第13节 二次函数的图象与性质(一)-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

第13节二次函数的图象与性质（一） 课前小测 1A2.C3y=-3-3+54y=3,上 知识梳理 b（-b,）增大减小减小 2a 增大 4ac-b2 4ac -b2 Aa Aa y轴左侧右侧 正负没有交点 题型精讲攻重难 例1C变式1C例2D变式2C 例3（1)函数的表达式为y=(x-1)2,该函数图象 的顶点坐标为(1,0)，解答过程略； (2)a=1,b=3.理由略； (3)证明略， 变式3(1)二次函数的表达式为y=一-x+ 三解答过程略 (2)二次函数的图象不经过点(-2,4)，理由略. 例4A变式4D 例5解：(1)二次函数为y=x2+bx+c, “题物线的对称轴为直线x=一合一分 2 ∴.b=1,.二次函数的表达式为y=x2+x+c 又图象经过点A(-2,5), ∴.4-2+c=5,∴.c=3, ∴二次函数的表达式为y=x2+x+3; (2)点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移 m(m>0)个单位长度，.平移后的点为(1-m,9). 又（1-m,9)在y=x2+x+3的图象上， .9=(1-m)2+(1-m)+3, 解得m=4或m=-1(舍去)，∴.m=4; (3)y=2+*3=(x+7+ 当n<-7时， 最大值与最小值的差为5-[(m+宁P+号]-是 1 解得n=乃=-2，不符合题意，舍去 当-分≤≤1时，最大值与最小值的差为5-号 子，符合题意 当>1时，最大值与最小值的差为(n+)尸+号 -号-号，解得%=1=-2，不符合题意，舍去 综上所述，n的取值花围为-乃≤n≤1， 浙江新中考 变式5解：(1)①.b=4,c=3, .y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, .函数图象的顶点坐标为(2,7)； ②-1≤x≤3中包含x=2,-1<0, .当x=2时，y有最大值7. 2-(-1)>3-2, .当x=-1时，y有最小值为-2， .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7； (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的 最大值为3， “抛物线的对称轴直线x=夕在)轴的右侧， 课 ∴.b>0. 堂 .·抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， 精 .c=2. 又4x(》xc=B=3,6=±2. 讲 4×(-1) 本 .b>0,∴.b=2, .二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. 高频易错 例 -1或2或± 4 第14节二次函数的图象与性质（二） 课前小测 1.(1)x1=-1,x2=5;x1=0,x2=4; (2)-1<x<5:x<0或x>4. 知识梳理 两个交点一个交点没有交点 题型精讲攻重难 例1A变式1C 例2解：(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5, 得1-a+5=0,解得a=6; (2)由(1)可知y=x2-6x+5, 对称辅为直线2-3 点A(0,t)在y轴上，过点A(0,t)与x轴平行的直 线交抛物线于B,C两点， .B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t. 又点B为线段AC的中点，∴.xc=2xg, +=3 2 =2*g=3,xg=2. 将x=2代入y=x2-6x+5, 得y=22-6×2+5=-3, .t=-3; (3)如解图，y=x2-6x+5=(x-3)2-4, ∴.抛物线的顶点坐标为(3，-4). 抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两 条均与x轴平行的直线1，l2之间，且m<3<n, .下方的平行线不能在顶点(3，-4)上方. 直线11，l2之间的距离为16， 文学 参考答案 5第13节 二次函数的图象与性质（一） [2024.23,10分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 函数二次函数 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增） c 教材知识 夯基础 侵课前小测 1.关于二次函数y=x2-4x+5,下列结论中正确的 当=会时，y有当x=品时，y有 是( )[知识点1] 最值 最小值，y的最小值最大值，y的最大值 A.图象的对称轴过点(2,0) 为 为 B.当x>-2时，y随x的增大而增大 C.图象与x轴有两个公共点 知识点2 二次函数图象与系数a,b,c的关系 D.函数的最小值为5 项目 2.已知关于x的二次函数y=x2+(b-3)x-b的图 符号 图象特征 字母 象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 a>0 开口向上 Ial越大， ()[知识点2] a a<0 开口向下 开口越小 A.b<3B.b>3C.b≤0 D.b<0 b=0 3.（教材改编)已知二次函数y=ax2+bx+c,当x= 对称轴为 1时，y=3;当x=-2时，y=7;当x=3时，y=-3. 6 ab>0 对称轴在y轴 该二次函数的表达式为 [知识点3] 左同右异 ab<0 4(教材文编)抛物线y=3(x-2)2+号可以由抛物 对称轴在y轴 c=0 抛物线过原点 线 先向右平移2个单位长度，再向 c>0 抛物线与y轴交于 半轴 平移2个单位长度得到[知识点4] c<0 抛物线与y轴交于 半轴 ®知识梳理 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶，点） 知识点1二次函数的图象与性质 表达式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0) b2 -4ac b2 -4ac >0 与x轴有两个不同的交点 开口向上(a>0) 开口向下(a<0) b2-4ac <0 与x轴 大致图 象（抛物 知识点3二次函数表达式的确定 线) 1.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)； 对称轴 对称轴为直线x= (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0，其中(h,k)为 及顶点 顶点坐标为 顶点坐标)； 坐标 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，其中x1, 在对称轴右侧时， 在对称轴右侧时， x2是抛物线与x轴交，点的横坐标). y随x的增大而 y随x的增大而 2.待定系数法确定二次函数表达式 增减性 (1)已知表达式y=ax2+bx+c 在对称轴左侧时， 在对称轴左侧时， 若系数a,b,c中有几个未知，则需要代人函数图 随x的增大而 y随x的增大而 象上几个点的坐标，联立方程（组）求解； 第三单元函数 49 (2)需设表达式 知识点4二次函数图象的平移 ①已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴及 常将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 抛物线与x轴的一个交点，常设表达式为y= 平移前 平移后的 a(x-x1)(x-x2)(a≠0)； 平移方式 规律 的表达式 表达式 ②已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大（小）值 向左平移m个 y=a(x-h+ 时，常设表达式为y=a(x-h)2+k. 单位长度 m)2+k 给x左加 技巧点拨++++++++十++ 向右平移m个y=a(x-h- 右减 (1)顶点在原点，设y=ax2; y=a(x- 单位长度 m)2+k (2)顶点在x轴上，设y=a(x-h)2; h)2+k 向上平移n个 y=a（x 给等号右 (3)顶点在y轴上（或对称轴是y轴），设 单位长度 h)2+h+n 边整体上 y=ax'+c; 向下平移n个 y=a（x 加下减 单位长度 (4)抛物线过原点，设y=ax2+bx. h)2+k-n 题型精讲 攻重难 题型一 二次函数的图象与性质 新题变式练 例1(2025绍兴诸暨市三模)已知点(x1,y1),(x2, 变式1已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象 y2)为二次函数y=x2图象上的两点（不为顶，点）， 经过A(?,y),B(3a,)两点，则下列判断正确 则以下判断正确的是 的是 A.若x1>x2,则y1>y2 B.若x1<x2,则y1<y2 A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值，都有y1>a C.若x1x2>(x2)2,则y1>y2 C.可以找到一个实数a,使得y2<0 D.若x1x2<(x2)2,则y1<y2 D.无论实数a取什么值，都有y2<0 题型二二次函数的图象与系数a,b,c的关系 新题变式练 例2(2023台州中考)抛物线y=ax2-a(a≠0)与直 变式2(2025舟山三模)二次函数y=ax2-4ax+3 线y=kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.若x1+ 的图象上有A(a,y1),B(4,y2)两点.下列正确的 x2<0,则直线y=ax+k一定经过 () 选项是 A.第一、二象限 A.当0<a<2时，y1>y2 B.第二、三象限 B.当a>2时，y1<y2 C.第三、四象限 C.当a<0时，y1<y2 D.第一、四象限 D.当a>4时，y<y2 50 浙江新中考数学课堂精讲本 题型三二次函数表达式的确定 新题变式练 例3在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1(a,b是 变式3(2024绍兴校级模拟)已知二次函数图象的 常数，a≠0). (1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求 顶点是(-1,2)，且过点〔0,2》. 函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； (1)求二次函数的表达式； (2)写出一组a,b的值，使函数y=ax2+bx+1的 (2)判断该二次函数的图象是否经过点(-2,4)， 图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； 并解释你的判断. (3)已知a=b=1,当x=p,9(p,9是实数，P≠q) 时，该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2, 求证：P+Q>6. 题型四二次函数图象的平移 @ 新题变式练 例4将抛物线y=x2向上平移3个单位，所得抛物线 变式4(2024舟山普陀区二模)二次函数y=ax2+ 的解析式是 bx+c(a<0)的图象经过点(6，c),向左平移t(t> A.y=x2+3 B.y=x2-3 0)个单位长度后得到新抛物线，直线y=px+q(p> C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2 0)与新抛物线有两个交点P(2t,y1),Q(2t+2, y2),则t的取值范围为 () A.0<t<2 B.0<t<3 c0<号 D.0<号 第三单元函数51 题型五二次函数的最值(2024.23) 新题变式练 例5(2024浙江统考)已知二次函数y=x2+bx+c 变式5(2023绍兴中考)已知二次函数y=-x2+ (b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为 bx +c. 直线x分 (1)当b=4,c=3时， ①求该函数图象的顶点坐标； (1)求二次函数的表达式； ②当-1≤x≤3时，求y的取值范围； (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移 (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最 m(m>0)个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的 大值为3，求二次函数的表达式， 图象上，求m的值； (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c的最 大值与最小值的差为}，求n的取值范围， 易错点二次函数图象与系数a,b,c的关系 例函数y=(m+1)x2+2mx-m+2的图象与坐标轴有且仅有两个交点，则m= 【错因分析】本题容易出错的地方在于题中没有指明是二次函数，需要分一次函数和二次函数两种情况讨 论，另外要注意若是二次函数，要分图象经过原点和不经过原点的情况. 【思考总结】 温馨提示清完成《课后作业本A)P14~15习题 52 浙江新中考数学课堂精讲本