第5节 一次方程(组)及其应用-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

方程（组)与不等式（组）知识脉络图 转化-→一元一次方程 將 二元一次 性质1若a=b,则a±c=b±c 代入消元法 方程（组) 一次方程（组） 10 加减消元法 等式的性质 去分母 依据 若a=b,则ac=bc 去括号 去 性质2 若a=b,c≠0，则是=名 移项 解方程（组）的步骤 合并同类项 拿 系数化为1 性质1 注意验根 若a<b,b<c,则a<c 去分母，化为整式方程 分式方程 方程（组） 性质2 若a>b,则a±c>b±c 过 的解法 不等式的 若a>b,c>0,则ac>bc 甜 求根公式：x=-b±√62-4ac 2a 基本性质 咸会>名) 降 若a>b,c<0,则ac<bc 盗 直接开平方法、公式法 次 因式分解法、配方法 性质3 (咸名<名) b2-4ac 根的判别式 一元二次方程 方程（组） 依据 去分母 +=-名，名出= 应用 根与系数的关系 与不等 解一元一次 去括号 式（组） 不等式的步骤 移项 棉 合并同类项 销售问题 系数化为1 工程问题 典 一次方程（组）】 不等式（组） 行程问题 的解法 同大取大， 份 分配问题 同小取小 石瓷（电） 解一元一次 大小小大中间取 购买问题 不等式组 大大小小取不了 工程问题 (2025 分式方程 方程（组）的 行程问题 应用 航行问题 实际应用 行程问题 工程问题 平均变化率问题 循环问题 不等式的 销售问题 14。2024 一元二次方程 实际应用 面积问题 结果要符合实际情况 积分问题 每每问题 方案问题 核心素养：抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识 第5节 一次方程（组）及其应用 [2025.7,3分、2024.18,8分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 理解方程解的意义（新增） 方程 掌握等式的基本性质 方程与方程组 能解一元一次方程 方程组 掌握消元法（改动） 教材知识 夯基础 侵课前小测 (1)去分母：将方程的两边同乘各分母的最 1.下列说法正确的是( )[知识点1] A若号=总(e0),则a=bB若ac=k,则a- 简公分母，注意不要漏乘常数项； (2)去括号：注意括号前的系数与符号； C.若a2=b2,则a=b D若 3x=6,则x=-2 解方程(3)移项：移项要变号； 步骤 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0) 2.若3x+1-1=2x 2 4,则x= .[知识点2] 的形式； (5)系数化为1：两边同除以未知数的系数 「x=2y+3 3.(教材改编)方程组 的解为 a,得到方程的解 L4x+5y=-1 [知识点3] 知识点3二元一次方程（组） 4.某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图 书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的 解题 标价分别定为每本15元、40元.[知识点4] 思路 元一次方程组消元 转化为一元一次方程 (1)若书店恰好用了2300元购进这100本图书， 则购进甲图书本，购进乙图书 本； (1)代入消元法：如果方程组中至少一个方 (2)在(1)的结论下，在销售时，该书店考虑到要 程里有一个未知数的系数是1或-1，选用 迅速将图书售完，于是甲图书打八折出售，乙图 此方法较简单； 书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销 (2)加减消元法： 解题 售完后共获利460元，则乙图书应打 折 ①当方程组中同一个未知数的系数相同或 方法 出售 相反时，选用此方法较简单； ®知识梳理 ②当同一个未知数的系数既不相同也不相 知识点①等式的性质 反时，可通过找系数的最小公倍数使其系 应用 数相同或相反 性质1 如果a=b,那么a±c= 解方程 中的移项 知识点4一次方程（组）的实际应用 (1)如果a=b,那么ac= 应用解方 列方程（组）解应用题的一般步骤 程中的去分母； 性质2 (1)审题：分析题意，找出题中的等量关系； (2)如果a=b,c≠0，那么 (2)设元：选择适当的未知数，用字母表示； 应用解方程中的系数化为】 (3)列方程（组）：根据等量关系列方程（组）； (4)解方程（组）：解方程（组），求出未知数的值； 知识点2一元一次方程 (5)检验：检验方程（组）的解是否正确和符合 一般 题意； ax+b=0(a,b是常数，且a≠0) 形式 (6)作答：规范作答，注意单位 18 浙江新中考数学课堂精讲本 题型精讲攻重难 题型一等式的性质 新题变式练 例1(2025宁波校级模拟)将等式a=b-1进行变 变式1等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有 形，其中变形正确的是 () 相同性质的是 () A.a-1=b B.-a=1-b 九中色 C.a-3=b-2 D.2a=2b-1 变式1题图 A.如果a=b,那么ac=bc B.如果a=b,那么g=b(c≠0) C.如果a=b,那么a+c=b+c D.如果a=b,那么a2=b2 题型日一次方程（组）的解 0 新题变式练 例2-1(2025杭州校级模拟)x=3是下列哪个方程 变式2-1若关于x的方程x+a=5的解为x=1,则 的解 () a= A.5x-2=4x+1 B.5x-2=4x-1 C.5x+2=4x-1 D.5x+2=-4x-1 例2-2(2025杭州校级二模)已知=1 {=2是方程 变式2-2(2025舟山三模)已知=，-2 关于x,y ly=1 ax-6y=4的一组解，则a的值为 2x+3y=m 的二元一次方程组 的一组解，则 nx-y=3 m-2n的值为 题型三一次方程（组）的解法(2024.18) 新题变式练 例3-1(2023衡州中考)如图，小红在解方程背 变式3-1若x,y满足方程组2x-y=2 2x+5y=6则x+y的 4-1+1时，第一步出现了错误： 6 值为 (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； 变式3-2解方程：2(x-1)=2+x (2)写出你的解答过程 解：2×7x=(4x-1)+1, 例3-1题图 第二单元方程（组）与不等式（组）19 2x-y=5 例3-2(2024浙江统考)解方程组： 4x+3y=-10 题型四一次方程（组）的实际应用(2025.7) 例4-1(2023丽水中考)古代中国的数学专著《九 章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三 斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思 是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代 中国1斤等于16两).今有干丝12斤，问原有生 丝多少？”则原有生丝为 斤. 例4-2(2025浙江统考)手工社团的同学制作两种 手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条，单个 手工艺品材料用量如表， 材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他 们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方 程组是 A.5e+3y=17 B. [5x+3y=10 2x+y=10 2x+y=17 5x+2y=17 r5x+2y=10 C. D 3x+y=10 3x+y=17 20浙江新中考数学课堂精讲本 变式3-3(2025温州校级模拟)解方程组： [x=y+1 l2x-3y=2 新题变式练 变式4-1(2025杭州上城区九年级期末)《九章算 术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安， 五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日， 甲仍发长安.同几何日相逢？译文：甲从长安出 发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙 先出发2日，甲才从长安出发.问甲经过多少日与 乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程为 () 72+1 B.7。-5=1 x+2 x C.+2=多 7-5 n2+号-1 变式4-2一家商店某种衣服按进价提高50%后标 价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100 元，则这件衣服的进价是 元. 变式4-3(2025杭州滨江区二模)我国古代数学专 著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、 乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙 的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的}若设甲 原有x钱，乙原有y钱，则可列方程组为 技巧点拨 基本的数量关系： (1)打折销售问题 ①销售额=售价×销量； ②售价=标价×折扣（几折就乘十分之几）； ③利润=售价-进价； ④利润率=利润×100%. Γ进价 (2)工程问题 工程总量=工作效率×工作时间.（工程总量 常看作单位“1”) (3)行程问题 ①基本关系式：路程=速度×时间； ②相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全程； ③追及问题：同地不同时：前者走的路程=追者 走的路程；同时不同地：前者走的路程+两者间 的距离=追者走的路程. (4)分配问题 ①甲数量+乙数量=总数量； ②甲单价×甲数量+乙单价×乙数量=总价， 高频易错+ 易错点解方程（组） 例以下是圆圆解方程*+1-七，3=1的解答 2 3 过程 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1, 去括号，得3x+3-2x+3=1, 移项、合并同类项，得x=-5. 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误， 写出正确的解答过程， 【错因分析】本题容易出错的地方在于漏乘不含 分母的项. 【思考总结】 温馨提示请完成《课后 变式4-4自2025年5月9日起至2025年12月31 日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速 公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠.小悦一 家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全 程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境 广西境内 广西境内 内路段 特定路段 其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经 湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的 高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的 高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用 代数式表示) (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内）， 高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A 市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市 间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原 价分别是多少元 作业本A》P6~7习题 第二单元方程（组）与不等式（组） 21参考答案 1.课堂精讲本 第一单元数与式 题型精讲攻重难 第1节实数 例1x≠2变式12例2D变式2C 例3原式=a-1,解答过程略. 课前小测 变式3原式=x+2,解答过程略.当x=3时，原式= 1.c201,-4百6-5，m,l02m2022 3+2=5. 例4D变式4B 0…(相邻两个0之间2的个数逐次加1)3.（1)4， 课 高频易错 堂 4,-4(2)-1和54.1.6x105.<,> 1 15 6.4 例1C例2略 精 知识梳理 第4节二次根式 讲 0±1大大小>> 课前小测 本 题型精讲攻重难 1.C2.23.A4.-15.C6.3,√11-3,6 例1C变式1-1A变式1-2D 知识梳理 例2-1A例2-2D变式2-1B 变式2-2号 零aa-a 硒√8 题型精讲攻重难 例3C变式3-1A变式3-2D 例1D变式1C例2-1-2 例4B变式4-1C变式4-2C 例2-2①完全平方公式；②三；③解答过程略 例5-12例5-2原式=7，解答过程略。 变式2（1)y=1,解答过程略； 变式5原式=5，解答过程略。 （2)x2+y2-3x灯=11，解答过程略； 第2节整式与因式分解 (3)ax-by=1-7V3,解答过程略. 课前小测 例3(1)√67≈8.22，解答过程略； 1.-82.B3.(1)a;(2)a54.a2b5.B (2)用①的形式得出的√7的近似值的精确度更 6.(1)-ab(1-a)2;(2)(2m+n)2(2m-n)2 高，理由略 知识梳理 变式3(1)x2≈8.18535，解答过程略； a-b-c am+m am-"amm a"b"ma'b ma+mb (2)√67的近似值约为8.185，解答过程略； ma+mb+na+nb a2-b2 a2 t2ab+b2 (3)√56的近似值约为7.483，解答过程略. 题型精讲攻重难 第二单元方程（组）与不等式（组） 例1D变式1C例2D变式2D 例3原式=13，解答过程略. 第5节一次方程（组）及其应用 变式3原式=5，解答过程略. 课前小测 例48变式4D 4.(1)35,65:(2)九 例5a(a-7)变式5-1C变式5-2 -4 高频易错 知识梳理 例1(1)a;(2)8a bic be a s6 例2(1)(x2+y2)(x+y)(x-y)； a (2)4(x+2y)(x-2y) 题型精讲攻重难 例1B变式1C 第3节分式 例2-1A例2-216变式2-14 课前小测 变式2-23 1(4年：(2)-4：302D3.B4 x-2 例3-1解：(1)面图略；(2)=分，解答过程略。 知识梳理 1 B0A=0且B≠0公因式0±b d a" 例3-2 x=2,解答过程略。 变式3-12 c 1y=-4 2 浙江新中考数学参考答案 变式3-2x=4,解答过程略 变式1-2x1=-1+2,x2=-1-√2，解答过程略. 变式3-3 「x=1 1)=0,解答过程略。 例2略 变式2-1B变式2-2C 例4-1 96 例4-2C变式4-1D 例3A变式3-12027变式3-26 例4A变式40.5m 变式4-2500 高频易错 rx-10=2(y+10) 变式4-3 例1x1=0,x2=-4例2A 3(x+5)=y-5 1 第8节 一元一次不等式（组）及不等式的应用 变式4-4(1)实际支付高速费用为(0.95a+0.5c) 课前小测 元，优惠了(0.05a+b+0.5c)元； 1.D2.C3.A4.x≤85.x>36.17 (2)故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其 知识梳理 课 他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元，解 >><x≤b无解≥≤ 堂 答过程略 题型精讲攻重难 精 高频易错 例1C变式1A例2x>3,解答过程略 讲 例略 变式2x≥-2，解答过程略，在数轴上表示不等式 本 第6节分式方程及其应用 的解集略。 课前小测 例3-1A例3-2-2≤x<4 1.C2.23.D4.600 变式3x≥-1；x<4;在数轴上表示略 题型精讲攻重难 例4B变式4-1-17≤P<-7变式4-22 例1-13例1-2x=2,解答过程略. 例5(1)A种品牌的防晒霜每套的进价为100元，B 变式1-1x=-3,解答过程略。 种品牌的防晒霜每套的进价为75元，解答过程略； 变式1-2分式方程无解，解答过程略. (2)A品牌的防晒霜至少要购进16套，解答过 例2C变式2-1D变式2-2B例3-1C 程略. 例3-2(1)根据题意可得顺流航行的速度为(32+ 变式5(1)a=8,解答过程略； x)km/h,逆流航行的速度为(32-x)km/h, (2)至少需要6个这样的机器人同时工作1小时， 所用时间（)分别为2”=2” 才能使采摘的苹果个数不少于10000个，解答过程 略 (2)江水的流速为6.4km/h,解答过程略. 高频易错 变式3-111 例(1)五，不等式两边同时除以负数，没有改变不等 变式3-2一辆该型号快速换轨车每小时更换钢 号方向；(2)x≥1. 轨2公里. 第三单元函数 高频易错 第9节平面直角坐标系与函数初步 例m<-1且m≠-2 课前小测 第7节一元二次方程及其应用 1.D2.-13.(1)(5,3);(2)(-3,-5); 课前小测 (3)(-3,5)4.(3.5,2),(1.5,-1.5)5.160;s,t 1B2.B3.(1)x==子；(2x1=1-2, 7 知识梳理 1+√24.5cm 相等互为相反数纵横√父+yIx,-x,1 知识梳理 Iy1-y21(x,-y)(-x,y)(-x,-y）(x-c, y)(x,y-c)(y,-x）（-y,x)（-x,-y) x=-b±VB-4ac ≥一次项系数的一半的平方 2a 题型精讲攻重难 例1B变式1D b2-4ac>相等没有-bc aa 例2A变式2(-3，-2) 题型精讲攻重难 例3C变式3-1D变式3-2A 例1x=1+5, 25,解答过很路 2,x2s 例4B变式4-1x>3 5 变式1-1=36=号 1 变式4-2y=10-2x,2.5<x<5 例5D变式5C例6D变式6D 浙江新中考数学参考答案 3