考点01 相交线（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

01 相交线 考点一：相交线 1、相交线：有一个公共点的两直线是相交线。 2、邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOD与∠BOD是一对邻补角，另外还有三对邻补角。 3、 邻补角性质：邻补角互补。如上图，∠AOD与∠BOD是一对邻补角，∠AOD+∠BOD=180° 4、对顶角：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。如图，∠AOD与∠BOC是一对对顶角，另外还有一对对顶角。 5、对顶角性质：对顶角相等。如上图，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，∠AOC=∠BOD。 6、邻补角与对顶角的异同： 邻补角 对顶角 相同点 （1）都表示两个角之间的关系，成对出现； （2）邻补角和对顶角都有公共顶点 不同点 数量上 邻补角的和为180° 对顶角相等 位置上 有一条公共边，另一条互为反向延长线 没有公共边，角的两边互为反向延长线 考点二：垂线 1、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图，直线AB与直线CD相交于点O，当∠AOC=90°(或其他任意一个交角等于90°)时，直线AB与直线CD垂直，记作 AB⊥CD，读作“AB 垂直于 CD”，交点O是垂足。反之，若AB⊥CD，则四个交角均为 90°。 2、垂线的画法 步骤 画法 一“落” 让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合。 二“移” 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点。 三“画” 沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。 考点三：垂线段 1、垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段。如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段。 2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如上图，垂线段CO的长度就是点C到直线AB的距离。 题型一：相交线 1. 判断两条直线是否相交，关键是看它们是否有一个公共点。在图形中，相交线形成交点，并产生对顶角和邻补角。 2. 在复杂图形中识别相交线时，注意延长直线观察交点，避免被线段端点迷惑。 1. 误以为两条线段没有公共点就一定不相交，忽略延长后可能相交的情况。 2. 在计数相交直线对数时，容易重复计数或遗漏。 1．在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 2．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 5．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 题型二：邻补角 1. 识别邻补角：两个角必须有一条公共边，另一边互为反向延长线，且它们的和为180°。 2. 利用邻补角互补的性质进行角度计算，常与对顶角结合使用。 1. 将只有公共顶点而没有公共边的角误认为邻补角。 2. 计算角度时，忘记邻补角之和为180°，错误使用其他关系。 1．已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（    ） A．对顶角 B．相等但不是对顶角 C．邻补角 D．互补但不是邻补角 2．下列说法正确的是(　 　) A．直角没有邻补角 B．互补的两个角一定是邻补角 C．一个角的邻补角大于这个角 D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角 3．探究并回答下列问题：三条直线两两相交，图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角；在探索过程中，可以得出，一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个；从而两条相交直线，能形成 组对顶角， 组邻补角． 4．如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角： ； （2）写出的邻补角： ； （3）写出的邻补角： ； （4）写出的对顶角： ． 5．如图所示，直线AB、CE交于O， (1)写出∠AOC的对顶角和邻补角； (2)写出∠COF的邻补角； (3)写出∠BOF的邻补角； (4)写出∠AOE的对顶角及其所有的邻补角． 题型三：对顶角 1. 识别对顶角：两个角必须有公共顶点，且两边互为反向延长线。 2. 利用“对顶角相等”的性质进行角度计算或证明。 1. 误认为有公共顶点的角就是对顶角，忽略两边必须互为反向延长线的条件。 2. 在复杂图形中找不到所有对顶角对，导致计算错误。 1．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    5．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是 ． 题型四：垂线 1. 判断垂直：两条直线相交所成的角中有一个是直角（90°），则这两条直线互相垂直。 2. 画垂线：使用三角板或量角器，确保所画直线过指定点且与已知直线成90°角。 3. 符号表示：垂直用“⊥”表示，如AB⊥CD。 1. 画垂线时，三角板摆放不准确，导致所画垂线不垂直。 2. 误认为两条直线相交就一定垂直，垂直是相交的特殊情况。 1．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 3．如图，直线，相交于点，平分，，且，垂足为．求和的度数． 4．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 5．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 题型五：垂线段最短 1. 理解概念：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。 2. 应用：在解决最短路径问题时，常利用垂线段最短的性质。 1. 误认为从直线外一点到直线上任意一点的线段中，斜线段比垂线段短。 2. 在实际问题中，不能正确抽象出垂线段模型。 1．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 2．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 3．校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是 ． 4．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 5．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 题型六：点到直线的距离 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2. 测量或计算：先作出垂线段，再测量其长度或利用几何知识计算。 1. 误将点到直线上任意一点的距离当作点到直线的距离。 2. 在非直角坐标系中计算距离时，忽略垂直条件。 1．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 3．如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 4．如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 5．定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）． 1．如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 2．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 3．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 4．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 5．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 6．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 相交线 考点一：相交线 1、相交线：有一个公共点的两直线是相交线。 2、邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOD与∠BOD是一对邻补角，另外还有三对邻补角。 3、 邻补角性质：邻补角互补。如上图，∠AOD与∠BOD是一对邻补角，∠AOD+∠BOD=180° 4、对顶角：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。如图，∠AOD与∠BOC是一对对顶角，另外还有一对对顶角。 5、对顶角性质：对顶角相等。如上图，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，∠AOC=∠BOD。 6、邻补角与对顶角的异同： 邻补角 对顶角 相同点 （1）都表示两个角之间的关系，成对出现； （2）邻补角和对顶角都有公共顶点 不同点 数量上 邻补角的和为180° 对顶角相等 位置上 有一条公共边，另一条互为反向延长线 没有公共边，角的两边互为反向延长线 考点二：垂线 1、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图，直线AB与直线CD相交于点O，当∠AOC=90°(或其他任意一个交角等于90°)时，直线AB与直线CD垂直，记作 AB⊥CD，读作“AB 垂直于 CD”，交点O是垂足。反之，若AB⊥CD，则四个交角均为 90°。 2、垂线的画法 步骤 画法 一“落” 让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合。 二“移” 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点。 三“画” 沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。 考点三：垂线段 1、垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段。如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段。 2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如上图，垂线段CO的长度就是点C到直线AB的距离。 题型一：相交线 1. 判断两条直线是否相交，关键是看它们是否有一个公共点。在图形中，相交线形成交点，并产生对顶角和邻补角。 2. 在复杂图形中识别相交线时，注意延长直线观察交点，避免被线段端点迷惑。 1. 误以为两条线段没有公共点就一定不相交，忽略延长后可能相交的情况。 2. 在计数相交直线对数时，容易重复计数或遗漏。 1．在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择即可； 本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是解题的关键． 【详解】解：B中这条直线与这条射线能相交； A、C、D中的直线，线段，射线不能相交． 故选：B． 2．平面上画三条直线，交点的个数最多有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据相交线的性质可得答案． 【详解】平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点． 故选：A． 【点睛】本题考查相交线，理解平面内两条直线相交只有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点是正确判断的前题，也是解题的关键． 3．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 4．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C″进行判断，即可得出结论． 【详解】解：根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是： 故选：C． 5．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 题型二：邻补角 1. 识别邻补角：两个角必须有一条公共边，另一边互为反向延长线，且它们的和为180°。 2. 利用邻补角互补的性质进行角度计算，常与对顶角结合使用。 1. 将只有公共顶点而没有公共边的角误认为邻补角。 2. 计算角度时，忘记邻补角之和为180°，错误使用其他关系。 1．已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（    ） A．对顶角 B．相等但不是对顶角 C．邻补角 D．互补但不是邻补角 【答案】A 【分析】根据对顶角、邻补角的概念进行判断即可． 【详解】解：∵∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角， ∴∠1与∠3是对顶角， 故选：A． 【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握概念是解题的关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 2．下列说法正确的是(　 　) A．直角没有邻补角 B．互补的两个角一定是邻补角 C．一个角的邻补角大于这个角 D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义进行判断即可． 【详解】反向延长直角的一条直角边得到直角的邻补角，A错误； 两直线平行，同旁内角互补，互补的这两个角不一定是邻补角，B错误； 120的邻补角是60，不大于这个角，C错误； 一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角，D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查邻补角，解题的关键是掌握邻补角的概念. 3．探究并回答下列问题：三条直线两两相交，图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角；在探索过程中，可以得出，一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个；从而两条相交直线，能形成 组对顶角， 组邻补角． 【答案】 6 12 一 两 无数 两 四 【分析】根据对顶角、邻补角、以及补角的定义即可求解． 【详解】解：三条直线两两相交，共有6对对顶角，12对邻补角； 一个角的对顶角有一个，邻补角最多有两个，而补角则可以有无数个； 两条相交直线，能形成2组对顶角，4组邻补角． 故答案为：6；12；一；两；无数；两；四． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角以及补角的定义和性质，熟知其定义并能灵活运用到题目上是解题关键． 4．如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角： ； （2）写出的邻补角： ； （3）写出的邻补角： ； （4）写出的对顶角： ． 【答案】 【分析】邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义得， （1）的邻补角：； （2）的邻补角：； （3）的邻补角：； （4）根据对顶角的定义得，的对顶角：， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 【点睛】本题考查邻补角的定义、对顶角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．如图所示，直线AB、CE交于O， (1)写出∠AOC的对顶角和邻补角； (2)写出∠COF的邻补角； (3)写出∠BOF的邻补角； (4)写出∠AOE的对顶角及其所有的邻补角． 【答案】(1)∠AOC的对顶角是∠BOE，邻补角是∠BOC，∠AOE； (2)∠COF的邻补角是∠EOF； (3)∠BOF的邻补角是∠AOF； (4)∠AOE的对顶角∠BOC，邻补角是∠AOC，∠BOE． 【分析】（1）根据对顶角的定义、邻补角的定义找出即可； （2）根据邻补角的定义找出即可． （3）根据邻补角的定义找出即可． （4）根据对顶角的定义、邻补角的定义找出即可； 【详解】（1）解：∠AOC的对顶角是∠BOE，邻补角是∠BOC，∠AOE； （2）解：∠COF的邻补角是∠EOF； （3）解：∠BOF的邻补角是∠AOF； （4）解：∠AOE的对顶角∠BOC，邻补角是∠AOC，∠BOE． 【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，要注意一个角的邻补角有两个． 题型三：对顶角 1. 识别对顶角：两个角必须有公共顶点，且两边互为反向延长线。 2. 利用“对顶角相等”的性质进行角度计算或证明。 1. 误认为有公共顶点的角就是对顶角，忽略两边必须互为反向延长线的条件。 2. 在复杂图形中找不到所有对顶角对，导致计算错误。 1．下列各选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，来判断每个选项． 【详解】解：A、 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； B、 和 只有一条边互为反向延长线，另一条边不满足，不符合对顶角的定义，不符合题意； C、和 的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不符合题意； D、和有公共顶点，且两边互为反向延长线，符合对顶角的定义，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题关键是准确把握 “两边互为反向延长线” 这一核心特征来识别对顶角． 2．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，轮船B在的反向延长线的方向上，同时轮船在东南方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与方向角有关的计算，对顶角，根据方向角的定义结合对顶角相等，得到，，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知：，， ∴； 故选：B． 4．如图，直线、相交于O，且于O，则 ①与互为 角； ②与叫 角； ③与互为 角．    【答案】 补 对顶 余 【分析】本题主要考查了补角，余角，对顶角，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵直线、相交于O，且于O， ∴，，， ∴①与互为补角，②与叫对顶角，③与互为余角， 故答案为：补；对顶；余． 5．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故答案为：． 题型四：垂线 1. 判断垂直：两条直线相交所成的角中有一个是直角（90°），则这两条直线互相垂直。 2. 画垂线：使用三角板或量角器，确保所画直线过指定点且与已知直线成90°角。 3. 符号表示：垂直用“⊥”表示，如AB⊥CD。 1. 画垂线时，三角板摆放不准确，导致所画垂线不垂直。 2. 误认为两条直线相交就一定垂直，垂直是相交的特殊情况。 1．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，根据垂线的定义可得的度数，则可求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，直线，相交于点，平分，，且，垂足为．求和的度数． 【答案】； 【分析】根据角平分线的意义以及对顶角相等求得，根据求得，根据平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴． 又∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，垂直的定义，平角的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 4．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 5．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 题型五：垂线段最短 1. 理解概念：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。 2. 应用：在解决最短路径问题时，常利用垂线段最短的性质。 1. 误认为从直线外一点到直线上任意一点的线段中，斜线段比垂线段短。 2. 在实际问题中，不能正确抽象出垂线段模型。 1．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 2．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 3．校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：校运动会测量跳远成绩时，应用的数学基本事实是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 4．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 5．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置． 【详解】解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短． 题型六：点到直线的距离 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2. 测量或计算：先作出垂线段，再测量其长度或利用几何知识计算。 1. 误将点到直线上任意一点的距离当作点到直线的距离。 2. 在非直角坐标系中计算距离时，忽略垂直条件。 1．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 2．如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点A到起跳线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解∶∵，米， ∴小明的跳远成绩应该是米， 故选∶B． 3．如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 4．如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【答案】C 【分析】题目主要考查点到直线的距离，结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度取值范围为：， 符合题意的只有选项C． 故选：C． 5．定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．    (1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段． (2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，约为厘米 【分析】（1）根据点到已知线段的距离的定义画出图形即可； （2）由题意可知，点P的运动路径为如图2所示的图形，根据点P的运动路径长为两个以半径为的半圆长加上两个线段的长求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段为点C到线段的距离，线段为点D到线段的距离；    （2）如图2，点P的运动路径如图所示，    点P的运动路径长． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，点到线段的距离，正确理解点到线段的距离是解题的关键． 1．如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 2．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ． 【答案】 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，最短． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度． 3．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 4．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 5．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 6．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)2 (2)，详见解析 (3)或，详见解析 【分析】（1）由题意得出，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果； （2）设，由角平分线定义和已知得出，，即可得出结果； （3）分别用x表示出，列方程求出x，再分别讨论的位置即可得解． 【详解】（1）；理由如下： ∵． ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵为的角平分线，平分， ∴设， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 当在左侧时，， ， 当在右侧时，． 【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程等知识点；熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $