专题18 几何专题训练（锐角三角函数与几何&圆10种类型80道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题18 几何专题训练 （锐角三角函数与几何&圆10种类型80道） 考点01 几何问题中求三角函数值 考点02 三角函数相关动点几何问题 考点03 三角函数相关折叠问题 考点04 圆相关垂径定理 考点05 圆相关切线的性质定理 考点06 圆相关切线的判定 考点07 圆与三角形综合 考点08 圆与四边形综合 考点09 求阴影部分面积 考点10 圆与三角函数综合 考点01 几何问题中求三角函数值 1．在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可． （2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可． 根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：在菱形中， ∴， ∴． （2）①如图1，延长交于点， 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解 ：如图2，． ∵， ∴最小时，也最小，要想最小，只需最小． ∵为定角， ∴当时，有最小值为， 此时， ∴的最小值为 2．如图，在中，平分交边于点． (1)______，______． (2)过点作于点，补全图形，并求的值． 【答案】(1)10；6 (2)见解析， 【分析】（1）利用三角函数的定义和勾股定理，结合已知的和的长度，求出和的长． （2）先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积关系求出的长度，最后在直角三角形中求出的值． 【详解】（1）解：在中，，，则； 由勾股定理得． （2）解：补全图形如图． ． 平分， ． ， ，，． ， 解得：． 在中，， ． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理与角平分线性质的综合应用，掌握利用三角函数和勾股定理求直角三角形边长，结合角平分线性质和面积法求线段长度，进而求三角函数值是解题的关键． 3．如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）过点C作于G，根据，可得，得，设，则，可求出，，进而利用勾股定理求得，最后利用正弦定义求解即可； （2）延长至H，使，连接，可得，得，，可得，即得． 【详解】（1）解：过点C作于G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故的正弦值为； （2）解：延长至H，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在正方形中，点为的中点，于点M，交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据线段的中点可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，从而可得，再过点作于点，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，设，则，，，，再利用勾股定理可得，解直角三角形可得，然后在中，解直角三角形可得，最后在中，根据正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， ∵于点， ∴在中，， ∴， 如图，过点作于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 由（2）可知，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 5．如图，点在边上，，交正方形外角的平分线于点，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若点是的中点，请在备用图上画出符合条件的图形，并求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的判定与性质是关键． （1）依据题意，由，则，从而可得，根据正方形的性质证明四点共圆，可得，则，结合，，即可判断得证； （2）依据题意，设，即，则，则可根据勾股定理可得，又可证明，可得，，则，再根据相似三角形的性质可得，进而在中运用勾股定理可得，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是正方形，，，，垂直平分， ． 平分， ， ，， 四点共圆， ， ， 又， ； （2）解：如图，若点是的中点， 设，即， ， ， ， ， ，． ． ∵， ∴， ， ， ∴在中，， ． 6．如图1，在四边形中，对角线与相交于点，平分，过点作的垂线，交于点，且平分． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，利用三角形内角和定理求出，即可求出，进而得到再根据垂线的定义得到，由三角形外角的性质即可求解； （2）连接，根据平分，平分，可得平分，结合三角形内即耦合定理，可得，再根据三角形外角的性质结合直角三角形的性质可证，再根据，可证，推出，结合，即可证明； （3）连接，由（2）知，求出，设，则，，利用等边对等角结合（2）中由（2）知平分，，可得，，，可证，推出，结合，利用正弦的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）证明：连接 ∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由（2）知平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦的定义，熟练掌握三角形内心的性质及定义是解题的关键． 7．已知中， ，D为角平分线 上一点，连接，其中． (1)如图1，延长交于F点，若． ①当时，______ ；和的位置关系是_______； ②若，求的长度； (2)如图2，若，且，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据等边对等角可得，，进而可得，再证，推出，由等腰三角形三线合一，可得，再利用三角形内角和定理，角平分线的定义即可求解； ②作于点H，由平分，平分，可得平分，作于点H，则，再证，设，用勾股定理解，即可求解； （2）作于点H，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，再由等腰三角形三线合一，可得，最后根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：①，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即平分， 又， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：，； ②如图，作于点H， 由①知平分，平分， 平分， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得 ； （2）解：如图，作于点F， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， ，， ，即， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求一个角的正弦值，角平分线的判定和性质等，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的长． (3)如图2，若矩形是正方形，时，求以下值． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查角度的转换，矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，引入参数法，三角函数的计算． （1）根据直角三角形两锐角互余，由证得，得垂直关系； （2）根据及矩形，延长与交于点，根据两个角对应相等的两个三角形相似得，，由对应边成比例求得，即可求得； （3）①设正方形边长为，延长与交于点，根据正方形对边平行，证得，由相似比表示出，与作比即可； ②由表示出，根据正方形的性质得到，由等面积法求得，再求，求即可得到的值． 【详解】（1）解： ， 理由：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ； （2）如图1，延长交于点G， 四边形是矩形， ，， ，，． ，， ，，， ； （3）设正方形的边长为a，则， ①如图2，延长交于点G， ∵四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， ； ②，， 在与中， （）， ，， ． ， ， ． 考点02 三角函数相关动点几何问题 9．如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可； ②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可． 【详解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，， 垂直平分， ， ． ， ． ， ∽， ， ； ②设，则． 点，关于对称， 垂直平分， ． 点为的中点， ， ， ． 在中， ， ， 解得：． 的长为； （2）过点作于点，如图， 为的中点， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 10．在矩形ABCD中，，P为CD上的动点．Q为DA上的动点，且． (1)如图①，当点R在CB上时，求的值． (2)如图②，PR与CB相交于点N连接QN，当QP平分时，求证：． (3)在（2）的前提下，连接CR，当时，求的值． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，通过线段等量代换求得的值． （2）延长NP、QD相交于点H，通过构造全等三角形，证得． （3）过点R作交DC的延长线于点S，过点N作交QR于点M，通过全等三角形及相似三角形的判定与性质，结合勾股定理和三角函数定义求得． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：如图，延长NP、QD相交于点H， ∵，，， ∴，∴， ， ∵，， ∴， ∴，∴ （3）解：如图，过点R作交DC的延长线于点S，过点N作交QR于点M， ∵，∴， 同（1）易证，∴， ∵，∴，，， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴，， ∵，∴， ∴ 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，结合勾股定理和三角函数的定义，进行推导计算是解题的关键． 11．在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，当过点作，交边于点E，F为中点，以为直角边，点为直角顶点，作等腰直角，使点和点位于的两侧，当点与点重合时，运动停止．设点的运动时间为t秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)当直线经过点时，求的值． (3)当点落在边的高上时，直接写出值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理及正方形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理及正方形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意易得是等腰直角三角形，则有，由（1）可知：，，然后问题可求解； （3）由题意易得，则有四边形是正方形，然后可得，进而可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设，则有， ∴， 由题意得：， ∴， ∵F为中点， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵直线经过点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 解得：； （3）解：如图，是边上的高， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，点落在边的高上， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 12．纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）设，则，利用相似多边形的性质解答即可求解； （）①过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，即得，，，又由折叠的性质得，，，即得到，得到，即得到，解得，，即得，进而即可求解；②分别求出点在上和点在上时的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，过点作于点，交于点，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴； ②当点在上时，如图，点是的中点，则；    当点在上时，如图，连接，则，    在中，， ∴， 解得， ∴长的取值范围为， 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，相似多边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．如图1，四边形是边长为5的菱形，对角线与相交于点O，，点是边上一动点(点与、不重合)，交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，①求线段的长；②求的面积． (3)如图2，当点E在射线BC上时，此时恰有PC⊥BC于点C，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②； (3)． 【分析】（1）由菱形的性质得，，再由证明即可； （2）①连接交于点，由锐角三角函数定义得，再由勾股定理得，然后证，得，即可解决问题； ②过点作于点，由菱形面积公式得，则，再由①得，即可得出结论； （3）先推出，求得，设，证明，得到，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 在与中， ， ； （2）解：①如图， 四边形是边长为5的菱形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②如图，过点作于点， ， ， 解得：， ； （3）解：同理， ∴，， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．如图，已知在矩形中，．点Q是对角线上的一个动点，过点Q作的垂线交直线于点P． (1)求线段长度的取值范围； (2)当的长为多少时，为等腰三角形？ 【答案】(1) (2)为等腰三角形时，的长为或 【分析】（1）根据题意可知，Q在A点时BQ最长，BQ⊥AC时，BQ最短；再通过即可求BQ的取值范围； （2）根据等腰三角形两腰相等的性质，分析出两种不同可能，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：当Q与A重合时，BQ=AB=最大； 当BQ⊥AC时，BQ最短； 再矩形ABCD中， ∵∠CAD=∠ACB，； ∴； ∴ ∴AC= ∴BC= ∵ ∴ 即BQ= ∴ （2）若是等腰三角形，则有以下两种情况，如图： ①当AQ1=BQ1时，过Q1作Q1E⊥AB； ∴AE=AB=×= ∵∠AQ1E=∠ACB ∴ ∴，即AQ1=4 易证~ ∴ ∴ ∴ ②当AQ2=AB=时， 易证≌（ASA） ∴ 【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，解该题的关键在于掌握矩形的性质，并结合等腰三角形以及三角函数正弦值进行求解． 15．如图，在四边形中，，，，动点P从点C向点B运动． (1)如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，作点B关于的对称点E，连接． ①当点E在的延长线上时，求点E到的距离． ②当点E在四边形的内部时（包含边界），求点P运动轨迹的长． (3)如图3，连接，Q为上的一点，且，M为上的一点，且，过点M作，交于点N，设，请直接写出的长．（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①点E到的距离为12；②4 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质以及已知相关条件说明即可解答； （2）①根据轴对称的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据正弦的定义即可解答；②分当点E在和上两种情况，分别求得、，然后求得的长即可； （3）设，再证，然后根据三角形的性质列比例式求得，然后再根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴四边形是矩形． （2）解：①∵点B关于的对称点E，且点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴, ∴,即, ∴，解得： ②如图：当点E在上，此时为的角平分线，, ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 如图：当点E在上，此时,， 在中，,即，解得, ∴, ∴， ∴． 综上，点P运动轨迹的长为4． （3）解：如图1：∵，， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， 如下图：设， 在中，,则, ∵， ∴，即, ∵, ∴, ∵， ∴, ∵, ∴， ∵， ∴， ∴,即， 把代入可得：， ∴， 又∵, ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正弦等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD． (1)当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF； (2)当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值； (3)当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用中点、折叠的性质和等腰三角形性质即可证得结论； （2）如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，根据sin∠FCB，可知：sin∠FCB的值随BG的增大而增大，BG越大则sin∠FCB的值越大，当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，再根据三角函数定义即可求得答案； （3）由AB2＝AE•BC，可得，再由矩形性质可得∠ABC＝∠EAB＝90°，可证得，BE⊥AC，再根据折叠可得AF⊥BE，根据过一点有且只有一条直线与已知垂直，即可证得结论． 【详解】（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，如图1， ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED， ∴ED＝EF， ∴∠EDF＝∠EFD， ∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°， ∴∠AEB＝∠EDF； （2）如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°， 以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动， ∵sin∠FCB， ∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大， ∴BG越大则sin∠FCB的值越大， ∵BG≤FB， ∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大， 如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°， 此时sin∠FCB， ∴sin∠FCB的最大值为；            （3）如图3， ∵AB2＝AE•BC， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠EAB＝90°， ∴， ∴∠ACB＝∠EBA， ∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°， ∴∠BTC＝90°， ∴BE⊥AC， ∵沿着BE折叠得到， ∴A、F关于BE对称， ∴AF⊥BE， ∴点F在线段AC上． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题． 考点03 三角函数相关折叠问题 17．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点E是线段上的点，再把按如图2沿折叠，使点B刚好落在上的点F处，连接，，则．活动后，老师鼓励同学们通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题． 【活动猜想】（1）小华受此问题启发，将准备的一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为），按如图3的方式把沿折叠得到，经观察后得到猜想：当E，F，D三点共线时，是一个特殊的三角形．请直接写出：是______三角形； 【探究迁移】（2）如图4，小明和小亮把沿折叠，使点B的对应点F落在上，连接，发现并提出新的探究点： ①若，，求的长； ②当E，F，D三点共线时，求的值． 【答案】（1）等腰直角；（2）①；② 【分析】（1）根据折叠可得，，，进而勾股定理求得，可得，即可求解； （2）①过点作于点，勾股定理求得，根据折叠的性质可得，根据证明得出，进而求得，在中，勾股定理即可求解； ②设，由得出，进而得出，在中，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：（1）∵张纸宽为，长为，把沿折叠得到， ∴，，， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形，    故答案为：等腰直角． （2）①如图4，过点作于点， 在中，，     由沿折叠得到， 则， ∴，     ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，．    ②当，，三点共线时，如图5， 由沿折叠得到， 则， ∴， ，，     设， ∵， ∴， ∴， ∴， ，    ∵， ∴， ∴， 即， 解得 ， 在中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18．（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为 ； （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下．动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，点Q沿向终点A运动，速度为每秒1个单位长度，连结．设点的运动时间为．当时，以为对角线作矩形，且点E在射线边上，当时，求t的值． 【答案】（1）相等；（2）；（3）或 【分析】（1） 由折叠得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （2）过点作垂直于点G，同（1）可得出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后在中，根据正弦的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点P在上时，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据余弦定义可得出，即可求解；②当点P在上时，可证明，则，根据等角对等边得出，则，解方程即可求解． 【详解】解：（1） 相等 理由：由题意垂直平分线段， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图②，过点作垂直于点G， ∵， ∴， 由题意垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点P在上时， ∵， ∴， 又， ∴， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴． ②当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上， 或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确分类讨论是解题的关键． 19．折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，得出即可； （2）设，则，，求出，，证明，得出，求出，得出，得出答案即可； （3）延长到点，使得，连接交与点，连接，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：点关于折叠到， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， 设，则，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接交与点，连接，如图所示： 平分， ， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 20．如图，在矩形的边上取一点，将沿直线折叠得到，此时点的对称点恰好落在边上，为中点，连接分别与交于两点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由折叠的性质得，再推出，证明四边形为平行四边形，由，即可证明四边形为菱形； （2）利用证明，推出；设，则，，证明，推出，解方程即可求得，在中，利用正弦函数的定义即可求解. 【详解】（1）证明：沿直线折叠得到， ， ， ， ，， ，， 四边形为平行四边形， 又， 为菱形； （2）解：连接， ， ， ， ，即， 在矩形中， 又是菱形， ，平分， ， 在和中， ， ， ； 为中点，， 在荾形中，且在矩形中， ，，，， 得， 且，， ， ，即， 设，则，， ， 解得（舍去），， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21．如图，矩形中，，点是的中点，连接． 将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质可得，再根据点M是的中点，可证，进而证明，即可证出； （2）由折叠性质和由（1）得，可以求出，即可证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解； （3）由折叠性质和第（2）问可得，进而求出，由（1），可求，进而求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质可得：， ∵延长交于E， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由折叠性质可得：， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，点是的中点， ∴； ∴ ∴ 解得： （3）解：由（2）得：， ∵， ∴， 由（2）得：， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， 由折叠性质的：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，三角函数、全等三角形的证明与性质、相似三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 22．在中，，，，点E，F分别在边和上运动，且，连接 ，将沿着折叠，点D的对应点为，连结交于点O． (1)如图1，当点在下方时，交于点P，连结． ①求证：． ②设，用含x的代数式表示的面积； (2)如图2，当点在上方时，交于点N，请问为何值时，使得与相似？ 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①由题意可证明，则；由折叠可知，由等腰三角形的性质可得； ②过点O作分别交，于点，易证得，；可得，，可用x表达和的长，进而可表达的面积； （2）根据题意可知，需要分两种情况，当时，当，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点A作于点M，交于点G，过点C作于点N，交于点L， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴，即点O是的中点； 过点O作分别交于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可得，即， ∴， ∴， ∴ ； （2）根据题意可知，需要分两种情况： ①当时，    ∴， ∴， ∴； 当时，    ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）； 综上，的值为或． 23．【问题提出】如图①，在正方形中，点分别在边上，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．则与之间的数量关系为 ． 【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为 ．    【答案】问题提出：，理由见详解 类比探究： 拓展应用：2 【分析】问题提出： 过点作，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，可知，即可获得答案； 类比探究： 过点作于点，易知四边形为矩形，可得，证明，由相似三角形的性质可得，结合、，即可获得答案； 拓展应用： 首先求得，然后利用三角函数可得，设，则，由勾股定理可得，结合折叠的性质易知，则有，在中，由勾股定理可得，求解即可得，，在结合题意求得，即可获得答案． 【详解】问题提出：与的数量关系为，理由如下： 如下图，过点作，交于点，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 类比探究： 过点作于点，如下图，    则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质，可得垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 拓展应用： ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 设，则， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，综合性强，灵活运用相关知识是解题关键． 24．如图，将正方形纸片折叠使点D落在射线上的点E，将纸片展平，折痕交边于点F，交边于点G，的对应边所在的直线交直线于点H，连接． (1)若点E在边上， ①求证：． ②当时，求的值． (2)若，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)2k 【分析】（1）①根据折叠得到∠FEH=∠FDC=90°，利用等角的余角相等得出结果；②设正方形的边长为5a，首先利用直角△AEF求出AF和EF的值，利用sin∠BHE=sin∠AEF求出结果； （2）设BE为单位1，利用直角△AEF求出AF的值，通过△BEH∽△AFE求出BH的值，得出结果． 【详解】（1）解:①由折叠知，∠FEH=∠FDC=90°，FE=FD， ∴∠FDE=∠FED， 由∵∠A=90°， ∴∠AED+∠FDE=90°，∠DEH+∠FED=90°， ∴∠AED=∠DEH； ②设正方形的边长为5a，则AE=， 设AF=x，则DF=EF=5a-x， 根据勾股定理得 ， 解得x=， 由∵∠BHE+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEH=90°， ∴∠BHE=∠AEF， ∴sin∠BHE=sin∠AEF=； （2）∵∠A=∠B=90°，∠BEH=∠AEF， ∴△BEH∽△AFE， ∴ ， 设BE为单位1，则AE为k，AD=AB=k+1， 设AF=x，则EF=DF=k+1-x， 根据勾股定理得 ， 解得x= ， 即AF=， ∴， 解得BH= ， CH=k+1-=, ． 【点睛】本题考查勾股定理以及相似三角形的性质和判定，已知直角利用一线三垂直得到相似三角形是解决问题的关键． 考点04 圆相关垂径定理 25．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图， 设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为． 26．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理． (1)根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； (2)根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，再利用相似三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， ， ． 27．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)圆心角为； (3) 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得； （3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点都在上， ∴， 在和中， ∴ ∴ 即平分； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴所对应的圆心角为； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的中位线， ； （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 29．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 30．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据垂径定理得出，，从而可得，于是就有，再结合，可判定是等边三角形，从而可得； （2）先根据垂径定理得出，再利用勾股定理得到，求得即可得出圆的直径为． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）设的半径为r， ∵垂直平分半径，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 所以圆的直径为． 31．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． 32．如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握知识点． （1）首先证明四边形是矩形，再证明，可得结论； （2）利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：证明：连接，． ，垂足为点于点，于点， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形； （2），， ， ， ， ， ， 的半径为 的直径为． 考点05 圆相关切线的性质定理 33．如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得又因为得出则根据得整理得即平分； （2）先证明四边形为矩形, 得因为得故运用勾股定理得，即可作答． 【详解】（1）证明：连接 ∵与相切, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； （2）解：作如图所示： ∵, ∴ ∵, ∴四边形为矩形, ∴ ∵ ∴ ∴. 34．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点F，设． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 35．已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． （1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，即可得出答案； （2）连接，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ． ，， ． ． ． （2）如图，连接， ， ． 切于点， ，即． ． ， ． ． 36．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证： (2)若，，，求半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，设与相交于点F，设． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 37．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的切线定理可知，进而得出，由平行线的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由同弧与等弧所对的圆周角相等可得出，，等量代换可得出． （2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得 【详解】（1）解：连接并延长交于点E，连接． ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵，为的外接圆． ∴垂直平分， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在中，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 38．如图，是的外接圆，为的直径，为的切线，过点作于点，交于点，连接． (1)连接，写出图中一对相等的角：_____，与的位置关系是_____； (2)延长，交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)； (2)为等腰三角形，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了圆的切线性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、及面积计算等知识；解题的关键是灵活运用几何定理进行角度和线段关系的推导，特别是通过弦切角定理和平行线性质转化角的关系. （1）利用切线的性质得到半径与切线垂直，结合已知垂直条件推导平行关系，进而找出相等的角（如等边对等角或同位角相等）． （2）通过延长线补全图形，结合弦切角定理和平行线性质推导角相等，从而证明三角形是等腰三角形． （3）利用已知角度和长度，通过直角三角形边角关系、和等边三角形的判定，确定相关边长，最后计算等边三角形的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵为的切线 ∴ ∵ ∴ 故答案为；． （2）判定为等腰三角形，理由如下： 证明：延长，交于点 ∵四边形内接于 ∴ 又∵即 ∴ 由（1）得 ∴ ∴为等腰三角形 （3）∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴为等边三角形 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， 又∵ ∴为等边三角形 ∴， ∵在中， ∴ ∴ 39．如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆相关知识是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，然后证明可得结论； （2）先根据切线性质和全等三角形的性质得到，设半径为，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，， 且，， ， ； （2）解：是的切线， ， ， 设半径为，则，， ， 解得， ． 40．如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 考点06 圆相关切线的判定 41．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由三角形的中位线得到，， 在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解， 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键． 42．如图，是的直径，D是上的一个动点，过点B作的切线，连接并延长，交过点B的切线于点C，E是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点F，连接，当， 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见详解 (2)9 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，得出即可得出结论； （2）证出是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， 在中，点是的中点， ， ， ， ， ， 即， 是的切线， ， 点在上， 是切线； （2）解：四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ∴ ， ， 时，四边形是菱形． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形的运算，切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 43．如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆的切线的性质定理和判定，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用圆的半径相等得到，根据切线的性质得，即可证明； （2）连接，由，，得到，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的切线，切点是点D， ∴， ∴； （2）连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． 44．如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． （1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 是等腰三角形， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ． 46．如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． (1)求证：是 的切线； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据同弧的圆心角是圆周角2倍可知，根据切线的性质可知，进一步求得四边形为正方形，因此，即可得证； （2）由四边形为正方形可知，因此可得，，由题意，求得，由勾股定理得：，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                          ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，                                    ∵， ∴，                                                    由勾股定理得： ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 47．如图，是的直径，是的切线，． (1)请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； (2)在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形的重心、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线．证明：先证出是的中线，再根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的三线合一可得是的边上的中线，然后根据三角形的重心的定义即可得； （2）连接，先根据三角形的中位线定理可得，从而可得四边形是平行四边形，再根据圆的切线的性质可得，从而可得平行四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线． ∵是的直径， ∴， ∴是的中线， 又∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是的边上的中线（等腰三角形的三线合一）， ∴点是的重心， ∴是的中线． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知，点分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的直径，是的切线， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 48．请从下列备选关系式：“①，②．”中选择一个你认为合适的作为下面问题的已知条件，将其序号填写在横线上，并解决问题：已知为半圆的直径，是的切线，过圆心作分别交直线于点D、E，___________，如图． (1)求证：是的切线； (2)若，求与的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）选择①，根据切线的性质得到，则由平行线的性质可得，据此可证明结论；选择②，导角证明即可证明结论； （2）由切线的性质得到，由勾股定理求出，则，根据，，分别解直角三角形即可求出答案． 【详解】（1）选择①， 证明：是的直径，是的切线， ， 又∵， ， ∵经过半径的外端， 是的切线； 选择②， 证明：， ， ， 又∵， ． ， ∵经过半径的外端， 是的切线； （2）解：是的切线， ， 在中，， ， ， ， ． ， ． 考点07 圆与三角形综合 49．如图，是的直径，弦于点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接，，． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． 【答案】(1)8 (2)见详解 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键： （1）根据垂径定理，线段的和差关系及勾股定理计算即可； （2）由图可知，由垂径定理可得， 再根据全等三角形的判定与性质可得结论； 【详解】（1）解：连接 是的直径，弦 ，， ，， （2）解：是的直径，弦 即是的垂直平分线 ， ． 50．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 51．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 52．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，即 ，即是等腰直角三角形 （2）解：∵ ，即是等腰直角三角形 由（1）得， 如图所示，连接，设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等知识，数形结合分析是关键． 53．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等，掌握切线的判定与性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、，则，由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，即可得证； （2）由，得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，则， ， ， ， ， ， 是的直径，D是的中点， ∴， ， ， ， 为的切线． （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 54．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】考查切线的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理．解题关键为（1）连接半径；（2）作垂线构造矩形，建立半径的方程．易错点为构造辅助线时遗漏矩形的性质，或列方程时线段关系错误． （1）连接，通过切线性质得，结合得，进而证明角相等； （2）作构造矩形，将已知线段长度转化为与半径相关的线段，利用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）解：连接，因为是的切线，所以． 又，故，得． 因为，所以，因此，即平分． （2）过O作于F，连接，则四边形是矩形，故，． 由，得，又． 又∵， 是等腰三角形， ∵， ， ． 在中，，即，解得． 55．如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为E，如图， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点B， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， 根据勾股定理，得， ∵，均为的切线，切点分别为点B和点E， ∴， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得，即， ∴． 56．如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，连接，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，，求出．在中，，解得，即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点H．连接， ∵点E是的内心， ∴平分， ∴，    ，     ∴，         ∴．         ∵， ∴．         又是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵点E是的内心， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 由(1)得，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 在中， ∴， 解得． 在中， ， ∴， 解得， ∴的半径为5． 考点08 圆与四边形综合 57．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵••， ∴•， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长， ∴． 58．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆． （1）如图1，求证：AD是⊙O的切线； （2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G． ①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）连接OA，OB，OC，由AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB可证出△OAC≌△OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC＝∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线； （2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE＝90°可得出∠BAE＝90°，由同角的余角相等可得出∠BAG＝∠AEB，结合∠ABC＝∠ACB＝∠AEB可得出∠BAG＝∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG＝BG； ②由∠ADC＝∠AFB＝90°，∠ACD＝∠ABF，AC＝AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG＝x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解． 【详解】证明：（1）连接OA、OB、OC，如图1， ∵AC=AB，OA=OA，OC=OB， ∴△OAC≌△OAB， ∴∠OAC＝∠OAB， ∴AO⊥BC， ∵AD∥BC， ∴AD⊥AO， ∴AD是⊙O的切线； （2）①连接AE，如图2， ∵AD∥BC，AD⊥CD， ∴BC⊥CD， ∴∠BCE＝90°， ∴BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠BAG+∠EAF＝90°， 又∵AF⊥BE， ∴∠AEB+∠EAF＝90°， ∴∠BAG=∠AEB， ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB， ∴∠BAG=∠ABC， ∴AG=BG； ②∵AC=AB，∠ACD＝∠ABF，∠ADC=∠AFB＝90°， ∴△ADC≌△AFB， ∴AF=AD=4，BF=CD=5， 设FG=x，则AG=GB=x+4， 在Rt△BFG中，由勾股定理可得： ， 解得：， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定义，平行线的性质，圆内接四边形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG＝∠ABC；②在Rt△BFG中，利用勾股定理求出FG的长． 59．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，E为AC的中点，BE交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）①当∠B=______时，四边形AODE是正方形； ②在①的条件下，若OA=2，线段BF的长为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）①45°；②． 【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，则由E是AC的中点得到ED=EA，所以∠EAD=∠EDA，而∠OAD=∠ODA，所以∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA，于是得到∠EDO=∠EAO=90°，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线； （2）①先判断出AE=OA，进而判断出AB=AC，即可得出结论； ②由OA=2结合①结论用勾股定理可得BE=2，再由△AFB～△EAB计算BF长即可 【详解】（1）连结AD，如图1， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴△ADC为直角三角形， ∵E是AC的中点， ∴ED=AC=EA， ∴∠EAD=∠EDA， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA， ∴∠EDO=∠EAO=90°， ∴ED⊥OD， ∴DE为⊙O的切线； （2）①当∠ABC=45°时，四边形AODE是正方形，理由如下： ∵∠ABC=45°，∠BAC=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AC=AB， ∵EC=EA，AO=BO， ∴AE=AO， 由（1）知，DE是⊙O的切线， ∵AB是⊙O的直径，且∠BAC=90°， ∴AC是⊙O的切线， ∴AE=DE， ∴AE=DE=AO=DO， ∴四边形AODE是菱形， 又∵∠EAO=90°， ∴菱形AODE是正方形， 故答案为：45°； ②如图2，连接AF， 由①得四边形AODE是正方形， ∵OA=2， ∴AE=2，AB=4，BE=， ∵AB是直径， ∴AF⊥BE， ∴△AFB～△EAB， ∴，即：， ∴BF=． 故答案为： 【点睛】此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”． 60．已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 【答案】(1)线段、、的数量关系为，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理； （1）过C点作且使，连接，，构造出了，可寻找条件证明，得出从而将转化为，再利用圆内接四边形对角互补得出A、D、E三点共线，从而得出即为线段，最后证明是等腰直角三角形，得出，得出； （2）过P作交延长线于E，于F于G，解题思路是构建一个含有的，在这个直角三角形中利用来求解，所以解题的关键就变成表示出，的长度，设，利用正方形的性质，矩形的性质，勾股定理可分别求出，的长度，从而求出. 【详解】（1）解：线段、、的数量关系为，证明如下： 如图1所示，过C点作且使，连接， ∵，为的切线切点为C、D， ∴，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵为的一条直径，O为圆心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在与中， ∴， ∴，，， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 即 ∴A、D、E三点共线， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，D点为边上一点， ∴， 即 ∵， ∴. 故答案为：线段、、的数量关系为. （2）解：如图2所示，过P作交延长线于E，于F，于G， 若也是的一条直径，由（1）得四边形为正方形，四边形也为正方形，且，设，则， ∵四边形为正方形，四边形也为正方形， ∴四边形为矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴. 故答案为：. 61．已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)或，理由见解析 【分析】（1）①根据等边对等角，圆周角定理证明即可； ②②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， 得四边形的面积为：，根据题意，得到都是定值，是动值，根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值，解答即可． （2）分两种情况，利用三角函数，等腰三角形得性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：取的中点G，连接，并延长交于点E，连接，过点D作于点H， ∵， ∴，， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 根据题意，得到都是定值，是动值， 根据圆的性质，得当点D与点E重合时，取得最大值，此时四边形的面积也取得最大值， ∴四边形面积的最大值为：， ∵，的半径为， ∴，， ， ∴四边形面积的最大值为：； （2）解：（i）当点D在优弧上时，如图，延长到点E，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点C作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当点D在劣弧上时，如图，延长到点F，使得, ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作，交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，正弦函数的应用，余弦函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 62．如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【详解】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 63．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 64．如图，矩形ABCD中，AB＝16，AD＝18，⊙O经过点A，与AD交于点E，与AB相交于点F，与BC相切于点H，ED＝2． (1)求证：⊙O与CD相切； (2)连接EF并延长，交CB的延长线于点M，求MB的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点G，连接HO并延长，交AD于点N，利用矩形的性质和已知条件，先证四边形ABHN，OGCH，OGDN都是矩形．利用垂径定理求出，进而求出，解求出⊙O的半径为10，结合即可证明⊙O与CD相切； （2）先证EF是⊙O的直径，利用勾股定理求出AF，进而求出BF，再证，利用相似三角形对应边成比例即可求出MB． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，，，， ∵， ∴， 如图，过点O作于点G，连接HO并延长，交AD于点N， ∴， ∵ BC与⊙O相切， ∴， ∵， ∴， ∴四边形ABHN，OGCH，OGDN都是矩形． ∵ ，O为圆心，AE为⊙O的弦， ∴， ∴，， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，得：， 即， 解得， ∴⊙O的半径为10， ∵ ，OG是半径， ∴⊙O与CD相切； （2）解：∵⊙O的半径为10，，， ∴EF是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即MB的长为． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查圆的切线、矩形的性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定与性质等，有一定难度，能够综合运用上述知识点逐步进行推导是解题的关键． 考点09 求阴影部分面积 65．如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且． (1)求的度数； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质得到，， 结合三角形外角的性质得到，由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数，进而得到的度数， 从而证得是等边三角形， 得到的度数， 由圆周角定理即可得到的度数； （2）先证， 根据等角对等边得到， 从而可求出的长度，利用勾股定理即可求得 的长度 ， 从而根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：如图所示， 由（1）可知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，扇形面积、三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 66．如图，在中，圆心角，． (1)求的半径； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，扇形面积公式及三角形的面积公式． （1）根据已知条件得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可； （2）先求出扇形的面积，再减去等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， 即的半径为1． （2）解：∵的半径为1，， ∴，， ∴． 67．如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 【答案】 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 68．如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求 ①的半径 ②弓形的面积（图中阴影部分） 【答案】(1)证明见解析 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，扇形面积公式，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质； （1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）①根据垂直可得，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得，据此计算即可求解半径； ②先解中，求出，则，再由弓形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①设的半径为， ∵， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为4； ②连接, ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弓形的面积，， ∴弓形的面积 69．如图，是半圆的直径，，，分别与半圆相切于点，，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求两块阴影部分面积之和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、角平分线的判定定理和相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． （1）根据切线的性质和角平分线的判定定理可得，，平分，平分，进而根据角的转换求证即可； （2）连接，根据切线的性质可得，，，再证明可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：，，分别与半圆相切于点，，， ，，平分，平分， ，，， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ，，分别与半圆相切于点，，， ，，， ∴， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， 两块阴影部分面积之和 ． 70．如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理，等角对等边， （1）根据是的直径，，，推出，即可推得． （2）根据，求出，再根据，求出，即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）证明：∵A是弧的中点， ∴在中有． ∵是的直径， ∴． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过E点作于H， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形. 又∵A是弧的中点， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 71．如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为B，点D，F是的三等分点，，的延长线相交于点E． (1)求证：DC是的切线； (2)若的半径为1，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接由点D，F是，的三等分点可知，，进而可知，则可证由此可知，根据是的切线，则则可证，是的半径，则可证是的切线； （2）由，可知在中，，根据进而可知在中，，由勾股定理得，进而可求的面积，进而可求扇形的面积，用割补法可求出阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点D，F是的三等分点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴（全等三角形对应角相等） 又是的切线， ∴， ∴， ∴，是的半径， ∴是的切线； （2）解：（已证）， ， 在中， ， 又， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理，割补法求面积，能够熟练掌握割补法是解决本题的关键． 72．如图，在平面直角坐标系中， 的半径为，过点的直线与相切于点，与轴相交于点． (1)求的长； (2)写出直线相应的一次函数表达式：______． (3)求阴影部分面积，结果保留． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆与一次函数的综合问题，勾股定理，求不规则图形的面积等知识点，熟练掌握基础知识点是解题关键． （1）通过点的坐标得到的长度，然后利用勾股定理计算即可； （2）求出的长，得到点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）用三角形的面积减去四分之一圆的面积即可求解． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 点坐标为， 设直线的一次函数表达式为， 把，代入得： ，解得， 直线相应的一次函数表达式为； 故答案为：． （3）解：， ， ． 考点10 圆与三角函数综合 73．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点． (1)判定与的位置关系，为什么？ (2)若，， ①求、的值； ②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证． 【答案】(1)相切，原因见解析 (2)①，；②，验证见解析 【分析】（1）连接OD，根据角之间的关系可推断出，即可求得的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切； （2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出，的值；②先表示出来、和的关系，进而猜测与，的关系，然后将代入进去加以验证． 【详解】（1）解：连接OD，如图所示 ∵BD为的角平分线 ∴ 又∵过点B、D，设半径为r ∴OB=OD=r ∴ ∴（内错角相等，两直线平行） ∵ ∴AC与的位置关系为相切． （2）①∵BC=3， ∴ ∴ 过点D作交于一点F，如图所示 ∴CD=DF（角平分线的性质定理） ∴BF=BC=3 ∴OF=BF-OB=3-r， ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ② ∴ ∴ 猜测 当时 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果． 74．已知A，B，C是上的点，，垂足为D． (1)如图1，当过O时，求证：； (2)如图2，当不过O时，过C作延长线于F，交于E， ①求证：； ②若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据垂径定理，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，由圆周角定理可得，再根据，易证是等腰三角形，利用，由等腰三角形三线合一得到，推出，结合，易证，推出，即可证明； ②作，可知，因为，设，由，可得，由垂径定理可知，通过证明，得，则；根据及勾股定理可证明，则可求，因为，则题目可解． 【详解】（1）证明：当经过圆心时， ， ， 垂直平分， ∴； （2）①证明：连接，过点作于点， 则， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：作， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 在中， ， 由①证得， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，等腰三角形判定和性质，平行线性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 75．如图，已知的内接锐角三角形中，、、所对的边分别记作，，． (1)如图①，若在直径的延长线上取一点，使，求证：是的切线； (2)如图①，在（1）的条件下，若，，求的长度； (3)如图②，若设的半径为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图①，连接，由是直径，可得，证明，则，即，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）设，则，，由，可得，即，解得，（舍去），则，，，在中，由勾股定理得，即，计算求解满足要求的值即可； （3）证明：如图②，连接并延长交于，连接，由知，，则，即，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，连接，同理可证，，进而结论得证． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设，则，， ∵， ∴，即，解得，（舍去）， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得，（舍去）， ∴的长度为； （3）证明：如图②，连接并延长交于，连接，则， ∵， ∴， ∴，即， 如图②，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即， 如图②，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，切线的判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 76．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝，求sin 2α的值． 小娟是这样给小芸讲解的： 如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°． 设∠BAC＝α，则sin α＝＝．易得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x…… 【问题解决】 （1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2α的值．（写出完整的解答过程） （2）已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图①，设∠BAC＝a，根据圆周角定理得到∠COB＝2α，∠ACB＝90°，利用正弦的定义得到sina＝＝．则设BC＝3x，AB＝5x，利用勾股定理得到AC＝4x，作CD⊥AB于D，如图，根据面积法得CD＝x，然后在Rt△COD中利用正弦的定义可求出sin2α的值； （2）如图②，作直径NQ，连接QN、OM，作MH⊥NQ于H，根据圆周角定理得到∠NMQ＝90°，∠MON＝2∠P，∠Q＝∠P＝β，利用sinQ＝sinβ＝＝，设MN＝t，则NQ＝4t，则MQ＝t，根据面积法得到MH＝x，然后在Rt△OMH中利用正弦的定义求出sin∠HOM即可． 【详解】解：(1)作CD⊥AB于D， ∵AB是圆O的直径   ∴∠ACB=90° ∵∠BAC=α          ∴∠BOC=2α ∵sin α=           ∴ ＝． 设BC=3x，则AB=5x   OC=OB= ，AC==4x S△ABC=AC×BC=CD×AB ∴CD= ∴sin2α= (2) 延长NO交圆于Q，连接MQ，OM 作MR⊥QN于R ∴∠MPN=∠MQN=∠MON ∵NQ是圆O的直径   ∴∠NMQ=90° ∵∠NPM=          ∴∠NOM=2 ∵sin β =        ∴ 设MN=x，则NQ=4x ，OM=ON=2x ，MQ= S△NMQ=MN×MQ=NQ×MR ∴CD= ∴sin2β == 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了解直角三角形． 77．如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶ （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接交于点即可． 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解∶如图，点E即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴． 78．已知内接于半径为的，设． (1)如图，若时，求证：； (2)如图若时，探究弦之间的数量关系并说明理由； (3)如图，若，点为弧上一点，交延长线于点．，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）连接并延长交圆于点，连接，由同弧所对圆周角相等，及正弦的定义，即可求解， （2）在圆上取点，过作，由圆内接四边形对角互补，圆周角定理，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，特殊角的三角函数，即求解， （3）作，得到是等腰直角三角形，，结合，得到，由同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，得到，，，设，，则，在中，应用勾股定理，得到，由同弧所对圆周角相等得到，，由，得到，在中，应用勾股定理得到，由，即可求解， 本题考查了，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质，同弧所对圆周角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解∶如图，连接并延长交圆于点，连接， 则，， ∴， ∴； （2）解： 理由如下：如图，在圆上取点，连接，过作， 则， ∴， ∴， 又∵， ，， ∴， ∴ ， ， 故答案为：， （3）解：过点作，交延长线于点，连接，， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则， 在中，， ∵，， ∴， ∵，即：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 79．如图1，已知是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接相交于点E． (1)求证： (2)如图2，点F是弧上一点，若， ①求证：； ②若，，，求半径的长． ③如图3，连接，若，若是直角三角形，且，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③1或2 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角；两边成立比且夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例． （1）根据题意可证，得到即可求证； （2）①通过证明即可得到； ②易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，再由，得到，再利用勾股定理求得即可； ③连接，过作于，过作于，不妨设，，则，，根据得到，利用勾股定理求出，结合，求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是半圆O的直径， ， 又， ， ， 即； （2）①证明：连接， ， 又， ， （同旁内角互补，两直线平行）， ②，， 四边形为平行四边形， ， ， （圆周角相等，弦长相等）， ， 即，解得， ， 所以半径的长为； ③连接，过作于，过作于， ， 不妨设，， 则，， 由（1）知，，即， ， ，且（同弧所对的圆周角相等）， ， 又，， （内错角相等，两直线平行）， 由①知， 所以四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 又， ，即， ， ， ， ，解得或， 又， ， 所以的值为1或2． 80．如图1，中，，，，延长BC至D，使，E为AC边上一点，连结DE并延长交AB于点F．作的外接圆，EH为的直径，射线AC交于点G，连结GH． (1)求证：． (2)①如图2，当时，求GH的长及的值． ②如图3，随着E点在CA边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围． (3)若要使圆心O落在的内部（不包括边上），求CE的长度范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6，；②，不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）先证明再证明从而可得结论； （2）①当时，则 此时重合，重合，从而可得答案； ②过作于 延长交HG的延长线于 证明 可得结论； （3）当O在BC上时，由（2）可得： 证明 可得 设 则 再建立方程求解即可，当O在AB上时， 可得 从而可得答案． 【详解】（1）解： ， ， （2）①当时，则 为外接圆的直径， 此时重合，重合， ②值不变，理由如下： 过作于 延长交HG的延长线于 则 为的直径， 而 而同理可得 ； （3）如图，当O在BC上时， 由（2）可得： ∵ ∴ 设 则 解得： 经检验符合题意； 如图，当O在AB上时， 为的直径， ∴要使圆心O落在的内部（不包括边上），CE的长度范围为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，是动态几何体，准确的画出图形是解本题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 几何专题训练 （锐角三角函数与几何&圆10种类型80道） 考点01 几何问题中求三角函数值 考点02 三角函数相关动点几何问题 考点03 三角函数相关折叠问题 考点04 圆相关垂径定理 考点05 圆相关切线的性质定理 考点06 圆相关切线的判定 考点07 圆与三角形综合 考点08 圆与四边形综合 考点09 求阴影部分面积 考点10 圆与三角函数综合 考点01 几何问题中求三角函数值 1．在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 2．如图，在中，平分交边于点． (1)______，______． (2)过点作于点，补全图形，并求的值． 3．如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 4．如图，在正方形中，点为的中点，于点M，交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求的值． 5．如图，点在边上，，交正方形外角的平分线于点，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若点是的中点，请在备用图上画出符合条件的图形，并求的值． 6．如图1，在四边形中，对角线与相交于点，平分，过点作的垂线，交于点，且平分． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，求的值． 7．已知中， ，D为角平分线 上一点，连接，其中． (1)如图1，延长交于F点，若． ①当时，______ ；和的位置关系是_______； ②若，求的长度； (2)如图2，若，且，求的值． 8．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的长． (3)如图2，若矩形是正方形，时，求以下值． ①求的值； ②求的值． 考点02 三角函数相关动点几何问题 9．如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． (2)如图，若为的中点，，求的值． 10．在矩形ABCD中，，P为CD上的动点．Q为DA上的动点，且． (1)如图①，当点R在CB上时，求的值． (2)如图②，PR与CB相交于点N连接QN，当QP平分时，求证：． (3)在（2）的前提下，连接CR，当时，求的值． 11．在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，当过点作，交边于点E，F为中点，以为直角边，点为直角顶点，作等腰直角，使点和点位于的两侧，当点与点重合时，运动停止．设点的运动时间为t秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)当直线经过点时，求的值． (3)当点落在边的高上时，直接写出值． 12．纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似．    (1)纸长边______； (2)用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 13．如图1，四边形是边长为5的菱形，对角线与相交于点O，，点是边上一动点(点与、不重合)，交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，①求线段的长；②求的面积． (3)如图2，当点E在射线BC上时，此时恰有PC⊥BC于点C，直接写出的值． 14．如图，已知在矩形中，．点Q是对角线上的一个动点，过点Q作的垂线交直线于点P． (1)求线段长度的取值范围； (2)当的长为多少时，为等腰三角形？ 15．如图，在四边形中，，，，动点P从点C向点B运动． (1)如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，作点B关于的对称点E，连接． ①当点E在的延长线上时，求点E到的距离． ②当点E在四边形的内部时（包含边界），求点P运动轨迹的长． (3)如图3，连接，Q为上的一点，且，M为上的一点，且，过点M作，交于点N，设，请直接写出的长．（用含x的代数式表示）． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD． (1)当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF； (2)当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值； (3)当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上． 考点03 三角函数相关折叠问题 17．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点E是线段上的点，再把按如图2沿折叠，使点B刚好落在上的点F处，连接，，则．活动后，老师鼓励同学们通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题． 【活动猜想】（1）小华受此问题启发，将准备的一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为），按如图3的方式把沿折叠得到，经观察后得到猜想：当E，F，D三点共线时，是一个特殊的三角形．请直接写出：是______三角形； 【探究迁移】（2）如图4，小明和小亮把沿折叠，使点B的对应点F落在上，连接，发现并提出新的探究点： ①若，，求的长； ②当E，F，D三点共线时，求的值． 18．（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为 ； （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； （3）如图③，在（2）的条件下．动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，点Q沿向终点A运动，速度为每秒1个单位长度，连结．设点的运动时间为．当时，以为对角线作矩形，且点E在射线边上，当时，求t的值． 19．折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 20．如图，在矩形的边上取一点，将沿直线折叠得到，此时点的对称点恰好落在边上，为中点，连接分别与交于两点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求线段的长和的值． 21．如图，矩形中，，点是的中点，连接． 将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． (3)若，，求的值． 22．在中，，，，点E，F分别在边和上运动，且，连接 ，将沿着折叠，点D的对应点为，连结交于点O． (1)如图1，当点在下方时，交于点P，连结． ①求证：． ②设，用含x的代数式表示的面积； (2)如图2，当点在上方时，交于点N，请问为何值时，使得与相似？ 23．【问题提出】如图①，在正方形中，点分别在边上，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．则与之间的数量关系为 ． 【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为 ．    24．如图，将正方形纸片折叠使点D落在射线上的点E，将纸片展平，折痕交边于点F，交边于点G，的对应边所在的直线交直线于点H，连接． (1)若点E在边上， ①求证：． ②当时，求的值． (2)若，求的值（用含k的代数式表示）． 考点04 圆相关垂径定理 25．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 26．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 27．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 28．如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 29．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 31．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 32．如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 考点05 圆相关切线的性质定理 33．如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 34．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求半径长． 35．已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 36．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． (1)求证： (2)若，，，求半径长． 37．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 38．如图，是的外接圆，为的直径，为的切线，过点作于点，交于点，连接． (1)连接，写出图中一对相等的角：_____，与的位置关系是_____； (2)延长，交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的面积． 39．如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 40．如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点06 圆相关切线的判定 41．如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 42．如图，是的直径，D是上的一个动点，过点B作的切线，连接并延长，交过点B的切线于点C，E是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点F，连接，当， 时，四边形是菱形． 43．如图，是的直径，是的切线，切点是D，过点A的直线与交于点C． (1)求证：． (2)若，求证：是的切线． 44．如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 45．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求线段的长． 46．如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． (1)求证：是 的切线； (2)若， 求的长． 47．如图，是的直径，是的切线，． (1)请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； (2)在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 48．请从下列备选关系式：“①，②．”中选择一个你认为合适的作为下面问题的已知条件，将其序号填写在横线上，并解决问题：已知为半圆的直径，是的切线，过圆心作分别交直线于点D、E，___________，如图． (1)求证：是的切线； (2)若，求与的长． 考点07 圆与三角形综合 49．如图，是的直径，弦于点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接，，． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． 50．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 51．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 52．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 53．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 54．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 55．如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 56．如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点08 圆与四边形综合 57．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 58．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为△ABC的外接圆． （1）如图1，求证：AD是⊙O的切线； （2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G． ①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长． 59．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，E为AC的中点，BE交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）①当∠B=______时，四边形AODE是正方形； ②在①的条件下，若OA=2，线段BF的长为______． 60．已知四边形内接于，过C、D分别作的切线，，若，为的一条直径，设与交于P点 (1)判断线段、、的数量关系，并证明 (2)若也是的一条直径，连接、，设，求的值 61．已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 62．如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 63．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 64．如图，矩形ABCD中，AB＝16，AD＝18，⊙O经过点A，与AD交于点E，与AB相交于点F，与BC相切于点H，ED＝2． (1)求证：⊙O与CD相切； (2)连接EF并延长，交CB的延长线于点M，求MB的长． 考点09 求阴影部分面积 65．如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且． (1)求的度数； (2)若，求阴影部分面积． 66．如图，在中，圆心角，． (1)求的半径； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 67．如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 68．如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求 ①的半径 ②弓形的面积（图中阴影部分） 69．如图，是半圆的直径，，，分别与半圆相切于点，，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求两块阴影部分面积之和． 70．如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 71．如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为B，点D，F是的三等分点，，的延长线相交于点E． (1)求证：DC是的切线； (2)若的半径为1，求阴影部分面积． 72．如图，在平面直角坐标系中， 的半径为，过点的直线与相切于点，与轴相交于点． (1)求的长； (2)写出直线相应的一次函数表达式：______． (3)求阴影部分面积，结果保留． 考点10 圆与三角函数综合 73．如图，已知是的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的经过点，与相交于点． (1)判定与的位置关系，为什么？ (2)若，， ①求、的值； ②试用和表示，猜测与，的关系，并用给予验证． 74．已知A，B，C是上的点，，垂足为D． (1)如图1，当过O时，求证：； (2)如图2，当不过O时，过C作延长线于F，交于E， ①求证：； ②若，，求． 75．如图，已知的内接锐角三角形中，、、所对的边分别记作，，． (1)如图①，若在直径的延长线上取一点，使，求证：是的切线； (2)如图①，在（1）的条件下，若，，求的长度； (3)如图②，若设的半径为，求证：． 76．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝，求sin 2α的值． 小娟是这样给小芸讲解的： 如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°． 设∠BAC＝α，则sin α＝＝．易得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x…… 【问题解决】 （1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2α的值．（写出完整的解答过程） （2）已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值． 77．如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的上作点D，使得． (2)在图2中的上作点E，使得． 78．已知内接于半径为的，设． (1)如图，若时，求证：； (2)如图若时，探究弦之间的数量关系并说明理由； (3)如图，若，点为弧上一点，交延长线于点．，求的值． 79．如图1，已知是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接相交于点E． (1)求证： (2)如图2，点F是弧上一点，若， ①求证：； ②若，，，求半径的长． ③如图3，连接，若，若是直角三角形，且，请求出的值． 80．如图1，中，，，，延长BC至D，使，E为AC边上一点，连结DE并延长交AB于点F．作的外接圆，EH为的直径，射线AC交于点G，连结GH． (1)求证：． (2)①如图2，当时，求GH的长及的值． ②如图3，随着E点在CA边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围． (3)若要使圆心O落在的内部（不包括边上），求CE的长度范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $