专题16 反比例函数相关压轴题和实际问题分类训练（13种类型104道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题16 反比例函数相关压轴题和实际问题分类训练 （13种类型104道） 考点01 反比例函数相关综合题 考点02 反比例函数相关最值问题 考点03 反比例函数相关规律性问题 考点04 已知面积求反比例系数 考点05 已知反比例系数求图形面积 考点06 反比例函数与相似三角形综合 考点07 温度相关的反比例函数应用题 考点08 压强相关的反比例函数应用题 考点09 工程相关的反比例函数应用题 考点10 行程相关的反比例函数应用题 考点11 销售利润相关的反比例函数应用题 考点12 浓度相关的反比例函数应用题 考点13 电学相关的反比例函数应用题 考点01 反比例函数相关综合题 1．如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】解：直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， 与关于轴对称，设交x轴于点D， ， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， 当时，，故②正确； 与关于轴对称，， ， 点在直线上， ， 解得，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 2．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，结合平行四边形面积即可判断①；根据平行四边形的判定可判定②正确；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断③；根据，得出，再结合，得出，即可判断④． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 4．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， ，故正确； ∵， ∴，， ∴，， 如答图，过点作轴于点， 则，， 在线段上取一点，使得，连接， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴点与点关于直线对称，故正确； 由题意，点与点不重合， ∴， ∴， 故错误； 设， 则，， 设直线的解析式为，则有， ，解得， ∴， 令，得， ∴， 令，得， ∴， 如上答图， 过点作轴于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴, 故命题正确； 综上所述，正确的命题是：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 5．如图，中，，，双曲线经过两点（在的左侧），轴于，轴于，连接交于．下列结论正确的个数是（    ） ；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定与性质、反比例函数的运用、矩形的判定与性质、黄金分割、等腰直角三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：延长、交于点，如图所示，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, ∴，即正确； 设，，则，， ∴，， ∵双曲线经过、两点， ∴， ∴，，即， ∴， ∴，即， ∴，故正确； ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∴是的黄金分割点，是较长线段， ∴， ∵， ∴，故正确； 综上可知正确的个数有4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数的运用、矩形的判定与性质、黄金分割、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 6．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可． 【详解】解：①∵A，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②和、分别交于M和N两点， ∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误； ④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F，轴，垂足为D，连接与相交于点G．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，；④若，，则直线的函数解析式为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与正方形的综合运用，解题的关键在于利用函数与正方形的相关知识逐一判断正误． ①通过证明全等判断，③根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断；②通过判断，④作于点M通过直角三角形求出E、F坐标从而求得直线解析式． 【详解】解：∵点E、F都在反比例函数的图像上， ∴，即 ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴，①正确； ∵ ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴，③错误； ∵， ∴ ， ∴，②正确； 作于点M，如图    ∵，， ∴为等边三角形，，， 在正方形中， ， ∴ ，即为等腰直角三角形， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得 ∴ ， ∴ 设直线的解析式为，过点 则有 解得      故直线的解析式为；④正确； 故正确序号为①②④， 故选B． 8．已知一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点且与轴和轴分别交于点，．有①；②，；③时，的取值范围是；④当点在轴上，且的面积等于的面积的一半时，点的坐标为或；则正确的选项是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出 函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： 由待定系数法求出函数解析式可判断①②；根据图象可判断③；先求出，根据求出，可求出点P的坐标可判断④ 【详解】解：①把代入，得：，故①错误； ②把两点代入， ，解得：，故②正确； ③由图象可知，的解集为：或，故③错误； ④由②可知， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点P在x轴上， ∴，即：， ∴， ∴点的坐标为或，故④正确． 故选C． 考点02 反比例函数相关最值问题 9．已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与函数结合的最值问题，通过设点P坐标，分解四边形为多个三角形是解题的关键．将四边形的面积表示为关于点P横坐标的函数，再利用不等式性质求最小值． 【详解】解：设点P的坐标为， 轴、轴， ， ， ， ， ， ， ， ， （当且仅当时，取等号） ，即， ， 当，即时，四边形面积S的最小值为24， 故选：C． 10．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 11．如图，点A在反比例函数y=的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则，证明，可得，，设，则，，，可得 ，再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，，， ∴， ∴， ∵，而当，时，则， ∴， ∴的最小值是， ∴的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解题的关键． 12．如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，轴对称的性质，两点间距离公式等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点坐标，再过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接，得到，，，由，可知点共线时，周长取得最小值，即为，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴将点代入，则， ∴， 过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接， 则，， ∵反比例函数图象也是轴对称图形，且对称轴为直线，点在反比例函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在反比例函数图象上， 设， ∴点的中点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 当点共线时，周长取得最小值，即为的长， ∴， 故选：C． 13．如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，得出，根据，得出，根据平行线的性质，得出，得出等于点P到直线距离的倍，得出，得出的最小值即为的最小值，即当F、P、N三点共线时，最小，求出最值即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵轴交直线于点M， ∴， ∴等于点P到直线距离的倍， ∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当F、P、N三点共线时，最小， ∴其最小值为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是求出，得出的最小值即为的最小值，是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是8的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，的面积为7.5．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（    ） A．15 B． C． D．10 【答案】B 【分析】作点M关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点为P，此时PM＋PN的值最小，根据正方形的边长为8，表示出M， N点坐标，再根据△OM N的面积即可求出k的值，进一步求出M，N，的坐标，即可求出PM＋PN的最小值的值． 【详解】解：如图，作x轴交于点，作点M关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点为P，此时PM＋PN的值最小， ∵正方形OABC的边长为8，且M，N在反比例函数图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 即PM＋PN的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与正方形的综合，根据正方形的性质以及反比例函数图象上点的特征求出点M和N的坐标是解决本题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴OA=OB=2， ∵为线段的中点， ∴C（1，1）, ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线y=x对称， ∵点C在直线y=x上， ∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴P（2，2）， ∴， ∴的最小值为 故选：B 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解题的关键． 考点03 反比例函数相关规律性问题 17．如图，在x轴的正半轴上依次截取，过，，，，分别作轴的垂线，与双曲线相交于，，，，，得，，，，设它们的面积从左到右依次为，，，，按此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键；过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， 以此类推，， ∴， 故答案为：． 18．如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 20．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得： （1）点的坐标为 （2）作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3，P4的坐标，找出规律可得出的坐标； （2）根据（1）中的规律可得答案． 【详解】解：（1）∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴反比例函数的解析式为：， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴． 故答案为：． （2）由（1）的解同理，得… ∴， 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律． 21．如图，点B1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）An-1Cn-1CnBn的面积为 ． 【答案】. 【详解】试题解析：第1个矩形的面积=2， 第2个矩形的面积=×（-1）=， 第3个矩形的面积=（2-）×1=， … 第n个矩形的面积=×=． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 22．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 23．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质和裂项相消法的应用．解题关键是先确定反比例函数上点的坐标，再分析三角形面积规律，最后通过裂项相消简化求和．易错点是对三角形面积的推导和裂项相消时项的抵消规律把握不准确． 首先根据反比例函数，求出点、、等的坐标，进而推出三角形①、②、③……的面积分别为1、、……．然后根据、等，将其展开为，通过裂项相消，中间项抵消后得到，从而得出答案． 【详解】解：， 、、；以此类推，． 观察图形，每个三角形的底为1（横坐标依次增加1），高为对应点的纵坐标． ． ． ． 以此类推，三角形k的面积为． 根据题意，，，，． ． 故选：A． 24．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 考点04 已知面积求反比例系数 25．如图所示，在反比例函数的图象上有一动点A（点A位于第二象限），连接并延长交图象的另一分支于点B．在第一象限内有一点C，满足，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若，则k的值为（    ） A． B．6 C．8 D．16 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质可知，由等腰三角形三线合一可得，进而得出三角形相似，然后将，转化为，由勾股定理可得，即三角形的相似比为，设、的长，就能表示出、的长，根据反比例函数图象上点的特征，可以求出的值．主要考查反比例函数、相似三角形、等腰三角形的性质等知识． 【详解】解：过点、作轴、轴，垂足为、，连接， 则，如图所示： 、是反比例函数图象上关于原点对称的两点， ， 又， ∴OC⊥AB， ∴∠AOD+∠COE=90°， ∵ADO =90°， ∴∠DAO+∠AOD=90°， ∴∠DAO=∠COE， ∵， ， ， 又， ， ， 设，，则，， ， 即： 故选：． 【点睛】此题考查反比例函数、等腰三角形、相似三角形等知识的综合应用，合理而正确的转化是解决问题的关键，点的坐标与线段的长度相互转化在本题中起到十分重要的作用；函数思想、转化思想、整体代入等思想得以充分的应用． 26．如图，反比例函数的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为（4，3）将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（　　） A． B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】过点E作EG⊥OB于点G，根据折叠的性质得∠EDF＝∠ACB＝90°，EC＝ED，CF＝DF，易证△GED∽△BDF；再根据EG：DB＝ED：DF＝4：3，即可求出BD，然后在Rt△DBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可． 【详解】如图，过点E作EG⊥OB于点G， ∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处， ∴∠EDF＝∠ACB＝90°，EC＝ED，CF＝DF， ∴∠GDE+∠FDB＝90°，而EG⊥OB， ∴∠GDE+∠GED＝90°， ∴∠GED＝∠FDB， ∴△GED∽△BDF； 又∵EC＝AC﹣AE＝，CF＝BC﹣BF＝3﹣ ， ∴ED＝，DF＝3﹣， ∴ ∴EG：DB＝ED：DF＝4：3，而EG＝3， ∴DB＝ ， 在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2， 即 解得k＝ ， 故选D． 【点睛】本题考查的是折叠问题、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 27．在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结，的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点过点作，交反比例函数的图象于点，连结若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义得出，由根据平行线间的距离相等，得出，作于，利用，得，即可得出答案． 本题主要考查了反比例函数的几何意义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】 解：点是反比例函数图象上的一个动点， 轴于点， ， ∵， 点、点到的距离相等， ， ， 作于， ， ， ， ， ； 故选：B． 28．如图，的边在x轴上，反比例函数的图象过点B，交于点E，若，的面积为6，则k的值为（    ）． A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过B作轴，过E作于F，即；由可得,再证可得，设，,则、、，最后根据的面积为6列方程求解即可． 【详解】解：如图：过B作轴，过E作于F，即， ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, 设，,则 ∴，， ∴, ∵的面积为6， ∴，解得：． 故选D． 29．直角坐标系中，等腰直角的底角的平分线交于点B．过点A作于点D，且．若反比例函数的图象恰好经过点B，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的性质，先证明得到，再证明，得到，再证明，根据相似比和反比例函数的性质即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，延长交于点E， ∵平分，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 设， 则， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过点B， ∴， ∴， 故选：A． 30．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，则，设，由，可得，再，列方程，即可得出k的值． 【详解】解：过点E作，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即，解得：， 故选：C． 31．如图，矩形的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交于点E，，记的面积为s，若，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．设，先求得，再求得，从而得到方程，即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ， ， 令，则， ， ， ，， ， 又， ， 解得或， ， ． 故选：B． 32．如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 考点05 已知反比例系数求图形面积 33．如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，结论可求． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0． 则OD＝a，OE＝． ∴点B的纵坐标为． ∴点B的横坐标为﹣． ∴OC＝． ∴BE＝． ∵AB∥CD， ∴， ∴＝． ∴EF＝OE＝，OF＝OE＝． ∴＝1． ＝4． ∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 34．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于(     ) A．3 B．6 C．4 D．9 【答案】A 【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论． 【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b， 则点B的坐标为(a+b，a﹣b)． ∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上， ∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6． ∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝(a2﹣b2)＝×6＝3． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2−b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键． 35．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x于点D，则四边形ABDC的面积是（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件得到AC∥PO∥BD，推出OC＝OD，设A（﹣m，），B（m，），得到AC＝，BD＝，CD＝2m，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x于点D， ∴AC∥PO∥BD， ∵P为线段AB的中点， ∴OC＝OD， 设A（﹣m，），B（m，）， ∴AC＝，BD＝，CD＝2m， ∴四边形ABDC的面积＝（AC+BD）•CD＝（）•2m＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k与几何图形的面积的关系，由已知条件得到AC∥PO∥BD，推出OC＝OD是解此题的关键． 36．如图，、两点在双曲线上，分别经过点、两点向、轴作垂线段，已知，则(  ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-2×2=4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 37．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论． 【详解】过A作AE⊥OC于E， 设A（a，b）， ∵当A是OB的中点， ∴B（2a，2b）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A， ∴ab＝16， ∴S△BCO＝2ab＝32， ∵点D在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上， ∴S△OCD＝16÷2=8， ∴S△BOD＝32﹣8＝24， ∴△ADB的面积＝S△BOD＝12， 故选：A．    38．如图，矩形中，点A在双曲线上，点，在x轴上，延长至点，使，连接交y轴于点，连接，则的面积为（    ）    A． B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：如图，设交于，交于点，设，则，， ， 点A在双曲线上， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 39．如图，中，，边轴，顶点，均落在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作，分别交，于点、，若，则为（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，延长交轴于，过作轴于，过作轴于，延长交轴于， ∵顶点，均落在反比例函数的图象上， ∴=k， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OD=2AD， ∴ ， ∴， 故选：C． 40．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，OE，若，则△ADE的面积为（      ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF， ∵过原点的直线与反比例函数（k＞0）的图象交于A、B两点， ∴A与B关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BE⊥AE， ∴OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AEO， ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE， ∴AD∥OE， ∴S△ACE＝S△AOC， 设点A（m，）， ∵AD＝2DC，DH∥AF， ∴3DH＝AF， ∴D（3m，）， ∵CH∥GD，AG∥DH， ∴△DHC∽△AGD， ∴S△HDC＝S△ADG， ∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝×4+（DH+AF）×FH+S△HDC＝×4+××2m+××2m＝8， ∵AD＝2DC， ∴△ADE的面积为， 故选：B． 考点06 反比例函数与相似三角形综合 41．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，    ∵OA＝AB，AH⊥OB， ∴OH＝BH＝OB， 设OH＝BH＝a，则A（a，），C（2a，）， ∵AH∥BC， ∴MH＝BC＝， ∴AM＝AH﹣MH＝， ∵AM∥BC， ∴△ADM∽△BDC， ∴． 【点睛】 考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形、相似三角形的性质，将点的坐标转化为线段的长，是常用的方法． 42．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接， 设，则由对称性可知， ，， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同， 点D的坐标为， 又点D在反比例函数图象上， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为： 43．如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．设点，求出的长，根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：设点， 则， 的纵坐标为， ， ， 的横坐标为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 44．如图，在中，，顶点、分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ．    【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，得，则，求出，即可． 【详解】过点作轴于点，过点作轴于点， ∵、分别在反比例函数与的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查反比例函数和相似三角形的知识，解题的关键是掌握反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质． 45．如图，直线分别交轴、轴于点，，点为反比例函数（）在第一象限内图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线交直线于点，，且，则 ．    【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质等知识；求出直线与两坐标轴的交点坐标，则有，证明即可求解． 【详解】解：对于，令，得；令，得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， 即， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． 46．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，在x轴上，反比例函数，与斜边交于点C、D，连接，若，，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的几何应用、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，正确作辅助线、构造相似三角形是解题关键． 如图：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，作轴于点G，先根据相似三角形的判定与性质得出，设点C的坐标为，从而可得点D的坐标为，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而可得点B的坐标，然后根据的面积即可解答． 【详解】解：如图：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，作轴于点G， ∴， ∴， ， ∵， ，即， 设点C的坐标为，则， ∴， ∴点D的坐标为，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得：， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 即点B的坐标为，则， ∴，解得：． 故答案为：5． 47．如图，矩形放置在平面直角坐标系中，在y轴上，，，已知四边形的面积为，反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由于，则 ，在中根据勾股定理可得，求得，故 作轴于点，再证明，可得，设，表示出点坐标，根据四边形的面积为列方程即可解决． 【详解】解， ， ， ， 在中根据勾股定理可得 ，解得：， ， 作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 令， 在中根据勾股定理可得 ， ， 在矩形中, ，， 连接, ， ， ， 解得：， ， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标的特征、矩形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，利用了数形结合的思想. 48．如图，已知反比例函数和的图象分别经过点A、B，线段AB交x轴于点C，交y轴于点D，以AB为斜边在AB上方作，使轴，BE交x轴于点F．若，则k的值为 ．    【答案】 【详解】解： 如图：由题意可得： ∴， 设，则 ∵ ∴ ∴ 由题意可得： ∴ 设，则 ∴， ∴ ∵反比例函数和的图象分别经过点A、B ∴， ∴．    故答案为． 考点07 温度相关的反比例函数应用题 49．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】(1)20 (2)分钟 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 50．某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． (1)求材料停止加热后与的函数关系式． (2)根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 51．钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】(1) (2)3分钟 【详解】（1）解：设此过程中y与x的函数关系式为y， 将点代入， 解得， ∴此过程中y与x函数关系式为； （2）解：将代入， 解得， ∴， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 52．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示（恒温系统开启前的温度是），段为开启恒温系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度与时间之间满足关系式为：，段是恒温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度与时间之间的关系是某反比例函数图象的一部分（段），请根据图中信息解答下列问题： (1)求a的值； (2)若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)； (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； （2）解：当时，， 解得， ， 解得， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 53．某型号的饮水机接通电源后就进入自动加热程序，水温升至后自动停止加热，停止加热后水温开始下降，当水温降至，饮水机再次启动自动加热，重复上述程序，一个周期内水温与时间的关系如图所示，（水温上升过程中温度与时间成一次函数；水温下降过程中，温度与时间成反比例函数），根据图象，解答下列问题： (1)饮水机从接通电源到下一次开机的时间为多少分钟？ (2)一个周期内水温不低于的时间为多少分钟？ 【答案】(1)15分钟 (2)11分钟 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ∴， 将代入，解得：， ∴饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间为15分钟； （2）解：设一次函数关系式为：， 将，代入， ，解得：， ∴， 当时，，解得：， 将代入，解得：， 则， 要想喝到超过的水，有11分钟． 54．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数的关系如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求能够对玻璃进行加工的时长； (2)求玻璃从降至室温需要的时间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题可得，在正比例函数图象和反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为，代入点可得，， 玻璃温度下降时，与的函数关系式是， 设玻璃温度上升时的函数表达式为，代入点可得，， 玻璃温度上升时，与的函数关系式是， 将代入，得， 将代入，得， ， 能够对玻璃进行加工的时长为． （2）解：将代入得，， ， 玻璃从降至室温需要的时间为． 55．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)玻璃加热速度为 ； (2)求能够对玻璃进行加工的时长； (3)玻璃从降至室温需要的时间为 ． 【答案】(1)150； (2)； (3)76． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 故玻璃加热速度为． 故答案为：150． （2）解：由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点得， 解得， 故y与x的函数关系式是， 当时，，得； 当时，，得； 故能够对玻璃进行加工的时长为． （3）解：根据题意，得， 当时，； 当时，； 故玻璃从降至室温需要的时间为． 故答案为：76． 56．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____； (2)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (3)求三明治机工作温度在以上持续时间． 【答案】(1)60、140 (2) (3)12分钟 【详解】（1）解：， ； 故答案为：60、140； （2）由图象可知：当时，； 当时，设函数解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴； 综上：； （3）当时，设 将代入得： 当机器温度为，依次代入及中，分别解得、 ； 答：三明治机工作温度在以上持续12分钟． 考点08 压强相关的反比例函数应用题 57．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． (1)求出这个函数的解析式； (2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【答案】(1)函数的解析式为 (2)气球内的气压是120千帕 (3)为了安全起见，气球的体积应不小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键； （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求即可； （3）将代入（1）中的函数式求即可解答． 【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． （3）解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 58．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3)为了安全考虑，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键． （1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式即可； （3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可． 【详解】（1）解：设该函数表达式为． 将点代入表达式中可得， ， ∴该函数表达式为． （2）解：将代入表达式中可得， ∴气体体积为时，气压是 ． （3）解：由题意可知， 解得， ∴为了安全考虑，气体的体积应不小于． 59．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示： （1）求这个函数的表达式； （2）当气球内的气压大于150 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？ 【答案】（1）；（2）至少是0.4. 【分析】（1）设表达式为，取点A（0.5，120）代入解得k值即可. （2）令y=150，代入表达式解得x的值，则由图可知，小于该x的值时是安全的. 【详解】（1）设表达式为，代入点A（0.5，120），解得：k=60. 则表达式为： （2）把y=150代入，解得x=0.4 则当气体至少为0.4时才是安全的. 60．用橡胶或聚脂薄膜材料制成气球，并充以比空气密度小的氢气或氦气，用以携带仪器升空，进行高空气象观测．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图象如图所示．    (1)求这个函数的表达式． (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将煤炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，将点代入，得，进行计算即可得； （2）将代入计算即可得； （3）将代入计算即可得． 【详解】（1）解：设，将点代入， 可得， ∴，故； （2）当时，， ∴当气体体积为时，气压是； （3）当时，， ∴为了安全起见，气体的体积应不小于 61．在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，如图． (1)求p与S之间的函数表达式； (2)当时，求物体承受的压强p的值 【答案】(1) (2)当时，物体承受的压强p的值为200 【详解】（1）解：根据题意，设． 观察函数图象，函数经过点，代入上式，得． 得． 故p与S之间的函数表达式为 （2）解：由（1）得p与S之间的函数表达式为， 当时，． 故当时，物体承受的压强p的值为200． 62．某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． (1)请直接写出P与S的函数关系式． (2)求m的值，并解释m的实际意义． (3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)，当木板对地面的压强时，木板面积是； (3) 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 把代入，得， 解得， ∴P与S的函数关系式； （2）解：把代入，得， 解得， 当木板对地面的压强为时，木板面积是； （3）解：当时，， 解得， ∵在中，， ∴P随S的增大而减小， 故当压强不超过时，木板的面积至少是． 63．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 64．如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设， 由图象，把代入得：， ∴； （2）当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； （3）当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要． 考点09 工程相关的反比例函数应用题 65．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 66．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 67．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 68．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 【答案】(1) (2)需要4台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键. （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案. 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要4台这样的挖掘机． 69．某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)设该公司平均每天运送土石方总量为立方米，完成运送任务所需时间为天． ①求关于的函数表达式． ②若时，求的取值范围． (2)若1辆卡车每天可运送土石方立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】(1)①；② (2)125辆 【分析】（1）①由每天运送量和总量列出函数关系即可；②根据反比例函数的性质计算求值即可； （2）结合（1）由每天要运送的量计算求值即可； 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵函数在上递减， ∴当x=80时，函数值最小，此时， ∴y≥12500； （2）解：由（1）可知：若工期要在80天内完成，则每天至少要运送12500立方米， ∴至少需要卡车：12500÷100=125辆； 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象特征是解题关键． 70．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 【答案】(1)y＝；(2)2台挖掘机需要20天；(3)每天至少要完成120m． 【详解】解：(1)设y＝． ∵点(24，50)在其图象上， ∴所求函数表达式为y＝； (2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)； 2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天； (3)1200÷10＝120(m)． 故每天至少要完成120m． 71．2024年是习近平总书记首次作出“四好农村路”重要指示批示十周年．十年来，贵州把“四好农村路”高质量发展的力量，广植于每一片生机勃勃的土地上，新改建农村公路9.2万公里，在西部地区率先实现建制村和30户以上自然村寨全部通硬化路．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，如图所示，已知该工程队计划每天修建公路30米，则需要40天完成这条公路的修建． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，若该工程队改进施工方式，每天可以修建公路40米，求该工程队可以提前多少天完成此项工程． 【答案】(1)； (2)该工程队可以提前天完成此项工程． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为． 点在反比例函数的图象上， ， 解得． 与之间的函数表达式为． （2）解：当时，代入， （天）． 原计划需要天，现在需要天， 提前的天数为（天）， 答：该工程队可以提前天完成此项工程． 72．市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务． (1)直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式； (2)如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车． 【答案】(1) (2)运输公司平均每天至少安排20辆车 【分析】（1）由题意知，然后写成反比例函数解析式的形式； （2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知 ∴ ∴函数关系式为：． （2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车 则 解得 ∴运输公司平均每天至少安排20辆车． 考点10 行程相关的反比例函数应用题 73．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【答案】(1)v与M之间的函数关系式为 (2)当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且），待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； （2）当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 74．“苏超”是一项具有独特魅力和积极意义的业余足球赛事．小明一家准备去如皋奥体中心观看南通对阵盐城的比赛．已知小明家国产新能源汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）成反比例关系，行驶过程中汽车行驶总路程s（单位：百公里）与平均耗电量x（单位：百公里）关系如图所示． (1)求s与x的函数关系式； (2)若小明家到比赛场馆的距离是2百公里，小明以百公里平均耗电量的速度到达场馆，返程时考虑到车流量比较大，小明降低速度，此时百公里平均耗电量是原来的1.25倍，如果返程始终以此速度行驶，不充电能否回家？如果不能，至少需要充电多少？ 【答案】(1) (2)不能，至少需要充电 【详解】（1）解：设总路程s与平均耗电量x关系式为， ∵将点代入函数关系式，可得， 解得， ∴s与x的函数关系式为； （2）解：不能，至少需要充电， 去场馆时的耗电量为：； ∵汽车总电量为， ∴剩余电量为， 返程时百公里平均耗电量是原来的1.25倍， ∴返程时百公里平均耗电量为：， 返程所需电量为：， ∵， ∴不充电不能回家，至少需要充电． 75．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 76．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 【答案】(1) (2)小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇，见解析。 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式。 （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论。 【详解】（1）（1）根据表中数据可知， 所以 答：用式子表示小李骑行的平均速度v与骑行时间t的关系为。 （2）小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 理由：从上午8：30到上午9：10，用时40min，即h。 当时， (km/h) 因为骑行速度一般不超过30km/h， 所以小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 答：小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 77．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 78．小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为，所需时间为 ．已知当小林骑车的平均速度为 时，所需时间为 ． (1)求时间关于速度的函数表达式． (2)如果小林骑车的速度为 ，那么他需要几分钟到达单位？ (3)如果小林骑车到单位不得超过 ，那么他骑车的平均速度至少是多少？ 【答案】(1) (2)12分钟 (3)至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键． （1）根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式； （2）把代入函数解析式，即可求得时间． （3）把代入函数的解析式，即可求得速度； 【详解】（1）解：时间 关于速度 的函数表达式为：， 即． （2）解：把代入函数解析式得：， 解得：． 答：他至少需要12分钟到达单位． （3）解：把代入函数的解析式，得：， 答：他骑车的平均速度至少是：． 79．红红一家人自驾从昆明到丽江游玩，途径一段高速公路，假设汽车在该高速公路上匀速行驶，记行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/时．若红红爸爸驾车速度为90千米/时，则6小时可以行完该高速公路． (1)求v与t的函数关系式． (2)他们是早上驶入该高速公路，中午驶离该高速公路，求红红爸爸在该高速公路上的行驶速度． 【答案】(1) (2)108千米/时 【分析】本题考查反比例函数的实际应用： （1）根据高速公路的路程一定，得到，即可得出结果； （2）先求出行驶时间，代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）（小时）， ∴当时，千米/时； 答：红红爸爸在该高速公路上的行驶速度为108千米/时． 80．国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时． 【答案】(1)关于t的函数表达式为 (2)他从银屏山回到家需要4小时 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得从家到银屏山旅游的路程为240km，然后可根据路程=速度×时间可进行求解； （2）根据（1）可进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为 ∴关于t的函数表达式为； （2）解：当时， 解得； 答：他从银屏山回到家需要4h． 考点11 销售利润相关的反比例函数应用题 81．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 82．科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)月利润不高于100万元时共经历4个月 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键； （1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可； （2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点 ∴， ∴反比例函数表达式为； 又当时，， ∴一次函数图象经过点，， 即， ∴， ∴一次函数表达式为； （2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数， ∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份， ∴月利润不高于100万元时共经历4个月． 83．某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)个月 (3)个月 【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即， 当时，，当时，， ； （2）当时，， 解得：， ， 机器全部完成更新个月后，利润达到万元； （3）对于，当时，； 对于，当时，， ， 资金紧张的时间为个月． 84．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 85．某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： （场） 2 5 10 （万元） 7 10 7.5 (1)求销售量与销售场次之间的函数关系式； (2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式； (3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 【分析】（1）根据每增加一场，产品就少卖出2台，即可列出关系式； （2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意得：，其中x为正整数，且； ∴销售量与销售场次之间的函数关系式为． （2）解：设基本价为b， ①∵第1场~第5场浮动价与销售场次x成正比， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得， 解得， ∴； ②∵第6场~第10场浮动价与销售场次x成反比，由①知， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得，解得， ∴； 综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为： ； （3）解：设每场获得的利润为w万元， ①当时，， ∵， ∴当时，w最大，最大利润为210万元； ②当时，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润 (万元)， ∵， ∴在这10场产品促销会中，第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 ． 86．水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/．根据以往的销售经验可知：日销量（单位：）随售价（单位：元/）的变化规律符合某种函数关系．该水果店以往的销售记录如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元/） 10 15 20 25 30 日销量（单位：） 30 20 15 12 10 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． （1）判断与之间的函数关系，并写出其解析式； （2）水果店销售该种水果的日利润能否达到200元？说明理由． 【答案】（1）；（2）能达到200元，理由见解析 【分析】（1）直接利用表格中数据得出y与x之间的关系为反比例函数，进而求出函数关系式； （2）理由销量×每千克利润=200，进而得出答案． 【详解】解：（1）观察可知，售价x与日销量y的乘积为定值300， y与x之间的关系为反比例函数，设函数解析式为：， 当x=10，y=30时，k=300， 故函数解析式为：； （2）能达到200元， 理由：依题意：， 解得：x=30， 经检验得：x=30是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价30元/kg时，水果店销售该种水果的日利润为200元． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键． 87．某厂今年月的利润为万元，从2月初开始适当限产，并投入资金进行设备更新升级，升级期间利润明显下降．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，从1月到5月，与满足反比例关系，到5月底，设备更新升级完成，从这时起，与满足一次函数关系，如图所示． 分别求该厂设备更新升级期间及升级完成后与之间的函数关系式； 问该厂今年有几个月的利润低于万元？ 【答案】（1）该厂设备更新升级期间的函数关系式为，升级完成后的函数关系式为；（2）该厂今年有个月的利润低于万元 【分析】（1）待定系数法可得两个函数解析式； （2）分别在反比例函数和一次函数中求得y=200时x的值即可得． 【详解】（1）设反比例函数关系式为， 把（1，600）代入中，得k=600， ∴反比例函数的关系式为， ∴当时，， 设升级完成后的函数关系式为， 把（5，120）和（7，280）代入上式，得： 得， 解得， ∴升级完成后的函数关系式为y=80x-280（x≥5）； （2）当时， 由， 解得， 由， 解得：， 所以月利润低于200万元的是4，5月份， 答：该厂今年有2个月的利润低于200万元． 88．小张在网上销售一种成本为20元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝30时，y＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下： 销售量y(百件) 　 　 y＝ 销售价格x(元/件) 30≤x≤50 50≤x≤60 (1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式； (2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式； (3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)y＝﹣x+8；(2)见解析；(3)销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元． 【分析】（1）把x＝50代入y＝得y＝3，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，把x＝30，y＝5；x＝50，y＝3，代入解方程组即可得到结论； （2）根据x的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式； （3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． 【详解】(1)把x＝50代入y＝得y＝3， 设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， ∵当x＝30时，y＝5，当x＝50时，y＝3， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+8； 故答案为y＝﹣x+8； (2)当30≤x≤60时，w＝(x﹣20)(﹣0.1x+8)﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200； 当60＜x≤80时，w＝(x﹣20)• ﹣40＝﹣+110； (3)当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1(x﹣50)2+50， ∴当x＝50时，w取得最大值50(百元)； 当60＜x≤80时，w＝﹣+110， ∵﹣3000＜0， ∴w随x的增大而增大，当x＝60时，w最大＝60(百元)， 答：销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 考点12 浓度相关的反比例函数应用题 89．“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： 20 25 40 50 … 2 1.6 1 0.8 … (1)根据表中数据，求电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度 之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 【答案】(1) (2)当测酒仪中核心部件电阻R的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶． 【详解】（1）解：根据表格，得， 解得， ∴电阻R的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度k之间的函数关系式为． （2）， 根据题意，得，即， 解得． 答：当测酒仪中核心部件电阻R的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，关键是通过表格数据判断函数类型，再利用待定系数法确定函数关系式，最后根据函数的增减性解决实际范围问题． 90．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 91．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：    (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：；爆炸后： (2) (3) 【分析】（1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x值即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点与， ， 解得， ， 此时自变量的取值范围是， 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设与的函数关系式为， 由图象知过点， ， ， ， 此时自变量的取值范围是； （2）解：当时，由得，，解得， 撤离的最长时间为（小时）， 撤离的最小速度为 （3）解：当时，由得，，（小时）， 矿工至少在爆炸后小时才能下井． 92．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能在15天以内不超过最高允许的，理由见解析 【分析】（1）根据函数图象，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为②当时，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）令，则，结合题意即可求解． 【详解】（1）分情况讨论： ①当时， 设线段对应的函数表达式为 把代入得， 解得：， ； ②当时，设， 把代入得：， ∴； 综上所述：当时，；时，； （2）能；理由如下： 令，则， ， 故能在天以内不超过最高允许的． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，求得解析式是解题的关键． 93．环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值1.0mg/l时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/l）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业能否按期将排污整改达标？ 【答案】(1) (2)不能按期完成排污整改达标 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）由图象知，点A、B的坐标分别为（0，14）、（5，4）， 当0≤x≤5时，设AB的表达式为y=kx+b， 将点A、B的坐标代入得， ， 解得， 故y=﹣2x+14； 当x＞5时，设函数的表达式为y=， 把点B的坐标（5，4）代入,得：k=20， 故y=； 故函数的表达式为； （2）不能，理由： 当x=15时，， 故不能按期完成排污整改达标． 94．某企业员工感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按使用说明书服用后，血液中的约物浓度（微克/毫升）与服药后时间（小时）之间的函数关系如下图所示，其中，当时，满足的关系式；当时，与成反比例．    (1)求的值，并求当时，与的函数关系式； (2)若血液中药物浓度不低于微克/敦升的持续时间超过5.5小时，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效吗？ 【答案】(1)， (2)这种新药治疗有效，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）由图象可知，将代入函数， 得， 解得， 当时，设与的函数关系式为 将代入，得， , （2）将代入函数得， 解得， 将代入函数得， 解得， 这种新药治疗有效． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 95．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x(天) 3 5 6 8 …… 硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……    (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？ 【答案】(1)； (2)； (3)第15天 【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可； （3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， ∵在线段上， ∴将A，B两点坐标代入函数表达式， 得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，与成反比例， 设函数的表达式为：， 将点B代入得：， 解得：， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为； （3）解：令． 解得． ∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为． 96．在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； (2)当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？ (3)矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？ 【答案】(1)，此时自变量的取值范围是 (2) (3)9小时 【详解】（1）解：爆炸前浓度呈直线型增加， 可设与的函数关系式为， 由图象知过点，， ， 解得， ，此时自变量的取值范围是， 爆炸后浓度成反比例下降， 可设与的函数关系式为． 由图象知过点， ， ， ，此时自变量的取值范围是； （2）当时，由得： ， 解得， 撤离的最长时间为（小时）． 撤离的最小速度为； （3）当时， 由得，， （小时）． 矿工至少在爆炸后9小时才能下井． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键． 考点13 电学相关的反比例函数应用题 97．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … (1)________，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②请写出该函数的一条性质． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为_______． 【答案】(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为：2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为：． 98．【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据I与R之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 q 6 … … 4 p 2.4 2 1.5 … (1)填空： ____________，____________； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质； (3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3，4； (2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小； (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克． 【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为， 当时，，即， 当时，，，即， 故答案为：3，4； （2）根据题意： … 1 2 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 1.5 … 根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下： 由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小； （3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过， ，解得：， 可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：， 可变电阻R随人的质量m增大而减小， 当时，， ； 当时，， ， ， m不能超过； 当时，，解得：， ，解得：， 电子体重秤可称的最大质量为101千克． 99．实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 100．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 【答案】(1)I关于R的函数解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． （1）设I关于R的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可得解． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴I关于R的函数解析式为； （2）解：当时，，此时， 当时，，此时， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 101．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可． 【详解】（1）设，由图象可知，当时， ； （2）当时，． 102．图①是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数（单位：V）换算为酒精气体浓度（单位：），设，电压表显示的读数与（单位：之间的反比例函数图象如图②所示，与酒精气体浓度的关系式为．当电压表示数为4.5V时，求酒精气体的浓度． 【答案】酒精气体浓度为 【分析】先求出与之间的反比例函数解析式，再求出电压表示数为时，的值，进而求出的值，从而根据求出． 【详解】解：设与之间的反比例函数关系式为． 其图象过点， ， 解得， ． 当时，，解得． ， ． ， ， 解得． 故酒精气体浓度为． 103．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 104．某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴与之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）将代入函数解析式得：，解得， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是， ∵， ∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题16反比例函数相关压轴题和实际问题分类训练 (13种类型104道) 考点归纳 考点01反比例函数相关综合题 考点02反比例函数相关最值问题 考点03反比例函数相关规律性问题 考点04己知面积求反比例系数 考点05已知反比例系数求图形面积 考点06反比例函数与相似三角形综合 考点07温度相关的反比例函数应用题 考点08压强相关的反比例函数应用题 考点09工程相关的反比例函数应用题 考点10行程相关的反比例函数应用题 考点11销售利润相关的反比例函数应用题 考点12浓度相关的反比例函数应用题 考点13电学相关的反比例函数应用题 考点专练 考点01反比例函数相关综合题 1.如图，点A在双曲线y=(k>0,x>0)上，点B在直线1：y=mx-2b(m>0,b>0上，A与B关于x轴对 称，直线1与y轴交于点C,当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①Ab,√3b);②当b=2时，k=4V5 ,③m=5,④SB0=2b2.其中正确的结论有（） 3 1/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，矩形0ABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=《的图象在第一象限的分支交4B于点P,交 BC于点E,直线PE交y轴于点D,交x轴于点F,连接AC,则下列结论： 0 CF ①S图边形ACFp=k; ②四边形ADEC为平行四边形； Bp3,则41 ③若AP1 D0=4 ④若S.cF=1,SPE=4,则k=6 其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.反比例函数y=与一次函数y=心+b的图像如图所示，则下列结论正确的有（) ①k>0;②abk<0;③MM1=NN;④若(a-1,y),a+2,y2)均在反比例函数上且y2>y,则-2<a<1且 a≠0 M A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 2137 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.如图，矩形AOBC的边OA=3,0B=4,动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数 y=k的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G,给出下列命题：①若k=6, 则：0EF的面积为》；②若长-引，则点C关于直线F的对称点在x维上，®满足题设的k的取值范围是 Q<k≤12：④若DB~EG名，则k=21其中止确的命题个数是(） D A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，Ra0AB中，∠0AB=90°，AB=A0,双曲线y=k>0,x>0)经过A、B两点(A在B的左侧)， AC⊥y轴于C,BD⊥x轴于D,连接AD交OB于E.下列结论正确的个数是() ①AC+BD=0C:②AC2=0C,BD;③0D2-BD2=4k;④0C-BD-5-1 OC 2 B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，平面直角坐标系xO中，矩形0ABC的顶点B在函数y=(>0)的图象上，A1,0),C(0,2).将 线段AB沿x轴正方向平移得线段AB(点A平移后的对应点为A),AB交函数y=《(x>0)的图象于点D, 过点D作DE⊥y轴于点E,则下列结论： ①k=2: ②AOBD的面积等于四边形ABDA'的面积； ③AE的最小值是√2； 3/37 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④∠B'BD=∠BB'O. 其中正确的结论有()个. B A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上，反比例 函数y=《(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB,BC分别交于点E,F,FD1r轴，垂足为D,连接 1 OE,OF,EF,FD与OE相交于点G.下列结论：①0F=OE;②四边形AEGD与△FOG面积相等；③若 EF=CF+AE=4,k=8;④若∠EOF=60°，EF=4,则直线FE的函数解析式为y=-x+2V6.其中正 确的个数为() 13 G A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知一次函数y=+b与反比例函数y=m(x<0)的图象交于A-2,4),B(-4,2)两点且与x轴和y轴 分别交于点C,D,有①m=8:②a=1,b=6:③m>x+b时，x的取值范围是-4<x<-2:④当点P在 x轴上，且△AOP的面积等于AOB的面积的一半时，点P的坐标为-1.5,0)或1.5,0)；则正确的选项是() A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 考点02反比例函数相关最值问题 4/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12 9.已知A-3,0)、B(0,-4),P为双曲线y=二(x>O)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴 于点D.四边形ABCD面积S的最小值为() -4B A.22 B.23 C.24 D.26 10.如图，点A、B在反比例函数y=《的图像上，点A坐标为1，m),点B坐标为3,2)，y轴上有一动点P ,连接PA、PB,则PA+PB的最小值为() A(1,m) B(3,2) A.26 B.5 C.35 D.4√2 11.如图，点A在反比例函数=y=2x>0)的图象上，以0A为一边作等腰直角三角形0AB,其中 ∠OAB=90°，A0=AB,则线段OB长的最小值是() A A.22 B.3 C.4 0 12.如图，点(a,1)是反比例函数y=5>0)图象上一点，点B为直线y=x上一点，点C为x轴上一点， 则ABC周长的最小值为() 5/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.2 B.√2+1 C.2W2 D.2+√2 13.如图，己知点A(-√2,0)，B(0,√2)，N(0,3V√2).点P是反比例函数y=-(x<0)图象上一动点，己知点P 到点F(-√2，√2)的距离等于点P到直线AB距离的√2倍，PM∥x轴交直线AB于点M,则PM+PN的最小 值为() P 7M F 4.10 3 B.V10 C.2W5 14.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反 比例函数y=x>0)的图像与BC,AB边分别交于E,D两点，△D0E的面积为4，点P为y轴上一点，则 PD+PE的最小值为() E C P D 0 A A.3 B.25 c.32 D.5 15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=《(x>0)的图象与边长是8的正方形OABC的两边AB, BC分别相交于M,N两点，△OMN的面积为7.5.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是() 6/37 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.15 B.√226 C.√224 D.10 16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+2与两坐标轴分别交于A,B两点，C为线段AB的中点， 点P在反比例函数y=4(x>0的图象上，则CP的最小值为() C A.1 B.√2 C.2 D.22 考点03反比例函数相关规律性问题 17.如图，在x轴的正半轴上依次截取0A=AA,=A2A=AA=A44,过A，A,A,A,A分别作x轴 的垂线，与双曲线y=4(x≠0)相交于R,B,B,B,B,得△0P4,△ABA,△A,P4△A,P4, △A,PA,设它们的面积从左到右依次为S,S2,S,S4,S按此规律，则S26=一 P P3 Pa Ps 18.如图，双曲线y=2与直线y=2x相交于点4，B,在直线y=2x上取点4(2,4)，B,(-2,6, A(3,a2),B2-3,b,A4,a),B-4,b),,依次以AB,AB2,AB,为对角线分别向外作左、右一组对 边垂直于x轴的矩形M,M2,M3,…矩形M的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为： C,C2,C,C4;矩形M2的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C5,C6,C1,Cg;矩形M3的 四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C,Co,C1,C2…按此规律，则点Co2s的坐标 为一 7/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C M C M C.C.C C B B B C 19。如图，在平面直角坐标系的第一象限中，片=4和巧=8，点4L,)在乃=4上，AB/x轴交，=8于 点B,8A∥y轴交片-4于点4,48∥x轴交片=8于点及，，按照此规律作图，则B的点坐标为 B B A B2 A2 0 20.如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAPB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P在反比例 函数y=二(x>0)的图象上，过A的中点B作矩形B,AA,P,使顶点落在反比例函数的图象上，再过PA, X 的中点B作矩形B2AA,P,使顶点R落在反比例函数的图象上，，依此规律可得： (1)点P的坐标为 (2)作出矩形BsA,AP,时，落在反比例函数图象上的顶点，的坐标为一 B B2 P A A,x 21.如图，点B,在反比例函数y2(x>0)的图象上，过点B,分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C,和A, 8137 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C,的坐标为(1,0)取×轴上一点C(3,0),过点C,分别作×轴的垂线交反比例函数图象于点B,过 2 B2作线段B,C1的垂线交BC1于点A1,依次在x轴上取点C3(2,0),C4( ，0)…按此规律作矩形，则第 2 n(n≥2，n为整数)个矩形)An1Cn-1CnBn的面积为 R B C C2 C3 Ca 22.如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAPB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点？在反比例 函数y=(x>0)的图象上，过BA的中点B作矩形B,AA,B,使顶点B落在反比例函数的图象上，再过P,4的 中点B作矩形B,AAE,使顶点B落在反比例函数的图象上，，依此规律，作出矩形B1A,A1P,时，落在 反比例函数图象上的顶点P,的坐标为() y B B2 A.(28 218 B.( 8,2) C.25.1 5) 23.如图，已知反比例函数y=2的图象上有一组点B、B、……、B,它们的横坐标依次增加1，且点 B横坐标为1.“①、②、③、……”分别表示如图所示的三角形的面积，记S,=①-②，S2=②-③，…，， 则S,+S2+…+S2025=() 4 3 B 2 B2 B3 ① B4 Bs ②③ 3④4⑤5衣 2025 A. B.1 C.2024 D.2 2026 2025 9/37 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.如图，在反比例函数y=2(x>0的图象上，有点P,P,B,P,,P,…它们的横坐标依次为1,2， 3,4,,,,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S, S2,S3,S4,,Sn,，则S,+S2+S,+…S2024的结果为() S P 3 2 3 4043 A. B.4045 C.4046 D. 4048 2023 2024 2025 2025 考点04已知面积求反比例系数 25.如图所示，在反比例函数y=-2的图象上有一动点A(点A位于第二象限)，连接40并延长交图象的 另一分支于点B.在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y=《的图象上 运动.若4C=3 AB=2,则k的值为() B A. B.6 C.8 D.16 26.如图，反比例函数y=K(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC,BC分别相交于点E,F,点C的坐标为 (4,3)将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为() E →X D B 10/37