第一单元 圆柱与圆锥（易错思维训练）数学北师大版六年级下册

第一单元 圆柱与圆锥（易错思维训练） 1．将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 2．一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径的比是1∶3，它们的高的比是（    ）。 A．1∶1 B．3∶1 C．9∶1 D．27∶1 3．在一个容积是15L，内高24cm的长方体花瓶里倒入12.5L水，又将一个底面直径为22cm的圆锥形零件浸没水中后，测得水位高度23cm，圆锥形零件的高约是（    ）cm。 A．2 B．4.93 C．9.86 D．14.80 4．一个直角三角形，两条直角边分别是4cm和3cm。以下面两种方式旋转得到立体图形（每条旋转轴垂直于底边），旋转后图1的体积是图2体积的（    ）。 A． B． C． D． 5．将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 6．如下图，一个饮料瓶的饮料高度为5cm，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是7cm，已知这个饮料瓶的容积是504mL，则瓶内的饮料为（    ）mL。 A．294 B．280 C．210 D．200 7．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是（ ）分米。 8．在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 9．一个高为的圆柱形灯笼，用一张正方形的彩纸刚好可以围住灯笼的侧面，这个灯笼底部需要安装一个半径为（ ）的托盘。 10．一个输液瓶内有100mL药液，输液时要将输液瓶倒置。如果每分钟输液2.5mL，输液12分钟后瓶内所剩药液情况如下图所示。这个输液瓶的容积是（ ）mL。 11．一根长9m的圆柱形木头按5∶4截成一长一短两个小圆柱，表面积增加了，截成的较长的圆柱的体积是（ ），原来圆柱的侧面积是（ ）；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是（ ）。 12．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    （1）捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 （2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 13．已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 14．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 15．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 16．如下图，把一根长60cm的圆柱形木材沿平行底面的平面截去10cm长的一段，表面积减少了。原来这根圆柱形木材的表面积是多少？ 17．一个圆柱形玻璃缸的底面半径是10厘米，如图缸内盛有水，现将一个圆锥形铁块放入缸中。已知圆锥形铁块的底面半径是5厘米，高是12厘米，水会溢出吗？ 18．李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 19．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了10块相同的金属板材。已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，方式A：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；方式B：裁剪成3个侧面；方式C：裁剪成9个圆形底面。已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒（接头处忽略不计）。      （1）若每块金属板材都是边长为6分米的正方形，求出每个茶叶盒的表面积和体积；（取π≈3） （2）现已有2块金属板材按方式C裁剪，其余都按方式A或方式B裁剪，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 20．一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆柱体容器中装有5厘米深的水。将一个长方体铁块垂直放入水中，这时水的高度上升到7厘米，且刚好有的铁块浸没于水中。 （1）放入铁块后，容器侧面与水的接触面增加了多少平方厘米？ （2）这个铁块的体积是多少立方厘米？ 21．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 22．如下图，一个内直径10厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径5厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是。 （1）圆柱形铁块高多少？ （2）从里面量，量杯高多少？ （3）乐乐通过实验发现：继续往量杯内竖直浸没同样的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。请你通过计算证明实验结果。 23．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 24．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的，淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没。这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）做这个水桶需要铁皮多少平方厘米？（铁皮的厚度和接口处忽略不计） 25．有一个圆锥形土坯堆，底面积有8平方米，高3米，每立方米的土坯重2.5吨，甲、乙两人打算用这堆土坯来铺满围绕公园中圆形水池的周围一圈，铺好后可供植培绿化带，且要求周围一圈所铺的土坯宽度要一致以及高度也要一样厚，圆形水池的底面直径是10米，土坯的宽度是5分米，已知甲每小时可以铺好2吨土坯，比乙多。 （1）这堆土坯一共有多重？ （2）甲、乙两人合作几小时可以把这堆土坯铺完？ （3）用这堆土坯大约可以铺多少米厚的一圈？（圆周率≈3来计算，结果保留两位小数） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱与圆锥（易错思维训练） 1．将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 【答案】D 【分析】根据题意，这个圆柱体沿高剪开后是一个正方形，则说明这个圆柱体的底面周长等于高等于正方形的边长15.7cm，据此可以求出底面圆的半径，底面圆的半径＝底面圆的周长÷2÷，再根据公式圆的面积＝求出底面圆的面积乘2（有上下两个底面），再加侧面面积，侧面面积＝底面周长×高，据此即可求解。 【解答】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 故答案为：D 【点评】圆柱体沿高展开后是一个正方形，那么就意味着这个圆柱体的底面周长与高相等，以此算出底面半径即可解答此类题。 2．一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径的比是1∶3，它们的高的比是（    ）。 A．1∶1 B．3∶1 C．9∶1 D．27∶1 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，设圆柱和圆锥的体积为V，圆柱的底面半径为r，圆锥的底面半径为3r，分别求出圆柱、圆锥的高，进而求出它们高的比。据此解答。 【解答】设圆柱和圆锥的体积均为V，圆柱的底面半径为r，圆锥的底面半径为3r。 ∶ ＝∶ ＝∶ ＝∶ ＝∶ ＝3∶1 所以它们的高的比是3∶1。 故答案为：B 【点评】圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，通过设半径r和体积V，用含有未知数的式子把圆柱和圆锥的高分别表示出来，根据比的基本性质，化简比即可。 3．在一个容积是15L，内高24cm的长方体花瓶里倒入12.5L水，又将一个底面直径为22cm的圆锥形零件浸没水中后，测得水位高度23cm，圆锥形零件的高约是（    ）cm。 A．2 B．4.93 C．9.86 D．14.80 【答案】D 【分析】已知长方体的容积和高，则可通过长方体体积公式＝，先求出长方体的底面积，再根据浸没圆锥时，水位高23cm，则可求出此时容器内水和圆锥的总体积，而水的体积已知，作差就可求出圆锥的体积，根据＝，即可求出圆锥的高。计算时，注意将单位统一。 【解答】15L＝15dm3＝15000cm3 12.5L＝12.5dm3＝12500cm3 15000÷24×23－12500 ＝625×23－12500 ＝14375－12500 ＝1875（cm3） 22÷2＝11（cm） 1875×3÷（3.14×112） ＝1875×3÷（3.14×121） ＝5625÷379.94 ≈14.80（cm） 因此，圆锥形零件的高约是14.80cm。 故答案为：D 【点评】解题的关键是先根据长方体的体积公式求出放入圆锥后水上升的体积，该体积即为圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式求出圆锥的高。 4．一个直角三角形，两条直角边分别是4cm和3cm。以下面两种方式旋转得到立体图形（每条旋转轴垂直于底边），旋转后图1的体积是图2体积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图1，以直角三角形的长直角边4cm为轴旋转，那么形成的图形是一个底面半径为3cm、高为4cm的圆锥； 图2，如图的方式旋转，图2的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，圆柱、圆锥的底面半径都是3cm、高都是4cm； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出图1、图2的体积； 最后用图1的体积除以图2体积，求出图1的体积是图2体积的几分之几。 【解答】图1的体积： ×π×32×4 ＝×π×9×4 ＝12π（cm3） 图2的体积： π×32×4－×π×32×4 ＝π×9×4－×π×9×4 ＝36π－12π ＝24π（cm3） 图1的体积是图2体积的： 12π÷24π＝ 旋转后图1的体积是图2体积的。 故答案为：B 【点评】本题解题关键是通过圆柱体积减圆锥体积求出图2的体积。 5．将一根高5分米的圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分（如下图），这时表面积比原来增加了60平方分米。这根圆柱形木料原来的表面积是（    ）平方分米。 A．18π B．48π C．72π D．132π 【答案】B 【分析】根据题意，把一个圆柱形木料沿底面直径垂直切成两部分，表面积增加60平方分米，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面的长、宽分别等于圆柱的底面直径和高；用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面直径；然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【解答】圆柱的底面直径： 60÷2÷5 ＝30÷5 ＝6（分米） 圆柱的表面积： π×6×5＋π×（6÷2）2×2 ＝π×6×5＋π×9×2 ＝30π＋18π ＝48π（平方分米） 这根圆柱形木料原来的表面积是48π平方分米。 故答案为：B 【点评】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成两个半圆柱时，增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面直径和高为长、宽的长方形。 6．如下图，一个饮料瓶的饮料高度为5cm，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是7cm，已知这个饮料瓶的容积是504mL，则瓶内的饮料为（    ）mL。 A．294 B．280 C．210 D．200 【答案】C 【分析】从图中可知，瓶子的两种放法，饮料、无水部分的容积是不变的，将右图中圆柱形的无水部分移到左图，替换掉左图不规则的无水部分，则这个饮料瓶的体积相当于一个以瓶子的底面为底面，高为（5＋7）cm的圆柱的体积； 已知这个饮料瓶的容积，根据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出瓶子的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，用瓶子的底面积乘5，求出瓶内饮料的体积。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 【解答】504mL＝504cm3 504÷（5＋7） ＝504÷12 ＝42（cm2） 42×5＝210（cm3） 210cm3＝210mL 瓶内的饮料为210mL。 故答案为：C 【点评】本题考查圆柱体积（容积）计算公式的灵活运用，关键是把不规则的饮料瓶看作等体积的圆柱，利用圆柱的体积公式列式计算。 7．把一个圆柱削成最大的圆锥后，圆锥体积比圆柱体积少24π立方分米。如果圆锥的底面半径是3分米，圆柱的高是（ ）分米。 【答案】4 【分析】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍，算出圆锥的体积。根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积乘3除以π除以半径的平方即可算出圆锥的高，也是圆柱的高。 【解答】24π÷2＝12π（立方分米） 12π×3÷π÷32 ＝12π×3÷π÷9 ＝36π÷π÷9 ＝4（分米） 所以，圆柱的高是4分米。 【点评】把一个圆柱削成最大的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。24π立方分米相当于圆锥体积的2倍。 8．在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是（ ）cm，体积是（ ）cm3。 【答案】20 251.2 【分析】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【点评】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 9．一个高为的圆柱形灯笼，用一张正方形的彩纸刚好可以围住灯笼的侧面，这个灯笼底部需要安装一个半径为（ ）的托盘。 【答案】3 【分析】因为正方形的彩纸刚好可以围住圆柱形灯笼的侧面，所以正方形的边长必须同时等于圆柱的高和圆柱的底面周长。已知圆柱的高为18.84cm，因此底面周长也是18.84cm，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此求出底面半径即可。 【解答】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 所以这个灯笼底部需要安装一个半径为3cm的托盘。 【点评】圆柱侧面展开为正方形，故底面周长等于圆柱的高；利用圆的周长公式，由底面周长计算出底面半径。 10．一个输液瓶内有100mL药液，输液时要将输液瓶倒置。如果每分钟输液2.5mL，输液12分钟后瓶内所剩药液情况如下图所示。这个输液瓶的容积是（ ）mL。 【答案】150 【分析】根据输液速度×输液时间，求出已输药液的体积；再用全部药液的体积-已输药液体积，求出剩余药液的体积；由图可知，瓶内空白部分的体积是80mL，最后用空白部分的体积＋剩余药液的体积，即可求出输液瓶的容积，据此解答。 【解答】已输药液：（mL） 剩余药液的体积：（mL） 输液瓶的容积：（mL） 因此，这个输液瓶的容积是150mL 【点评】根据输液瓶容积＝剩余药液的体积＋空白部分的体积，计算出瓶内剩余药液体积是解答题目的关键。 11．一根长9m的圆柱形木头按5∶4截成一长一短两个小圆柱，表面积增加了，截成的较长的圆柱的体积是（ ），原来圆柱的侧面积是（ ）；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是（ ）。 【答案】15700 5652 9420 【分析】因为1m＝10dm，所以9m为9×10＝90dm。圆柱形木头截成两段后，表面积增加的是两个底面的面积，已知表面积增加了628dm2，那么一个底面的面积为628÷2＝314（dm2）。 木头按5∶4截成两段，总份数是（5＋4）份，较长圆柱的高占5份，所以较长圆柱的高90×＝50（dm）。 根据圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），把底面积314dm2和高50dm代入公式计算即可得到较长的圆柱的体积。 圆柱侧面积公式是S＝Ch（C是底面周长，h是高），由圆的面积公式S＝πr2，已知S＝314dm2，π取3.14，可得r2为314÷3.14＝100dm，因为100＝10×10，所以r＝10dm。根据圆的周长公式C＝2πr，可得周长为2×3.14×10＝62.8（dm），原来圆柱高90dm，所以用62.8乘90可得出原来圆柱的侧面积。 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，πr2为314dm2，h为90dm，代入公式可得原来圆柱体积为314×90＝28260（dm3），用28260乘即可得到等底等高的圆锥体积。 【解答】1m＝10dm 9×10＝90（dm） 628÷2＝314（dm2） 90×＝50（dm） 较长圆柱体积：314×50＝15700（dm3） 314÷3.14＝100（dm） 100＝10×10 2×3.14×10＝62.8（dm） 圆柱侧面积：62.8×90＝5652（dm2） 314×90＝28260（dm3） 等底等高的圆锥体积：28260×＝9420（dm3） 截成的较长的圆柱的体积是15700，原来圆柱的侧面积是5652；与原来圆柱等底等高的圆锥的体积是9420。 【点评】本题需注意单位统一及表面积增加的含义。利用截圆柱增加底面积求底面积，结合比例算高，再用公式求体积、侧面积，依据等底等高圆锥与圆柱体积关系求圆锥体积。主要是对各个公式的熟练运用。 12．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。    （1）捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 （2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 【答案】（1）57.12 （2）（9.12＋16n） 【分析】（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径； （2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。 【解答】（1）3.14×8＋（3－1）×2×8 ＝25.12＋2×2×8 ＝25.12＋4×8 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 综上所述：捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。 （2）3.14×8＋（n－1）×2×8 ＝25.12＋（n－1）×16 ＝25.12＋16n－16 ＝（9.12＋16n）厘米 综上所述：捆扎n个圆柱管一圈需要（9.12＋16n）厘米长的绳子。 【点评】解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。 13．已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 【答案】7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【分析】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【解答】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 14．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水箱长30厘米、宽25厘米，原水面高8厘米，水箱高10厘米，剩余空间高度为10－8＝2厘米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出剩余空间的容积； 铁块浸入后，水填满剩余空间并溢出70立方厘米，用剩余空间容积加上溢出水的体积即可求出铁块的体积； 已知圆柱形铁块的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积，根据“圆柱体积＝底面积×高”，用铁块的体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【解答】10－8＝2（厘米） 30×25×2 ＝750×2 ＝1500（立方厘米） 1500＋70＝1570（立方厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 1570÷314＝5（厘米） 答：圆柱形铁块的高是5厘米。 【点评】用水箱剩余空间的容积加上溢出水的体积求出圆柱形铁块的体积，再根据圆柱的体积公式求出圆柱形铁块的高。 15．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【解答】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【点评】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 16．如下图，把一根长60cm的圆柱形木材沿平行底面的平面截去10cm长的一段，表面积减少了。原来这根圆柱形木材的表面积是多少？ 【答案】 1607.68平方厘米 【分析】已知截去10cm长的一段，表面积减少了，表面积减少的部分就是截去部分的侧面积，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出底面直径，再根据圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2，据此解答。 【解答】底面直径：（厘米） 表面积： （平方厘米） 答：原来这根圆柱形木材的表面积是1607.68平方厘米。 【点评】理解表面积减少的部分就是截去部分的侧面积，是解题的关键。 17．一个圆柱形玻璃缸的底面半径是10厘米，如图缸内盛有水，现将一个圆锥形铁块放入缸中。已知圆锥形铁块的底面半径是5厘米，高是12厘米，水会溢出吗？ 【答案】不会 【分析】需要分别算出圆锥的体积和圆柱玻璃缸剩余的容积（即还能容纳的体积），然后比较两者大小，若圆锥的体积小于等于剩余容积，水不会溢出；反之则会溢出。涉及的公式有圆锥体积公式，圆柱体积公式。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） 314立方厘米＜628立方厘米 答：水不会溢出。 【点评】本题考查圆柱和圆锥的体积计算。解题关键是准确运用圆柱和圆锥的体积公式进行计算。 18．李强用铁皮分别做了两个无盖的容器，一个是圆柱体A，一个是长方体B（如图所示），并用一根连通管把这两个容器相连通。 （1）做长方体容器B至少用了多少铁皮？ （2）李强把容器B装满水后，打开连接阀，使容器B里的水向容器A内流。当两个容器内的水一样高时，水面的高度是多少厘米？（连通管内的水量忽略不计） 【答案】（1）3712平方厘米；（2）20厘米 【分析】（1）长方体容器B无盖，所以求其用的铁皮面积，就是求这个长方体5个面的面积之和（少一个上面）。长方体表面积公式（无盖）为S＝ab＋（ah＋bh）×2，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式解答。 （2）首先根据长方体的体积公式：V＝abh，其中a＝31.4厘米是长，b＝20厘米是宽，h＝30厘米是高。把数据代入公式求出长方体容器中水的体积，然后用这些水的体积除以圆柱的底面积（V＝πr2，π取3.14，r为20÷2＝10厘米）与长方体的底面积（S＝ab，a＝31.4厘米，b＝20厘米）之和即可。 【解答】（1）31.4×20＋（31.4×30＋20×30）×2 ＝628＋（942＋600）×2 ＝628＋1542×2 ＝628＋3084 ＝3712（平方厘米） 答：做长方体容器B至少用了3712平方厘米铁皮。 （2）31.4×20×30＝18840（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 31.4×20＝628（平方厘米） 18840÷（314＋628） ＝18840÷942 ＝20（厘米） 答：水面的高度是20厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式（S＝（ab＋ah＋bh）×2）、长方体的体积公式（V＝abh）、圆柱的底面积公式（S＝πr2）的灵活运用，然后利用这些公式灵活解答。 19．某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了10块相同的金属板材。已知每块金属板材可以有A，B，C三种裁剪方式，如图，方式A：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；方式B：裁剪成3个侧面；方式C：裁剪成9个圆形底面。已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒（接头处忽略不计）。      （1）若每块金属板材都是边长为6分米的正方形，求出每个茶叶盒的表面积和体积；（取π≈3） （2）现已有2块金属板材按方式C裁剪，其余都按方式A或方式B裁剪，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？ 【答案】（1）18平方分米；6立方分米 （2）18个 【分析】（1）从图中可知：正方形边长＝6分米＝底面直径×3＝高×3，高＝直径＝6÷3＝2分米。根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，即：S＝2πr2＋Ch＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，分别代入数据计算即可求出表面积和体积。 （2）从题意可知：已有2块金属板材按方式C裁剪，按方式A或方式B裁剪有10－2＝8块。设按方式A裁剪的有x块，按方式B裁剪的有（8－x）块。按方式C裁剪的底面有9×2＝18个，按方式A裁剪的底面有6x个，按方式A裁剪的侧面有x个，按方式B裁剪的侧面有3×（8－x）个。因为2个底面配一个侧面，即底面总个数÷2＝侧面总个数。据此列出方程求出x的值。再用10块板裁剪出的底面总个数除以2，即可求出茶叶盒的个数。 【解答】（1）6÷3＝2（分米） （2÷2）2×3×2＋2×3×2 ＝12×3×2＋2×3×2 ＝1×3×2＋2×3×2 ＝6＋12 ＝18（平方分米） （2÷2）2×3×2 ＝12×3×2 ＝1×3×2 ＝6（立方分米） 答：每个茶叶盒的表面积是18平方分米，体积是6立方分米。 （2）10－2＝8（块） 解：设剩下的板按方式A裁剪的有x块，那么按方式B裁剪的有（8－x）块。 （9×2＋6x）÷2＝x＋3×（8－x） 9×2÷2＋6x÷2＝x＋3×8－3x 9＋3x＝24－2x 9＋3x＋2x＝24－2x＋2x 9＋5x＝24 9＋5x－9＝24－9 5x＝15 5x÷5＝15÷5 x＝3 （9×2＋6×3）÷2 ＝（18＋18）÷2 ＝36÷2 ＝18（个） 答： 最多能加工18个圆柱形茶叶盒。 【点评】根据底面总个数÷2＝侧面总个数，列方程，求出按方式A裁剪的块数是解此题的关键。 20．一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆柱体容器中装有5厘米深的水。将一个长方体铁块垂直放入水中，这时水的高度上升到7厘米，且刚好有的铁块浸没于水中。 （1）放入铁块后，容器侧面与水的接触面增加了多少平方厘米？ （2）这个铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）37.68平方厘米 （2）226.08立方厘米 【分析】（1）已知把一个长方体铁块垂直放入水深5厘米的圆柱体容器中，这时水的高度上升到7厘米，则水上升了（7－5）厘米；容器侧面与水接触的面积增加的部分是一个底面直径为6厘米、高为（7－5）厘米的圆柱侧面积；根据圆柱的侧面积S侧＝πdh，代入数据计算，即可求解。 （2）已知把一个长方体铁块放入水中后，水的高度上升了（7－5）厘米，此时刚好有的铁块浸没于水中，那么水上升部分的体积即是长方体铁块体积的； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是长方体铁块体积的； 再把长方体铁块的体积看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出长方体铁块的体积。 【解答】（1）3.14×6×（7－5） ＝18.84×2 ＝37.68（平方厘米） 答：放入铁块后，容器侧面与水的接触面增加了37.68平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×（7－5） ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷ ＝56.52×4 ＝226.08（立方厘米） 答：这个铁块的体积是226.08立方厘米。 【点评】（1）先弄清楚容器侧面与水接触的面是哪些面，再根据圆柱的侧面积公式求解。 （2）明白水上升部分的体积即是铁块浸没于水中部分的体积，也就是整个长方体铁块体积的；先根据圆柱的体积公式求出长方体铁块体积的，再根据分数除法的意义求出整个长方体铁块的体积。 21．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解 （2）342克 【分析】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。 （2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。 【解答】（1）950÷19＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19 （950－x）÷19＋x÷9＝70 9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171 8550－9x＋19x ＝ 11970 8550－10x－8550＝11970－8550 10x＝3420 x＝342 答：皇冠被掺了342克铜。 【点评】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。 22．如下图，一个内直径10厘米的圆柱形量杯内有杯水。乐乐把一个直径5厘米的圆柱形铁块浸没其中，水面上升1厘米。这时，水面与杯底和杯口的高度比是。 （1）圆柱形铁块高多少？ （2）从里面量，量杯高多少？ （3）乐乐通过实验发现：继续往量杯内竖直浸没同样的圆柱形铁块，最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。请你通过计算证明实验结果。 【答案】（1）4厘米 （2）20厘米 （3）计算证明见详解 【分析】（1）水面上升的体积就是圆柱形铁块的体积，圆柱形量杯的底面积×水面上升的高度＝圆柱形铁块的体积，根据圆柱体积÷底面积＝高，求出圆柱形铁块的高。 （2）将量杯高看作单位“1”，圆柱形量杯内有杯水，则水面高度是量杯高的，水面上升1厘米后，水面与杯底和杯口的高度比是，由此可知，水面上升1厘米后，水面高度是量杯高的，水面上升高度是量杯高的（－），水面上升高度÷对应分率＝量杯高，据此列式解答。 （3）根据圆柱体积＝底面积×高，求出量杯容积，将量杯容积看作单位“1”，量杯内有杯水，量杯容积×水的对应分率＝水的体积，圆柱形量杯内直径10厘米，圆柱形铁块直径5厘米，说明量杯内一层可以放（10÷5）个圆柱形铁块。量杯底面积－铁块底面积＝放入铁块后水的底面积，水的体积÷水的底面积＝放入铁块后水的高度，水的高度÷铁块高＝能放的层数，能放得层数×每层块数＝放的总块数，求出的总块数是8即可。 【解答】（1） （立方厘米） （厘米） （厘米） 答：圆柱形铁块高4厘米。 （2） （厘米） 答：从里面量，量杯高20厘米。 （3） （立方厘米） （个） 每层可以放两个 （平方厘米） （厘米） （层） （个） 答：通过以上计算，可以证明最后量杯内的水正好淹没8个这样的铁块。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，理解比和分数除法的意义。 23．如图所示，有一块长方形铁皮，把其中的阴影部分剪下制成一个圆柱形油桶。（接口处忽略不计）    （1）圆柱形油桶的表面积是多少平方分米？ （2）圆柱形油桶的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）131.88平方分米 （2）113.04立方分米 【分析】（1）从图中可知，剪下的长方形做圆柱形油桶的侧面，剪下的两个圆分别做油桶的两个底面。那么长方形铁皮的长就是圆柱形油桶的底面周长，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出油桶的底面直径；长方形铁皮的宽减去油桶的底面直径，即是圆柱形油桶的高； 然后根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形油桶的表面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱形油桶的体积。 【解答】（1）圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（分米） 圆柱的高：10－6＝4（分米） 圆柱的表面积： 18.84×4＋3.14×（6÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×9×2 ＝75.36＋56.52 ＝131.88（平方分米） 答：圆柱形油桶的表面积是131.88平方分米。 （2）3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方分米） 答：圆柱形油桶的体积是113.04立方分米。 【点评】本题考查圆柱表面积、体积公式的灵活运用，结合图形，找出长方形的长、宽与圆柱的底面周长和高的关系是解题的关键。 24．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的，淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没。这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）做这个水桶需要铁皮多少平方厘米？（铁皮的厚度和接口处忽略不计） 【答案】（1）20厘米 （2）1570平方厘米 【分析】（1）把水桶的高看成单位“1”，由题意可知，2厘米相当于水桶高的（1−），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 （2）根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，据此可以求出水桶的底面积，进而求出水桶的底面半径，再根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】（1）2÷（1−） ＝2÷ ＝20（厘米） 答：这个水桶的高是20厘米。 （2）水桶的底面积：628÷2＝314（平方厘米） 314÷3.14＝100（平方厘米） 因为10的平方是100，所以水桶的底面半径是10厘米 2×3.14×10×20＋314 ＝62.8×20＋314 ＝1256＋314 ＝1570（平方厘米） 答：做这个水桶需要铁皮1570平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．有一个圆锥形土坯堆，底面积有8平方米，高3米，每立方米的土坯重2.5吨，甲、乙两人打算用这堆土坯来铺满围绕公园中圆形水池的周围一圈，铺好后可供植培绿化带，且要求周围一圈所铺的土坯宽度要一致以及高度也要一样厚，圆形水池的底面直径是10米，土坯的宽度是5分米，已知甲每小时可以铺好2吨土坯，比乙多。 （1）这堆土坯一共有多重？ （2）甲、乙两人合作几小时可以把这堆土坯铺完？ （3）用这堆土坯大约可以铺多少米厚的一圈？（圆周率≈3来计算，结果保留两位小数） 【答案】（1）20吨 （2）小时 （3）0.51米 【分析】（1）求出圆锥形土坯堆的体积乘上每立方米的土坯重即可解答。 （2）由（1）可得工作总量，求出甲乙的工作效率之和，用工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此可解答。 （3）根据题意，求出圆环土坯的面积，用土坯的体积除以圆环土坯的面积即为土坯的厚度。 【解答】（1）×8×3×2.5 ＝×60 ＝20（吨） 答：这堆土坯共重20吨。 （2）2÷（1＋） ＝2÷ ＝1.5（吨） 20÷（2＋1.5） ＝20÷3.5 ＝（小时） 答：甲、乙两人合作小时可以把这堆土坯铺完。 （3）5分米＝0.5米 圆形水池的半径：10÷2＝5（米） 3×[（5＋0.5）2－52] ＝3×5.25 ＝15.75（平方米） ×8×3÷15.75 ＝8÷15.75 ≈0.51（米） 答：用这堆土坯大约可以铺0.51米厚的一圈。 【点评】本题考查圆锥的体积、工程问题和圆环的面积，熟记这些知识点的公式是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $