第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。 ②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。 ③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。 通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 【答案】答案见解析 【分析】写出椭圆的标准形式确定对应椭圆参数，即可得长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 【详解】由题设，椭圆标准方程为，则， 所以长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率为. 知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率. 【详解】由题的， 所以， 所以离心率为， 故选：C. 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，进而求得弦长. 【详解】因为椭圆，可得，所以， 所以椭圆的右焦点的坐标为， 将，代入椭圆的方程，求得，所以. 故选：C. 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，可得，推出，再结合，得，即可得解． 【详解】解：设椭圆的右焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，所以，    由椭圆的定义知，，所以， 所以，所以， 而，所以，即， 所以离心率． 故选：D． 【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于的不等式从而求解离心率范围. 【详解】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为， 因为落在上或内，所以，所以，则， 两边同时除以，解得. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的准线求出椭圆的焦点，得到的值，再根据的关系，求出的值即可. 【详解】抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，即， 又，所以. 所以长轴长为：. 故选：D 题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，即得，再由椭圆的的关系和离心率公式，计算即可得到，进而得到椭圆方程. 【详解】由得焦点坐标为， 即， 又， ，， 即椭圆方程为， 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 【典例3】（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)经过两点. (3)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）由定义和椭圆关系式可直接求解； （2）设所求椭圆的方程，将代入即可求解； （3）设出标准方程，将代入，结合相同联立方程可求解. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的方程为（）， ∵长轴长为4，焦距为2， ∴，， ∴，， ∴， ∴椭圆的方程为； （2）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （3）椭圆，即，故， 焦点为，， 设所求椭圆的标准方程， 所以，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【答案】 【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为，代点即得解. 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得， 解得λ=11或(舍去). 故所求椭圆的标准方程为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到共焦点的椭圆系方程，设所求椭圆的标准方程为，解答简洁高效. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)过点且与椭圆有相同焦点. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标以及椭圆定义即可求解，进而可求椭圆方程， （2）根据椭圆一般方程代入两点坐标即可求解， （3）根据同焦点的椭圆方程，代入点的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为（，，）.将A，B两点的坐标代入方程， 得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. （3）依题意，知椭圆的焦点坐标为. 设所求方程为， 将点代入得，所以， 则所求椭圆的标准方程为. 题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率. 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 【典例2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率. 【详解】以 为直径的圆的方程为， 联立，解得， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）. 所以. 故椭圆的离心率为. 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的定义可得，，再根据，两边平方可求椭圆C的离心率． 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形， 设， 因为，，则， 且，可得，， 又因为，则， 在中，则， 可得， 即，解得， 所以椭圆C的离心率． 故答案为：． 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左右焦点分别为，，由题意可是，利用椭圆在处的切线方程为，可得，求解即可. 【详解】设椭圆的左右焦点分别为， 点，且，设， 则有，解得， 由，所以，又，所以， 又椭圆在处的切线方程为， 所以，所以，所以， 所以，所以，解得, 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【变式3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率. 【详解】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得， ，由椭圆的定义得，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得点的横坐标，则可得到椭圆离心率的取值范围. 【详解】由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点， 解得，所以，即，即， 又椭圆的离心率，所以得. 故选：D. 【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 【典例3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，又. 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解. 【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．    因为，所以． 设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，， 所以，即， 所以．因为直线的斜率为正， 所以，所以， 解得． 故选：ABC． 【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解. 【详解】如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解. 【详解】，解得. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ． 【答案】8 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可. 【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为， 可得＝，解得m＝8． 故答案为：8． 【变式1】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解即可求得结果． 【详解】，，所以，， ，解得， . 故选：A. 【变式2】（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，可得， 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，则，解得. 综上所述，或. 故选：BC. 题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【典例3】（23-24高二·全国·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．需根据a，b的取值来确定 【答案】C 【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系，得到，进而结合圆和椭圆的位置关系，即可求得答案. 【详解】因为直线和圆没有公共点， 所以原点到直线的距离，即， 所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部， 所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案. 【详解】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A．    【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【答案】D 【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解. 【详解】因为直线和圆没有交点， 可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为. 故选：D. 题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高二上·江西吉安·期末）过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程. 【详解】过椭圆上的点的 切线的方程为， 即，切线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为， 过点且与直线垂直的 直线方程为， 即. 故选： 【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 【典例2】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【答案】或或（只需写一条） 【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：    由图可知，或与圆和椭圆同时相切， 即符合条件的的方程可以为或 假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知 所以① 由得 由得② 由①②解得 故答案为： 或或（只需写一条） 【变式1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况． 【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得， ，得到 直线与椭圆相切，故，即 解得所以切线方程为，故本题选A． 【点睛】本题考查了椭圆的切线方程．其实本题可以类比圆的切线方程得出，过圆 上一点的切线方程为，椭圆也有类似性质：过椭圆 上一点的切线方程为． 【变式2】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为 . 【答案】 【解析】易得，设公切线方程，分别与，联立，利用求解. 【详解】因为， 由题意得:， 设公切线方程， 与联立，得， ，得， 与联立，得， ，得， 联立解得，， 因为切点在第一象限， 所以公切线方程为. 题型08弦长 【典例1】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据椭圆的离心率和所过点求得，，，从而求得椭圆的方程； （2）联立直线的方程与椭圆方程，得到，再利用弦长公式即可得解． 【详解】（1） 由题意得，解得， 椭圆的方程为； （2） 由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点， 则直线的方程为：，设，， 联立，消去，得，显然， 则， 所以． 【典例2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 又，故，解得， 故椭圆方程为； （2）由题意得，， 可得直线方程为， 联立与得， 设，故， 故. 【变式1】（23-24高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可得解. （2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解. 【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中， 所以所求动点P的轨迹C的方程为． （2）设, 联立直线与椭圆的方程,消y整理得：， 所以，，， ∴. 【变式2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； （2）联立，得， ，，， . 题型09中点弦和点差法 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法解决中点弦问题. 【详解】由题意，直线斜率存在，设，，则有，， 在椭圆上，有，， 两式相减，得，即， 得，即直线的斜率为， 则的直线方程为，即. 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 故椭圆C的方程为． （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 【变式1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可. 【详解】设则 将点代入椭圆方程,两式作差得 即直线的斜率为 直线的方程为即. 故选：. 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果. 【详解】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线过点且与椭圆相交于两点,若点为弦的中点,则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查中点弦问题,根据点差法的步骤,设点,代入曲线方程化简得再结合点斜式即可. 【详解】设点点为弦的中点, 将点两点代入椭圆方程,得 两式作差得,整理得 直线的斜率为,直线的方程为即. 故答案为：. 题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【详解】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 【典例2】（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 【典例3】（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为. （2） 依题意，过且斜率为1的直线为，设， 则消去整理得， 所以， 所以 . 【变式1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，即可得椭圆方程； （2）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及可得面积. 【详解】（1）由已知得， 可得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）由（1）得，则直线：， 联立，消去得，设， 则， 所以. 【变式2】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可由的周长得长轴长，即可得椭圆方程； （2）先用点斜式求得直线的方程，联立椭圆方程计算弦长，根据点到直线的距离公式计算面积即可. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为， 解得， 而焦距为2，则椭圆的半焦距为，， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，，设， 则直线的方程为， 联立直线与椭圆方程整理得， 所以， 所以， 又因为到直线的方程为的距离为， 的面积.    题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解, （2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值    【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，，计算和（代入韦达定理的结论），两者相除可得． 【详解】证明：连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程，整理得，，∴， ， 又，∴（定值）． 【典例3】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，，解出；（2）设直线：，根据直线与椭圆相切可得，分别求出、坐标，计算整理． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，， 将代入得， 所以， 因为点是椭圆上一动点，所以， 所以面积， 由，求得， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立， 整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，得， 因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以， 所以， 将代入直线可得，所以， 所以， ，将代入上式， 得，所以为定值. 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)，根据斜率公式计算kPA·kPB，即可求解． 【详解】证明　设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)， 可得kAB·kPB＝· －. 又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，从而kPA·kPB＝－1，为定值． 【变式3】（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可； （2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）因为，椭圆C离心率为， 所以，解得，． 所以椭圆C的方程是； （2）①若直线l的斜率不存在时， 因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是， 所以点M的坐标是，点N的坐标是， 所以直线AM的方程是，直线BN的方程是． 所以直线AM，BN的交点Q的坐标是， 所以点Q在直线上． ②若直线l的斜率存在时，设斜率为k．所以直线l的方程为． 联立方程组消去y，整理得． 显然．不妨设，， 所以，． 所以直线AM方程是．令，得． 直线BN的方程是．令，得． 所以． 其中 ． 所以点Q在直线上    题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）. (1)当面积最大时，求椭圆的方程； (2)当时，若是线段的中点，求直线的方程； (3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】 （1）根据椭圆的性质及三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解； （2）根据已知条件及两点的斜率公式，利用直线的点斜式及中点坐标公式即可求解； （3）利用（2）的结论及向量的数量积的坐标表示，结合点在椭圆上即可求解. 【详解】（1） 由题意得，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时面积最大， 故椭圆方程为. （2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为， 因而,直线的方程为, 所以, 同理, 由,解得 所以直线的方程为,即. （3） 设，由（2）得 将代入上式，得 若定值，则必有. 把代入得， 所以存在点使得为定值. 【典例3】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入点的坐标，并根据离心率建立关于的方程组，即可求解； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，结合坐标间的关系，代入韦达定理，即可求解. 【详解】（1）由已知得：解得，， ∴椭圆E的方程为． （2）由题可设直线，，， 联立消去y得， 由根与系数的关系可得：，， 由，得， ∴，，∴， 即，解得， ∴直线的方程为或． 【变式1】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案. 【详解】因为椭圆的焦点为，， 所以设椭圆的方程为：, 设，，， 则，因为， 所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以或， 因为在上，所以，即， 解得：或，因为椭圆的焦点在轴上， 所以.故的方程为. 故选：D.    【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 【答案】(1)12 (2)20 【分析】（1）由焦距以及之间的关系列方程即可求解； （2）设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合已知和韦达定理即可求解. 【详解】（1）设焦距为，则，解得． （2） 要使点的横坐标最大，需直线斜率存在． 设，与椭圆联立得， 由韦达定理：． 由知，故， 要使点的横坐标最大，在这里不妨取， 所以，当且仅当时，等号成立． 当时，，即，此时． 【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长和通径求，即可得椭圆方程； （2）设，利用“设而不求法”把转化为，求出斜率k，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为短轴长为，所以， 由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为点在椭圆外，所以过该点的直线PQ的斜率必然存在， 可设直线PQ的方程为，， 联立方程，消去y得， 则，解得， 由根与系数的关系可知:， 可得. 由得，即， 解得:，符合， 所以直线PQ的方程为. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解. 【详解】，解得. 故选：C. 2．（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】将点的坐标代入椭圆方程即可求解长轴长. 【详解】因为椭圆E：经过点，所以，解得， 所以，所以E的长轴长为. 故选：C. 3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，则，，从而可求出离心率. 【详解】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（）， 连接，则，， 所以离心率． 故选：C 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 6．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得点的横坐标，则可得到椭圆离心率的取值范围. 【详解】由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点， 解得，所以，即，即， 又椭圆的离心率，所以得. 故选：D. 7．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 8．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解. 【详解】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知， 所以的周长为， 当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14. 故选：B 二、多选题 9．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．离心率 C．面积的最大值为12 D．以线段为直径的圆与圆相切 【答案】BCD 【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程可得，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，则， 由椭圆的定义可知，，故A错误； 由椭圆离心率公式可得，故B正确； 因为设点到轴的距离为，显然， 则面积的最大值为，故C正确； 线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为， 其圆心为，半径， 且圆的圆心为，半径， 则两圆的圆心距为， 即两圆外切，故D正确； 故选：BCD 10．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 【答案】AB 【分析】由椭圆的性质直接分析即可. 【详解】对A，因为椭圆C：， 的周长为，故A正确； 对B，因为，面积最大时高最大，为， 所以面积的最大值为，故B正确； 对C，椭圆C的焦距为，故C错误； 对D，椭圆C的离心率为，故D错误； 故选：AB 三、填空题 11．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由方程可知：，结合椭圆定义可得，结合题意分析求解即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 因为的周长为， 可得， 又因为，所以. 故答案为：. 12．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果. 【详解】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用离心率的定义求解； （2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解. 【详解】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2） 如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而，故. 所以，从而在直线上. 由知，故，结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【详解】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）    由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：，则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. B能力提升 1．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 【答案】4 【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断. 【详解】设点，则．由焦半径公式得， 故． ∵，∴，即． 又∵，解得，∴满足条件的点有4个． 故答案为： 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。 ②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。 ③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。 通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率． 知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)经过两点. (3)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)过点且与椭圆有相同焦点. 题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ． 【变式1】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【典例2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【典例3】（23-24高二·全国·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．需根据a，b的取值来确定 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式2】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高二上·江西吉安·期末）过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【变式1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　) A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为 . 题型08弦长 【典例1】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 【典例2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【变式1】（23-24高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 【变式2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 题型09中点弦和点差法 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 . 【典例3】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【变式1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线过点且与椭圆相交于两点,若点为弦的中点,则直线的方程为 ． 题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【典例2】（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【典例3】（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【变式1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积． 【变式2】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，求的面积．    题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值． 【典例3】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值． 【变式3】（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）. (1)当面积最大时，求椭圆的方程； (2)当时，若是线段的中点，求直线的方程； (3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【典例3】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【变式1】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）． (1)若椭圆的焦距为6，求的值； (2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值． 【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 二、多选题 9．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．离心率 C．面积的最大值为12 D．以线段为直径的圆与圆相切 10．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 三、填空题 11．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则的最大值为 . 12．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. B能力提升 1．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$