点：直线与椭圆位置关系的应用. 【知识梳理】 1.研究直线与椭圆的位置关系中，联立消去y得一个关于x的一元二次方程．填写下表： 位置关系 解的个数 的取值 2 >0 相切 =0 相离 0 2. 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长AB= .（弦长公式） 3. 直线(不平行于轴)过椭圆()上两点，，其中线段中点为，则有 .（点差法解决中点弦问题） 【典例分析】 例1、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交；(2)相切；(3)相离？ 解：(1)联立得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，Δ＝64m2－36(2m2－4)＝144－8m2， 当直线与椭圆相交，即Δ>0时，144－8m2>0，解得－3<m<3. (2)当直线与椭圆相切，即Δ＝0时，144－8m2＝0，解得m＝±3. (3)当直线与椭圆相离，即Δ<0时，144－8m2<0，解得m>3或m<－3. 变式、直线l：ax＋y－a＋1＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：选A　法一　∵ax＋y－a＋1＝0，即a(x－1)＋y＋1＝0，∴直线l恒过定点M(1，－1)．又∵椭圆＋＝1，∴＋<1，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交． 法二　⇒(3a2＋2)x2－6a(a－1)x＋3(a2－2a－1)＝0， ∴Δ＝36a2(a－1)2－12(3a2＋2)(a2－2a－1)＝48a2＋48a＋24＝482＋12>0恒成立， ∴直线l与椭圆相交． 例2、已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________． 解析：∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，且斜率为2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 法一　由方程组 解得或则交点A(0，－2)，B. ∴|AB|＝＝＝. 法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝. 法三　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x，得3y2＋2y－8＝0，则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴|AB|＝|y1－y2|＝×＝. 答案： 变式、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意可得解得a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝5. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由⇒14x2＋18mx＋9m2－45＝0. 由Δ＝(18m)2－4×14×(9m2－45)＞0，得m2－14＜0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴|AB|＝ ＝≤，当且仅当m＝0时等号成立． ∴|AB|max＝. 例3、已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 解：法一：根与系数的关系、中点坐标公式法 设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)． 联立 消去y，得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝. 因为线段AB的中点恰好为P(4,2)， 所以＝＝4， 解得k＝－，且满足Δ>0. 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)， 即y＝－x＋4. 法二：点差法　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 两式相减得＋＝0， 整理得kAB＝＝－. 因为P(4,2)是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以kAB＝－＝－， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4. 法三：共线法　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4,2)为线段AB的中点，因此B(8－x,4－y)． 因为A，B两点都在椭圆上， 所以 ①－②，得x＋2y－8＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0. 变式、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦的中点坐标是M(－4,1)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝2.由得＋＝0，∴＝－×＝2，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝. 例4、已知椭圆的中心在坐标原点，A(2, 0), B(0, 1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆交于点E, F，求四边形AEBF面积的最大值. 【解】 依题意知，椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y＝2, AB＝.联立方程得xE＝－， xF＝，故点E到直线AB的距离hE＝＝，点F到直线AB的距离hF＝， 所以S四边形AEBF＝·AB·(hE＋hF)＝××＝2＝2＝ 2≤2，当且仅当＝4k，即k＝时等号成立．因此四边形AEBF面积的最大值为2. 【当堂训练】 1．若直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) D　【解析】 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.故选D. 2.已知直线y＝x+1与椭圆相交于两点.若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（  ） A． B． C． D．2 B 【解析】 由条件，知，所以，椭圆方程为.联立直线方程与椭圆方程,得 即，解得或即，所以.故选B. 3.焦点是F(0,5 )，且截直线y＝2x－1所得弦中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________． ＋＝1 【解析】 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且 ＝，＝－. 将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $