8.2 特殊的平行四边形（4）----菱形 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“菱形的判定”，通过回顾菱形概念（既是性质也是判定），引导学生探索“四边相等的四边形是否为菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是否为菱形”，搭建从定义到判定定理的学习支架，衔接前后知识。 资料设计探索、讨论、例题及分层习题，鼓励学生主动探究，发展合情推理与创新意识，通过矩形折叠等情境题培养几何直观与应用意识，助力学生掌握判定方法，提升数学思维与实践能力。

2025年秋八年级数学下册导学案(8-8) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：8.2 特殊的平行四边形（4）----菱形（2） 学习目标： 1、掌握四边形是菱形的条件，进一步获得判定菱形的方法； 2、经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识，和主动探究的习惯。 3、创设问题情境、丰富学生的生活经验，激发学生学习数学、应用数学的兴趣和意识. 学习重点：探索四边形是菱形的条件及菱形的判定方法的应用 学习难点：探索四边形是菱形的条件及菱形的判定方法的应用 自学要求：认真阅读教材P79-81，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的概念， 它既是菱形的性质，也是菱形的一个判定， 那么菱形还有哪些判定方法呢？ 2、 探索新知： 问题：菱形的四条边相等，对角线互相垂直，反过来， (1)四边相等的四边形是菱形吗?(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 如图，在四边形ABCD中，由AB=DC，AD=BC，可得四边形ABCD是平行四边形. 因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以ABCD是菱形. 观察下图可以发现，在对角线互相垂直时， 平行四边形看上去像是菱形. 如图,在ABCD中，AC⊥BD,垂足为O. 由BO=DO,AC⊥BD, 可得AB=AD.所以ABCD是菱形。 讨论： （1）如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗? （2）如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗? 小结： 菱形的判定定理： 四边相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言 如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 如图，在口ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形. 试一试： （1）下列条件中，能判断四边形是菱形的是 （　　 ） 　A、两条对角线相等　　　　　　 B、两条对角线互相垂直 　C、两条对角线互相平分　　　　 D、两条对角线互相垂直平分 （2）如图,口ABCD的对角线AC,BD交于点O, 以下条件不能证明ABCD是菱形的是 （ ） A、∠BAC=∠BCA B、∠ABD=∠CBD C、OA2+OB2=AD2 D、AD2+OA2=OD2 二、例题讲解 例1、如图，直线a//b，点A，C分别在a、b上，AC的垂直平分线分别与a,b相交于点D、B， 垂足为O.连接AB，CD。求证：四边形ABCD是菱形。 例2、.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF=1.5。 (1)求证：四边形AECF是菱形；(2)求线段EF的长。 三、基础强化： 1、如图，在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE∥CA,DF∥BA. 下列四个结论中,不正确的是 (　　 ) A.四边形AEDF是平行四边形 B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形 C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是矩形 D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形 2、如图,由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD， 则四边形ABCD面积的最大值是( ) A.15 B.16 C.19 D.20 3、如图1是一款风筝,图2是其骨架示意图，A,B,C,D是矩形的 四个顶点,点E,F在AB中垂线上，∠EAB=∠FDC=45°,AF,DE 交于点G,CE,BF 交于点H.若AB=10 dm,BC=7dm, 则骨架总长(图2中所有实线之和)为 m. 4、如图，在ABC中，AC=BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， 连接DE，DF.求证：四边形CFDE是菱形。 4、 拓展提高： 如图,在矩形纸片ABCD中，AB=6，bC=8,将矩形纸片折叠,使点B与点D重合，点A落在点E处, FG是折痕,连接BF.(1)求证:四边形BGDF是菱形；(2)求折痕FG的长. 五、总结反思： 菱形的判定定理： 四边相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言 如图，在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 如图，在口ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形. 六、达标检测： 1、下列说法中，错误的是 （　　 ） 　A、一组邻边相等的平行四边形是菱形　　　B、菱形的两条对角线相等 　C、四边都相等的四边形是菱形　　　 　D、菱形的每一条对角线平分这一组对角 2、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC， AP、DP相交于点P，请你判断四边形AODP的形状，并说明理由. 答案： 试一试： （1）D （2）D 二、例题讲解 例2、解：(1)证明：∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=2, ∴CD=AB=4,AD=BC=2,∠D=∠B=90°. ∵BE=DF=1.5,∴CF=AE=4-1.5=2.5,AF=CE= =2.5 ∴AF=CF=CE=AE, ∴四边形AECF是菱形. (2)如图所示,过点F作FH⊥AB于点H,则∠AHF=90°. 又∵∠D=∠BAD=90°,∴四边形AHFD是矩形, ∴AH=DF=1,5,FH=AD=2, ∴EH=2.5-1.5=1,∴EF===. 三、基础强化：1、C 2、D 3、59+10 4、证明：∵AC=BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴AF=CF=AC, BE=CE=BC. AD⊥BC, ∴DF=AC,DE=BC ∴CF=DF=DE=CE, ∴四边形CFDE是菱形。 四、拓展提高： (1)证明：∵将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕， ∴BF=DF， BG=DG,∠BFG=∠DFG, ∴四边形ABCD是矩形，∴AD= BC=8,AD//BC, ∴∠DFG= ∠BGF,∴∠BFG=∠BGF,∴BF=BG ∴BF=DF=BG=DG,∴四边形BGDF是菱形; (2)解:过F作FM_BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABM=90°,∴四边形ABMF是矩形。 ∴AB=FM=6，AF=BM,设AF=x，则BF=DF=8-x，在Rt△BAF中 由勾股定理得：AB2+AF2=BF2，即62+x2=(8-x)2,x=.即AF=，BG=8-x=. MG=BG-BM= ,在Rt△FMG中，由勾股定理得： FG=. 六、达标检测： 1、B 2、解：四边形AODP是菱形。理由如下： ∵AP∥BD，DP∥AC， ∴四边形AODP是平行四边形。 ∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=AC,DO=BD,且AC=BD. ∴AO=DO,∴四边形AODP是菱形。 学科网（北京）股份有限公司 $