第四章 图形的相似——A8相似练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

A/8相似练习 一．试题（共19小题） 1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（　　） A．2：1 B．1：3 C．1：2 D．3：1 2．如图，在菱形ABCD中，EF与AC交于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 　 　 ． 4．如图，BD为▱ABCD的对角线，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G、若EF＝1，CE＝3，求GF的长． 5．如图，点E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G． （1）求证：△ABE∽△GDA； （2）若BC＝2CE，BD＝15，求DF的长度． 6．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）延长EF交BC的延长线于点G，若AB＝4，求CG的长． 7．如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到△DCF，连接EF交CD于点G．若BE＝4，DG＝5，则AD的长为 　 　 ． 8．如图，矩形ABCD的边长AD＝4，AB＝3，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为　 　 ． 9．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形ABCD的边长AB＝4，AD＝6，E为AB的中点，F在边BC上，且，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 11．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：AC的值是 　 　 ． 13．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为　 　 ． 14．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 15．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为9，则EF的长为 　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，点B与点F关于AE对称，连接DF并延长，交AE于点G，交AB于点M．若G是AE的中点，则MG的长为　 　 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF＝4，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是　 　 ． 18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为　 　 ． 19．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，在AB、AD上分别有一点E、F，连接CE、BF交于点G，若2AE＝BE，∠EGF＝60°，则的值为 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 9 10 答案 C D B D 一．试题（共19小题） 1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（　　） A．2：1 B．1：3 C．1：2 D．3：1 【分析】根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB∥CD，AB＝CD， ∴△BEF∽△DCF， ∵点E是AB的中点， ∴BECD， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 2．如图，在菱形ABCD中，EF与AC交于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质可得AB＝CD，AE∥BF，从而利用平行线的性质可得∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，然后证明8字模型相似△EAG∽△FBG，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AE∥BF， ∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F， ∴△EAG∽△FBG， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 3．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 　　 ． 【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF•AC，即可求出CF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠FAE＝∠FCD， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴△AFE∽△CFD， ∴2． ∵AC5， ∴CF•AC5． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键． 4．如图，BD为▱ABCD的对角线，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G、若EF＝1，CE＝3，求GF的长． 【分析】先由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△DEF∽△BEC得到，则，进而可得，再证明△CDF∽△GAF，得到，据此可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴， 即， ∴， ∵AB∥CD， ∴△DFC∽△AFG， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴CF＝4， ∴， ∴GF＝8． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 5．如图，点E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G． （1）求证：△ABE∽△GDA； （2）若BC＝2CE，BD＝15，求DF的长度． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，根据相似三角形的判定定理推出即可； （2）根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质定理得出比例式，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△GDA∽△GCE，△GCE∽△ABE， ∴△ABE∽△GDA； （2）解：设CE＝a，则BC＝2CE＝2a，BE＝BC+CE＝3a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2a，AD∥BC， ∴△ADF∽△EBF， ∴， ∵AD＝2a，BE＝3a，BD＝15， ∴， 解得：DF＝6． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能灵活运用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 6．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）延长EF交BC的延长线于点G，若AB＝4，求CG的长． 【分析】（1）由正方形的性质得∠A＝∠D＝90°，而∠BEF＝90°，由∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°，推导出∠ABE＝∠DEF，则△ABE∽△DEF． （2）因为CD＝AD＝AB＝4，CF＝3FD，所以3FD+FD＝CD＝4，EA＝4﹣DE，求得FD＝1，则CF＝3，∵△ABE∽△DEF，由相似三角形的性质得，则，求得DE＝2，再证明△CFG∽△DFE，则3，所以CG＝3DE＝6． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF． （2）解：∵CD＝AD＝AB＝4，CF＝3FD， ∴3FD+FD＝CD＝4，EA＝4﹣DE， ∴FD＝1， ∴CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴， ∴， 解得DE＝2， ∵BC∥AD，点G在BC的延长线上，E为边AD上的点， ∴CG∥DE， ∴△CFG∽△DFE， ∴3， ∴CG＝3DE＝6， ∴CG的长为6． 【点评】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠ABE＝∠DEF，进而证明△ABE∽△DEF是解题的关键． 7．如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到△DCF，连接EF交CD于点G．若BE＝4，DG＝5，则AD的长为 　6　 ． 【分析】由ASA可证△ADE≌△CDF，可得EA＝CF＝x﹣4，通过证明△CFG∽△BFE，可得，即可求解． 【解答】解：设AD＝x， ∵BE＝4，DG＝5， ∴AE＝x﹣4，CG＝x﹣5， ∵将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°＝∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDF， 又∵∠A＝∠DCF＝90°，DA＝DC， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴EA＝CF＝x﹣4， ∵BA∥CD， ∴△CFG∽△BFE， ∴， ∴， ∴x＝3（舍去）或x＝6， ∴AD＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 8．如图，矩形ABCD的边长AD＝4，AB＝3，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为　　 ． 【分析】由勾股定理求出AC长，则ANAC＝2.5，证明△AEM∽△CDM，可求出AM长，则MN的长可求出． 【解答】解：∵矩形ABCD的边长AD＝4，AB＝3， ∴AC＝BD5， ∴ANAC5＝2.5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3， ∴△AEM∽△CDM， ∴， ∴， ∴AM， ∴MN＝AN﹣AM＝2.5． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，求出AN与AM的长是解题的关键． 9．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，则EM，EM∥DC，由△BEN∽△BCF，得EN，由EM∥AB，得△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，则EG，EH，从而解决问题． 【解答】解：方法1：∵矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点， ∴BE，AB∥CD，CF＝DF， 取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图， 则EM是△BCD的中位线， ∴EM，EM∥DC， ∴EM，EM∥AB， ∴△BEN∽△BCF， ∴， ∴EN， ∴EN， ∵EM∥AB， ∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH， ∴，， ∴EG，EH， ∴GH＝EG﹣EH， ∴， 方法2：连接EF， 由EF是△BCD的中位线得EF∥BD，EFBD， ∴△BGH∽△FEH， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴DG＝2BG， ∴EF， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出GH和HE的长是解题的关键． 10．如图，矩形ABCD的边长AB＝4，AD＝6，E为AB的中点，F在边BC上，且，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CB、DE交于点H，由矩形的性质得BC∥AD，BC＝AD＝6，则∠H＝∠ADE，而∠BEH＝∠AED，BE＝AE，可证明△BEH≌△AED，得BH＝AD＝6，由F在边BC上，且，求得BF＝4，则FH＝10，AF＝4，可证明△AND∽△FNB，得，则ANAF，再证明△AMD∽△FMH，得，AMAF，求得MN＝AN﹣AM，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长CB、DE交于点H， ∵AB＝4，AD＝6，E为AB的中点， ∴BC∥AD，BC＝AD＝6，BE＝AE， ∴∠H＝∠ADE， 在△BEH和△AED中， ， ∴△BEH≌△AED（AAS）， ∴BH＝AD＝6， ∵F在边BC上，且， ∴FCBF， ∵BC＝BF+FC＝BFBFBF＝6， ∴BF＝4， ∴FH＝BF+BH＝4+6＝10，AF4， ∵AD∥FB， ∴△AND∽△FNB， ∴， ∴ANAFAF4， ∵AD∥FH， ∴△AMD∽△FMH， ∴， ∴AMAFAF4， ∴MN＝AN﹣AM， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 　　 ． 【分析】作DH∥AC交BF于H，如图，先证明△EDH≌△EAF得到DH＝AF，然后根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图， ∵DH∥AF， ∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA， ∵DE＝AE， ∴△EDH≌△EAF（AAS）， ∴DH＝AF， ∵，DH∥CF， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：AC的值是 　　 ． 【分析】过D作DH∥AC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H， ∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△BCE， ∴，， ∴AE＝3DH，CEDH， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键． 13．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为　14　 ． 【分析】过D点作DH∥CF交AB于H，如图，利用平行线分线段成比例定理，由EF∥DH得到，则可计算出FH＝6，再利用DH∥CF得到1，所以BH＝6，然后计算AF+FH+HB即可． 【解答】解：过D点作DH∥CF交AB于H，如图， ∵EF∥DH， ∴， ∴FH＝3AF＝3×2＝6， ∵AD为中线， ∴BD＝CD， ∵DH∥CF， ∴1， ∴BH＝FH＝6， ∴AB＝AF+FH+HB＝2+6+6＝14． 故答案为14． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 14．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠DAC＝∠ABE， ∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA， ∴△EAF∽△EBA， ∴EA：EB＝EF：EA， ∴AE2＝EF•BE； （2）∵AE2＝EF•BE， ∴BE4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥BC， ∴，即，解得AF， ∵△EAF∽△EBA， ∴，即， ∴AB． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质． 15．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为9，则EF的长为 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，求得AC，根据题意可得CE、AH，因为AB∥CD，可得△AHG∽△CDG，求得AG、GE，在Rt△ADH中，根据勾股定理，得DH，因为EF⊥DH，AM⊥DH，所以EF∥AM，可得△EFG∽△AMG，根据线段比例即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥DH于点M， ∵正方形ABCD中，AB＝9， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝9，∠BAD＝∠B＝90°，AB∥CD， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝9， ∵AE＝2CE， ∴CEAC＝3，AEAC＝6， ∵BH＝2AH， ∴AHAB＝3， ∵AB∥CD， ∴△AHG∽△CDG， ∵AHABDC， ∴AGAC，CGAC， ∴GE＝CG﹣CE， 在Rt△ADH中，根据勾股定理，得：DH3， ∵S△ADHDH•AMAD•AH， ∴3AM＝9×3， ∴AM， ∵EF⊥DH，AM⊥DH， ∴EF∥AM， ∴△EFG∽△AMG， ∴， ∴， ∴EF， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的主要关键是根据相似三角形的判定找到正确的线段比例关系并求解． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，点B与点F关于AE对称，连接DF并延长，交AE于点G，交AB于点M．若G是AE的中点，则MG的长为　　 ． 【分析】过B点作BP∥MD，连接BF交AE于点H，连接BG，先证明△ADG∽△EBP，得到2，则可设PE＝2x，则AG＝4x，进而AG＝GE＝4x，GP＝2x，BG＝AG＝GE＝4x．再证明△BGH≌△BPH（ASA），得GH＝PH＝x，根据cos∠BAE列方程为，解得x.最后证明△AMG∽△ABP，得比例式，即，可解得MG． 【解答】解：过B点作BP∥MD，连接BF交AE于点H，连接BG，如下图所示： ∴∠AGD＝∠EPB，∠DAG＝∠PEB， ∴△ADG∽△EBP， 又因为BE＝CD， ∴2，设PE＝2x，则AG＝4x， 又因为G为AE中点， 故AG＝GE＝4x，GP＝2x，BG＝AG＝GE＝4x， ∵BP∥MD， ∴∠GFB＝∠PBH， 由轴对称性质可知∠GFB＝∠GBH，AE⊥BF， ∴∠GBH＝∠PBH， 在△BGH和△BPH中， ， ∴△BGH≌△BPH（ASA）． ∴GH＝PH，BG＝BP， ∵GP＝2x， ∴GH＝PH＝x， ∵cos∠BAE， 即，解得x． ∵BP∥MD， ∴△AMG∽△ABP， ∴，即， 解得MG． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的斜边中线定理，相似三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键，遇轴对称，常常伴随着全等三角形出现，等腰三角形出现． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，四边形ECGF为菱形，点G在AD上，点B在EF上，若菱形的一条对角线CF＝4，则菱形ECGF的另一条对角线EG的长度是　　 ． 【分析】方法一：连接GE，交CF于点O，延长DA，CF交于点M，根据矩形和菱形的性质可得△FBC∽△CGM，所以得，再证明△MGO∽△MCD，即可得OG的长，进而可得EG的长． 方法二：延长EF交DM于点H，可得△BCE≌△HGF，所以得S菱形GFEC＝S平行四边形BCGH＝S矩形ABCD，进而可得EG的长． 【解答】解：如图，连接GE，交CF于点O，延长DA，CF交于点M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠FCB， ∵四边形ECGF为菱形， ∴EF∥CG， ∴∠CFB＝∠FCG， ∴△FBC∽△CGM， ∴， ∵CF＝4，BC＝8， 方法一： ∴， ∵GE⊥CF， ∴∠MOG＝∠D＝90°， ∵∠M＝∠M， ∴△MGO∽△MCD， ∴， ∵AB＝CD＝3， ∴， ∴OG， ∴EG． 方法二：延长EF交DM于点H， 在△BCE和△HGF中， ， ∴△BCE≌△HGF（AAS）， ∴S菱形GFEC＝S平行四边形BCGH＝S矩形ABCD， ∴CF•GE＝AB•BC， ∴GE2． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题关键． 18．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为　　 ． 【分析】在BC上截取BN，使BN＝BE，过点G作GH⊥EF于点H，证明△NFC≌△FED（AAS），推出ED＝FC＝2，CN＝DF＝1，设BN＝BE＝x，作GQ⊥BE于Q，GP⊥BC于P．利用勾股定理构建方程求出x，再证明，即可解决问题． 【解答】解：在BC上截取BN，使BN＝BE，过点G作GH⊥EF于点H， ∵BF平分∠EBC， ∴∠EBF＝∠CBF， 又∵BE＝BN，BF＝BF， ∴△BEF≌△BNF（SAS）， ∴EF＝NF，∠EFB＝∠NFB＝45°， ∴∠EFN＝90°， ∴∠EFD+∠NFC＝90°， 又∵∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠NFC＝∠FED， 又∵∠D＝∠NCF＝90°， ∴△NFC≌△FED（AAS）， ∴ED＝FC＝2， 在Rt△FED中，DF＝1， ∴EF， 在Rt△EDC中，EC， 设BN＝BE＝x，作GQ⊥BE于Q，GP⊥BC于P． 在Rt△ABE中，∵AB2+AE2＝BE2， ∴32+（x﹣1）2＝x2， 解得x＝5， ∵BG平分∠EBC，GQ⊥BE，GP⊥BC， ∴GQ＝GP， ∴， ∴， ∴EGEC， 故答案为． 【点评】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，在AB、AD上分别有一点E、F，连接CE、BF交于点G，若2AE＝BE，∠EGF＝60°，则的值为 　　 ． 【分析】连接BD交CE于点K，过点K作KH⊥BC于点H，设AE＝a，则BE＝2a，AB＝3a，根据菱形性质得△ABD和△CBD都是等边三角形，AB∥CD，BD＝AB＝CD＝3a，证明△CDK和△EBK相似得，由此得BK，BHBK，KH，则CH，CK，EK，则CE＝CK+EK，证明△BCK和△ABF全等得CK＝BF，由此可得的值． 【解答】解：连接BD交CE于点K，过点K作KH⊥BC于点H，如图所示： 设AE＝a， ∵2AE＝BE， ∴BE＝2a， ∴AB＝AE+BE＝3a， ∴四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∠ADB＝∠CDB∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°， AB∥CD， ∴△ABD和△CBD都是等边三角形， ∴∠CBK＝∠A＝60°，BD＝AB＝3a， ∵AB∥CD， ∴△CDK∽△EBK， ∴， 设DK＝3x，BK＝2x， ∴BD＝BK+DK＝5x＝3a， ∴x， ∴BK＝2x， ∵KH⊥BC， ∴在Rt△BKH中，∠BKH＝90°﹣∠CBK＝30°， ∴BHBK， 由勾股定理得：KH， ∴CH＝BC﹣BH， 在Rt△CKH中，由勾股定理得：CK， 由，得：EKCK， ∴CE＝CK+EK， 在△BCE中，∠BEC+∠BCK＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵∠EGF＝60°，且∠EGF是△GBE的外角， ∴∠EGF＝∠BEC+∠ABF＝60°， ∴∠BCK＝∠ABF， 在△BCK和△ABF中， ， ∴△BCK≌△ABF（ASA）， ∴CK＝BF， ∴． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，理解菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/13 11:29:38；用户：李也；邮箱：szw205@xyh.com；学号：37895403 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $