2025-2026学年高一上学期数学期末复习人教A版必修第一册

2025-2026学年高一上学期1月期末模拟考数学试题 总分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（    ） A．， B． C．， D．， 3．已知函数，则是为偶函数的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 4.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C．或 D．， 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分． 9．在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（    ） A． B． C．扇形的面积 D．角所对的弧长 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图像过点则 . 13．已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为 . 14．已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 15．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16.已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 17．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 18.已知，函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：. 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单选题 1．B 【分析】解不等式化简集合A，再由并集的定义求. 【详解】，又， 所以. 故选：B 2．C 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为，. 故选：C 3．B 【分析】由充分条件和必要条件的定义及正（余）弦函数的奇偶性即可得到结果. 【详解】先判断充分性： 当时，，函数为偶函数，满足充分性； 再判断必要性： 当为偶函数时，，即， 展开得， 即， ∴，∴，即，不满足必要性， ∴是为偶函数的充分不必要条件， 故选：B. 4. 【答案】A 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得， 故A正确. 5．D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 6．C 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：C 7．A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 8．B 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、多选题 9．BC 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 10．ABD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D． 【详解】函数， 令，则.    对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，所以D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．0 【分析】由幂函数定义得的值，代入点坐标求得的值，然后得到. 【详解】由题意可知， ∵幂函数的图像过点， ∴，即b=-1， ∴a+b=0. 故答案为：0. 13. 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 14． 【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可. 【详解】∵，∴ ∵，∴，∴ ∴ 要使，总，使得成立， 则需满足： ∴ ，解得或 ∴的取值范围是. 【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考查二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析． 四、解答题 15．(1) (2) 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式求解． 【详解】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，其中不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 16.【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 17．(1) (2)和. (3). 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【详解】（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，     函数的最小正周期，又，所以，     由，所以，，解得，，又，得，     所以. （2）令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. （3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，     又图象经过点，所以，，     解得，，所以，即的最小值是. 18．(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【详解】（1）解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. （2）为增函数. 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. （3）原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 19．(1)不是，证明见解析； (2)存在，； (3)． 【分析】（1）先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解； （2）先假设存在一个“翻倍区间”，再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数即可分析求解； （3）由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B A D C A B BC AD BCD 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．B 【分析】解不等式化简集合A，再由并集的定义求. 【详解】，又， 所以. 故选：B 2．命题“，”的否定为（    ） A．， B． C．， D．， 2．C 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为，. 故选：C 3．已知函数，则是为偶函数的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 3．B 【分析】由充分条件和必要条件的定义及正（余）弦函数的奇偶性即可得到结果. 【详解】先判断充分性： 当时，，函数为偶函数，满足充分性； 再判断必要性： 当为偶函数时，，即， 展开得， 即， ∴，∴，即，不满足必要性， ∴是为偶函数的充分不必要条件， 故选：B. 4.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 4. 【答案】A 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得， 故A正确. 5．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：D. 6．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C．或 D．， 6．C 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：C 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 7．A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 8．设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．B 【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需， 依题意，方程有6个不同的实数解， 令，则有两个不相等的实数根， 且，令， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象. 二、多选题 9．在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（    ） A． B． C．扇形的面积 D．角所对的弧长 9．BC 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 10．AD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项不正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不一定单调 11．ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D． 【详解】函数， 令，则.    对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，所以D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．已知幂函数的图像过点则 . 12．0 【分析】由幂函数定义得的值，代入点坐标求得的值，然后得到. 【详解】由题意可知， ∵幂函数的图像过点， ∴，即b=-1， ∴a+b=0. 故答案为：0. 13．已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为 . 13. 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 14．已知函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围是 . 14． 【分析】先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可. 【详解】∵，∴ ∵，∴，∴ ∴ 要使，总，使得成立， 则需满足： ∴ ，解得或 ∴的取值范围是. 【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考查二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析． 三、解答题 15．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．(1) (2) 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式求解． 【详解】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，其中不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 16.已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 16.【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 17．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 17．(1) (2)和. (3). 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【详解】（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，     函数的最小正周期，又，所以，     由，所以，，解得，，又，得，     所以. （2）令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. （3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，     又图象经过点，所以，，     解得，，所以，即的最小值是. 18.已知，函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：. 18．(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【详解】（1）解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. （2）为增函数. 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. （3）原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 19．(1)不是，证明见解析； (2)存在，； (3)． 【分析】（1）先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解； （2）先假设存在一个“翻倍区间”，再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数即可分析求解； （3）由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $