专题17应用题专题训练（解直角三角形&二次函数9种类型72道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题17应用题专题训练 （解直角三角形&二次函数9种类型72道） 考点01 方位角问题 考点02 坡度问题 考点03 实物相关解直角三角形实际问题 考点04 建筑相关解直角三角形实际问题 考点05 拱桥问题 考点06 抛物问题 考点07 喷水问题 考点08 动点几何 考点09 最大利润 考点01 方位角问题 1．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】(1) (2)1.6千米 【详解】（1）解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； （2）解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 2．因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)商店B与学校C之间的距离为 (2)小学先到达学校C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； （2）解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 3．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行900米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，爸爸步行速度为90米/分，购买充气棒的时间是5分钟，取票时间是10分钟，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)爸爸先到达 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）作于点H，由题意得，，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：（米），然后可得（米），再分别求出小陈和爸爸到达体育场D处的时间，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 由题意得，，， ∴， 在中，（米）， ∴米， 在中，（米）， 答：的长度为米． （2）解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， （米）， （分） （分） ∵， ∴爸爸先到达体育场D处． 4．如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 【答案】(1)1369米 (2)选择路线① 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意； （1）过点B作于点M．由题意知，四边形是矩形，，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点D作于点N，由题意，四边形是矩形，，，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点B作于点M． 由题意知，四边形是矩形，，， ∴． ∵在中， ∴（米）． ∴路线①的长度为： ． 答：路线①的长度约为1369米． （2）解：过点D作于点N， 由题意，四边形是矩形，，， ∴， 在中，∴米，米， 由（1）知，（米）， 米， ∴米． ∴米， ∴路线②需要的时间为： ， 路线①需要的时间为： ， ∵， ∴小明应选择路线①才能尽快到达广场． 答：小明应选择路线①才能尽快到达广场． 5．如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）． (2)甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1) (2)甲无人机先到观测点D，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）延长交于点，延长交于点，然后解，求出，再解即可； （2）先解，求出，即可求解，即可求解甲无人机用时；然后证明，解，求出，则,即可求解乙无人机用时，即可比较． 【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中，； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴甲无人机用时为：； 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴乙无人机用时为：， ∵， ∴甲无人机先到观测点D． 6．周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，） (1)求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）； (2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)632米 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质： （1）过作于F，利用勾股定理可得，再求出即可； （2）设，表示出，在中利用勾股定理求出x．过P作于G，在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由题可知，，， 如图，过作于F： ， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即景点A到景点C的距离为米； （2）解：如图： 设，则，， 由（1）知， 在中，， 则，解得， ∴， 过P作于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即的长度为632米． 7．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．    (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)米； (2)广告牌的高度约为米． 【分析】 （1）在中，通过解直角三角形求出、即可； （2）过作于在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度． 【详解】（1）解：在中， ∴， ∴米； （2）过作于， 如图所示：    由（1）得： 米， 米， 中，， ∴米， 中，，米， ∴米， ∴ 米 答：广告牌的高度约为米． 【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 8．“天高云淡秋风爽，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】(1)米 (2)小华先到达终点处 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 考点02 坡度问题 9．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） (1)求坡面的坡度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1) (2)基站塔的高为米 【分析】（1）过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可； （2）设米，则米，米，根据，求出米，米．在中，求出；再根据（米． 【详解】（1）解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为． 根据他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米， （米），（米）， 根据勾股定理得：（米） 坡面的坡度为；, 即坡面的坡度比为； （2）解：设米，则米，米， ， ， 米， 米． 在， 米，米，， ， 解得； （米）， （米， （米）． 答：基站塔的高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法． 10．如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点到点，从点到点是两段不同坡度的坡路，是一段水平路段，为改建成河道公园，改善居民生活环境，决定按照的坡度降低坡面的坡度，得到新的山坡，经测量获得如下数据：与水平面的距离为，坡面的长为，，坡面与水平面的夹角为，降低坡度后，三点在同一条直线上，即．为确定施工点的位置，试求坡面的长和的长度（，，，，，，结果精确到米） 【答案】坡面的长约为，的长约为 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质得到，，，，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是菱形， ，，，， ， 根据题意知，，， 在中，，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 答：坡面的长约为，的长约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及正确作出辅助线是解题的关键． 11．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为6米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度．（参考数据：，，） (1)求新坡面的长； (2)原坡面底部的正前方10米处（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由． 【答案】(1)新坡面的长10米 (2)此次改造符合规定，理由见详解 【分析】（1）过C点作于H点，证明四边形是矩形，即有，根据，即可作答； （2）根据坡面的坡度为，可得，利用勾股定理，即有，即可得，问题随之得解． 【详解】（1）过C点作于H点，如图， 根据题意有：，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵新坡面的坡度，， ∴（米）， 答：新坡面的长10米； （2）此次改造符合规定，理由如下： ∵坡面的坡度为1:1， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∵， ∴此次改造符合规定． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解坡度的含义是解答本题的关键． 12．如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为，从E点看D点的仰角为，段扶梯长20米．（参考数据：，） (1)求点A到的距离． (2)段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数） 【答案】(1)30米 (2)米 【分析】（1）过点A作，垂足为F，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出米，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）延长交于点G，过点D作，垂足为H，根据题意可得：，，再利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F， ∵扶梯的坡度为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）， ∴点A到的距离为30米； （2）解：如图，延长交于点G，过点D作，垂足为H， 由题意得：，， ∵， ∴， 在中，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴段扶梯长度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 14．图是某水库大坝的横截面是梯形，背水坡，且坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为． (1)求背水坡的坡角及坝高的长； (2)求背水坡新起点A与原起点B之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握坡度与坡角的含义是解本题的关键； （1）由背水坡的坡度为，结合三角函数可得坡角，由背水坡，且坡度为．结合勾股定理可得的长； （2）利用坡度的含义求解，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵背水坡的坡度为， ∴， ∴， ∵背水坡，且坡度为． ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 15．为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？ 【答案】60米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先根据坡度求出，然后解求出，即可求解． 【详解】解：∵山高米，坡面的坡度， ∴， 解得米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米， 即该河的河宽为60米． 16．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，π取，，） 【答案】(1) (2)点到台面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用和旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据余弦函数的定义进行计算即可； （2）过点作，垂足为H，交于点G，在中，根据正弦函数的定义求出的长度，据此求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， 在 中，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为H，交于点G， 由旋转的性质可知，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 考点03 实物相关解直角三角形实际问题 17．如图1是某小区门口的车牌识别仪，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与之间的连接杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． （参考数据：） (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数的实际应用，准确认清线段关系，构造合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点C作点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则，由三角形边角关系即可求出答案； （2）连接，作垂直于延长线于点H，在中，由，，即可求出，从而得出答案． 【详解】（1）解：过点C作点D所在铅垂线的垂线，垂足为M， ，与水平地面所成的角的度数为， 与水平地面所成的角的度数为， ， ， 即显示屏所在部分的宽度为； （2）解：如图，连接，作垂直于延长线于点H， ，为的中点， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 又， ， ， 又点到地面的距离为，， 镜头到地面的距离为． 18．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：） (1)车窗底部到地面的高度（即的长=___________）； (2)求盲区中的长度； (3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能观察到物体 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键． （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）先得到四边形是矩形，则，再在中， 利用正切定义求解即可； （3）证明，利用相似三角形的性质求得，则可得结论． 【详解】（1）解：在中， 故答案为：； （2）解：由题意：四边形是矩形， ， 在中， ， 答：盲区中的长度为； （3）解：过点作与交于点， ，， ∴， 由，得， ∴，即， 解得：， 在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体． 19．为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身，大、小腿的长，胳膊，，当，，且、、共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 【答案】点到水平地面的距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用；连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点．根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而得出，由，求得，根据矩形的性质可得的长，即可求解． 【详解】解：连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点． 则四边形为矩形， ， ，， 在中，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：点到水平地面的距离为． 20．如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)展板的最高点A到地面的高度是多少？ 【答案】(1)该展板点B到地面的距离为 (2)展板的最高点A到地面的高度是． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）解直角三角形求的高度即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，cm，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； （2）解：最高点A到地面的高度为， ∵， ∴， 同理得， ∴， 故展板的最高点A到地面的高度是． 21．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务米，;米；任务小明会被照射到 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 22．高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． (1)求的度数； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)乘客水杯的最大高度为 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、平行线的性质等知识点是解决本题的关键： （1）先利用垂直的定义求出度数，再利用平行线的性质求出； （2）过点E作，在中利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】（1）解：∵靠背垂直于地面时测得， 小桌板平行于地面， （2）过点E作，交于点 ， 在中， ， 答：乘客水杯的最大高度为 23．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) (1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】(1)端点距离地面的高度约为； (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； （2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 24．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 考点04 建筑相关解直角三角形实际问题 25．图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点A到地面的距离为该建筑的高度． (1)求该仿古建筑的高度； (2)计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 【答案】(1) (2)变矮了米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，在中，根据进行计算即可； （2）过点A作于点G，设米，在中，，在中，，根据，列方程求出的值，进而求出修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比发生的变化即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 是等腰三角形， 过点A作于点F，如图： ， 在中，， 则该仿古建筑的高度为； （2）解：如图，过点A作于点G，设米， 在中，， 在中，， 则，即， 解得， 即， 则修缮后的仿古建筑高度为， 因此，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比变矮了． 26．小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度．如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为．已知，，测角仪置于水平高度米的、处．求建筑的高度．    【答案】 【分析】延长分别交的延长线于，于相交于H，设，则，然后在和中解直角三角形可得、，由可得，进而得到，据此列方程解得，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键． 【详解】解：如图：延长分别交的延长线于，于相交于H，设,则, 在中，； 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 答：建筑的高度为．    27．某建筑中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．如图，小明为了估算该建筑的高度，在它的正东方向找到一楼房，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，该建筑顶端的仰角分别是和，在楼顶处测得该建筑顶端的仰角为，，，请你帮小明计算该建筑的高度．（参考数据：，结果保留根号）    【答案】 【分析】过A作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过A作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，     由题意得：，，， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 该建筑的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．    【答案】此建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于借助俯仰角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．连接并延长交于点，过点作于点，易得四边形为矩形，得到，设，则，利用和表示出，建立等式求出的值，利用等腰三角形性质和矩形性质得到，从而得到，再利用解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：如解图，连接并延长交于点，过点作于点，    由题易知，， 四边形为矩形， ， 由题意知，，，，， ， 设，则， 在中，由得，， 在中，由得，， ，解得， ，， ， ， 在中，， ， 答：此建筑的高度约为． 29．我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，该小组在城墙外的D处安置测角仪，测得该建筑顶端A的仰角为．从D处后退到达F处，安置测角仪，测得该建筑顶端A的仰角为（点B，D，F在同一直线上），测角仪支架高，且，，，求该建筑顶端A到地面的高度．（结果保留根号）    【答案】 【分析】连接并延长交于点G，因为等腰直角三角形，设，则，然后在含角的直角三角形中，利用角正切关系可得出x的一元一次方程，解得x的值，则，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点G．      由题意可得四边形和四边形均为矩形， ，，． 设，在中，， ， ． 在中，， ， (或)， 该建筑顶端A到地面的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的性质、特殊角的正切值，解题的关键是正确画出图形． 30．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡CD，其中，山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示） 【答案】此建筑AB的高度为． 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由和锐角三角函数定义分别计算出DE、CE、BE、DF、AF，进而求出AB． 【详解】解：如图，过点D作于F，作交BC的延长线于点E， 由题意得，，，， 在Rt△DEC中，∵     ∴ ∴ ∴ 由勾股定理可得： ∴    ， 在Rt△ADF中， ∴     ∴， ∴ ∴，即此建筑AB的高度为． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键． 31．位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，某数学活动小组想利用学过的数学知识测量现明堂的高度．如图，在台基底部A处测得斜坡米，坡角，在处测得明堂顶端的仰角是．水平向前走2米到达处，在处测得明堂顶端的仰角是，求明堂的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】明堂的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．延长交于M点，作于点F，先求出，设，利用三角函数求出x，即可求出结论． 【详解】解：延长交于M点，作于点F，如图， 由题意得：， 则， 四边形是矩形， 在中，，米， ， ， 在中，， ， ， 设， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：明堂的高度为． 32．某市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1．某数学兴趣小组在广场上测量主题建筑的高度，图2为测量示意图，在地面的点B处架设测角仪，测角仪的高度米，测得主题建筑的最高点D的仰角为45°，利用无人机在点B的正上方58.8米的点C处测得点D的俯角为32°．求主题建筑的高度为多少米？（参考数据：，，，） 【答案】36.8米 【分析】过点D作DM⊥AC，垂足为M，利用解直角三角形，即可求解． 【详解】解：过点D作DM⊥AC，垂足为M，如图， 则∠CDM＝32°，∠MDA＝∠MAD＝45°， ∴AC＝BC－AB＝58.8－1.6＝57.2（米）， 设DM的长为x米， 在Rt△MAD中，AM＝DM＝x（米）； 在Rt△MCD中，，即， ∴． ∵AM＋CM＝AC， ∴x＋＝57.2． 解得x＝35.2． ∴MB＝MA＋AB＝35.2＋1.6＝36.8(米)． ∴主题建筑的高度为36.8米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 考点05 拱桥问题 33．拱桥是桥梁家族中的重要一员．拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑．拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为，按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)能安全通过此桥． 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用——拱桥问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由待定系数法求解即可； （）先求出船行驶到桥下的时间为，则水位上升的高度为：，由（）得抛物线的函数表达式为，所以抛物线顶点坐标为， 然后算出当船行驶到达桥下时距离拱桥最高点的距离为，从而求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设此抛物线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为， ∴水位上升的高度为：， 由（）得抛物线的函数表达式为， ∴抛物线顶点坐标为， 当船行驶到达桥下时，此时船距离拱桥最高点的距离为：， ∴能安全通过此桥． 34．《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥， 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升3m时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系，    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)能安全通过 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，根据水位上升的高度计算水面距离拱桥最高点的距离，之后与2的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，水位上升的高度为：， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 35．如图1，这是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度为10米，拱桥顶面最高处到水面的距离为4米．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（米）是水平距离，（米）是拱桥距水面的高度． (1)求该抛物线的表达式． (2)现有一游船（截面为矩形），宽度为4米，顶棚到水面的距离为米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥，并说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，理由解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用， （1）根据图中坐标系确定抛物线的顶点坐标为，点；再待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为游船也关于直线对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当时，求出的值，继而求出顶棚到拱桥顶面的距离，看是否大于0.4米即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点， ， 代入点，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）能安全通过． 理由：游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为直线，游船也关于直线对称， 宽度为4米，对称轴左右两边各2米． 当时，． ， 该游船能安全通过此拱桥． 36．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 37．如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中． (1)求抛物线的表达式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出坐标是解题的关键． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与y轴交点坐标是，设出抛物线的解析式，将点代入可得抛物线的解析式； （2）把纵坐标为4代入抛物线的解析式，求出x，然后两者相减，就是他们的距离． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把点代入得：，即， ∴抛物线解析式为． （2）由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4， ∴ ∴， ∴两盏景观灯间的距离为． 38．上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 【答案】(1)见解析， (2)需32根吊杆 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意． （1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答； 【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系． 则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面， 设桥拱抛物线解析式为， 把点坐标代入求得， 所以拱桥抛物线的解析式为． （2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15， 当时，， 解得， ， 所以，， ∴， ∵， 故单侧需32根吊杆． 39．龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 【答案】(1)拱桥最高点到水面的距离为 (2)应设置宽的航道 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据水面宽度，且抛物线关于轴对称，求得点的横坐标为，将代入，进行计算求解即可； （2）根据题意可得安全高度对应的坐标，再将坐标代入抛物线，解出的值，计算此时宽度，结合设计4道航道，从而判断解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 则点的横坐标为， 将代入，得 因此，拱桥最高点到水面的距离为； （2）解：根据题意得， 将代入， 得 解得或 则 由于航道最宽为，， 则应设置宽的航道． 40．一座三孔拱桥横跨河面之上，三口孔洞外轮廓呈拋物线形，且三条抛物线形状相同．如图，以河面所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥整体是以轴为对称轴的轴对称图形，拱桥孔洞的最大高度为，跨度为． (1)求孔洞所在抛物线的函数表达式． (2)若孔洞与之间的跨度，则孔洞的最大高度为多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设桥洞所在抛物线的函数表达式为，由题意得：，，，再运用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意可知，根据抛物线，，的形状相同，得出抛物线的函数表达式为进而化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， 设孔洞所在抛物线的函数表达式为． 将代入表达式中，得， 解得， ∴孔洞所在抛物线的函数表达式为． （2）根据题意可知，点与点关于轴对称， ∴点F的坐标是． 又∵抛物线，，的形状相同， ∴抛物线的函数表达式为． ， ∴孔洞的最大高度为． 考点06 抛物问题 41．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【详解】（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 42．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1) (2)球出手时，他跳离地面的高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过点：，即． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴． 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 43．根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 44．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 45．小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，求的最大值． 【答案】(1)①，；②10.2米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，则在滑行阶段飞过围栏时距离最大，当时解方程即可； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【详解】（1）①解：纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m， ∴抛物线和直线都过点， 把代入得，解得； 把代入得，解得； ②解：把代入，． 解得：（舍），, 把代入，得，解得：． ， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． （2）解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 46．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 4 5 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m； ②在水平距离5m处，放置一个高的球网，羽毛球______（填“是”或“否”）可以过网； ③根据表格数据，直接写出的值为______； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则______0（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】(1)①4；②是；③ (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式； （1）①由表中数据直接可以得出结论；②由表中数据直接可以得出结论；③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【详解】（1）解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， 故答案为：； （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 47．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230；45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式、正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离，根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； 当和当时的函数值相同，对称轴为直线， 当时的函数值与当的函数值相同， ∴， 故答案为：230；45； （2）解：设， 把代入 中，得， 解得：， 则满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上， 故答案为：能． 48．综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玟初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玟初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解： 不能命中篮筐，理由如下： 由题意得：小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 故答案为：不能，的取值范围是． 考点07 喷水问题 49．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； (2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内； (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点，求出值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）∵当时，代入得：， ， ， ， ， ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内． （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即． ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ， ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 50．综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点的坐标． （3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：喷水口离地竖直高度为米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米， 则， ∴是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， （2）解：由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为 ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：不能，理由如下： 依题意，米，水平宽度米，竖直高度米， ∴（米）， ∴点的坐标为， 由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， ∵， ∴函数在时，随着的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 51．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 52．如图（1）是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小星在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图（2）所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面． (1)填空：点的坐标 ，点的坐标是 ． (2)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度． (3)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（抛物线型问题），熟练掌握二次函数的解析式求解、最值求法，以及利用函数值确定自变量范围是解题的关键． （1）根据坐标系的定义，结合点、点的位置信息确定坐标． （2）将点、的坐标代入抛物线解析式，解方程组得系数，再通过配方法求抛物线的最大值（即最大高度）． （3）根据正方形边长得点、的纵坐标，代入抛物线解析式求对应横坐标，结合“水流不落在平台上”的条件确定的范围． 【详解】（1）解：∵点在点正上方，高度为， ∴点坐标：， ∵点坐标为，小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆， ∴点坐标：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线经过、， ∴， 解得，， ∴抛物线表达式为：， ∵， ∴喷出的水流到水面的最大高度是； （3）解：∵正方形中，点横坐标为， ∴点坐标为，点坐标为， 令，则， 化简得：， 解得：，， ∵水流不落在平台上， ∴且，即． 53．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 54．项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1），；（2）225cm；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值，再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． 故答案为：； ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， 设所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∵抛物线是从点（相对高度）， ∴代入到中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 55．如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下移动，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，米；若喷水口上升到P处，水线落地点为B，米．以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当喷水口在O处时，求水线最高点与点B之间的水平距离； (2)当喷水口在P处时，水线离O的水平距离为2米达到最高点，此时最高点离地面的距离为2米 ①求水线的喷水口P到O的高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②x应满足，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点O和点A的坐标可得出该抛物线的对称轴，结合点B的坐标即可求得答案； （2）①由题意可知，此时抛物线的顶点坐标为，因此设该抛物线的解析式为，由抛物线经过点B，即可求得抛物线的解析式，然后求得时的y值，即为的高度；②根据①中求得的解析式，求出当时，对应的x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴点O坐标为，点A坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为． ∴水线最高点与点B之间的水平距离为：； （2）解：①由题意可知，喷水口在P处时，喷出的抛物线的顶点坐标为， ∴设喷水口在P处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴， 即， ∴当时，； 答：水线的喷水口P到O的高度为； ②x应满足．理由如下： 当时，， 整理得：， 解得， ∴为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足． 56．某广场的音乐喷泉是随着音乐节拍的变化而变化的抛物线形水线．如图所示，随着音乐节拍的变化，出水口会喷出一组不同的抛物线形水线．抛物线形水线的形状在变化过程中，每条抛物线形水线总是在与出水口的水平距离为米处达到最高，高度（相对于出水口的竖直高度）为米．已知喷泉的出水口与水线的落地处、岸边的观赏点既在同一直线上，也在同一高度，并且出水口与观赏点的水平距离为米，请先建立平面直角坐标系，再解决以下问题． (1)若，喷出的抛物线形水线最大高度为米时，求此时喷出的抛物线形水线对应的函数解析式； (2)当时，若喷出的抛物线形水线不能触及岸边的观赏点，请通过计算判断：抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度（相对于出水口的竖直高度）能否超过米？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 以出水口为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据、的值确定抛物线的顶点坐标和抛物线与轴交点的坐标，利用待定系数法确定抛物线的解析式； 设当时，喷出的水线正好达到观赏点，利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，当抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米时，，求出此时的值，根据求出的结果进行判断． 【详解】（1）解：如下图所示，以出水口为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，， 解得：， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与轴的交点坐标是和， 设抛物线的解析式是， 把顶点坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线对应的函数解析式是， 整理可得：； （2）解：设当时，喷出的水线正好达到观赏点， 则抛物线与轴的交点坐标是和， 在与出水口距离米时，达到了最大高度，最大高度为米， 抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 与观赏点 的水平距离为米处的位置，与出水口位置的水平距离是米， 当时，， 抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度不能超过米． 考点08 动点几何 57．如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)当点Q在线段上时，，当点Q在线段的延长线上时， (3)t的值为3 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． （1）过P作于H，则H为中点，根据得，，则，即可得到； （2）分两种情况，根据与重叠部分的形状再求面积即可； （3）点Q在延长线上，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，， 动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒， ∴， 当点Q在线段的延长线上时， 过P作于H，则H为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图，当点Q在线段上时，，与重叠部分为， 由（1）可得，，， ； ②当点Q在线段的延长线上时，，与重叠部分为四边形， 由（1）可得，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 综上所述，与重叠部分的面积为； （3）解：点Q在延长线上，如图， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，仅存在，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：． 58．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 59．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发；以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当点运动到点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为， (1)当______秒时，此时的面积为______； (2)当点在上运动时，求与之间的函数关系式，问为何值时的面积最小？ (3)在点沿运动过程中，若存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等且，求的面积． 【答案】(1)；8 (2)； (3) 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）分点在线段或线段上两种情况讨论即可求解； （2）由题意得，，则，，结合题意求出的范围，再利用割补法表示出的面积，得到与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解； （3）当点在上（不与点重合）运动时，即，可得，得出随着的增大而增大，再由“存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等”，可知，，再根据二次函数的对称性可得，进而求出的值，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由题意得，， ∴， 当点在线段上时，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在线段（不与点重合）上时，则， ∵，， ∴，此时不满足，舍去； ∴综上所述，当秒时，此时的面积为； 故答案为：；8； （2）解：如图， 由题意得，，， ∴，， 由题意得， 解得， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最小值11， ∴综上所述，；当时，的面积最小； （3）解：当点在上（不与点重合）运动时，则， ∴， 由题意得， 解得， ∵，， ∴当时，随着的增大而增大， ∵存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等， ∴，， 当时，， ∴函数关于直线对称， ∵当和时，对应的的面积相等， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为． 60．如图，在四边形中，，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，线段与的长度相等，理由见解析 (2) (3)存在的值为或，使得的面积为 【分析】（1）分别求出当时，和的长度，比较即可得出结果； （2）由题意可得，，，求出，表示出的面积，再由二次函数的性质即可得解； （3）分三种情况：当时；当时；当时；结合题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，线段与的长度相等，理由如下： ∵动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动， ∴当时，点运动的距离为，点运动的距离为， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴当时，线段与的长度相等； （2）解：∵点M在边上运动，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴的面积， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积随着的增大而增大， ∴当时，的面积最大，为； （3）解：当时，点在边上，的面积最大值为，故此时不存在的值，使得的面积为； 当时，点在边上，过点作，过点作于，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 令， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，点在边上，过点作，过点作于，过点作于，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， 令， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在的值为或，使得的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 61．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并根据题意正确列出解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，利用面积公式计算即可； （2）根据题意得到，，推出， 然后由得到关于的一元二次方程，根据值即可得到答案； （3）根据题意得到，然后由和确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． 62．已知矩形中，是对角线，，，点P为边上的一个动点，动点P从点A出发沿边向点D运动，速度是，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿边向点A运动，速度是，是过点Q的直线，分别交、于点E，F；且运动过程中始终保持于点Q，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且，解答下列问题： (1)连接，t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)连接、，设四边形的面积为，求y关于t的函数关系式； (3)请从选择以下任意一题作答，我选 （若同时作答①和②，按①解答计分）． ①连接，是否存在某一时刻t，使点E在平分线上时，求t的值，若不存在，请说明理由； ②是否存在某一时刻t，使点F在垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)时，四边形ABEP是平行四边形； (2)； (3)①存在，；②存在，． 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，证明，求出，因此，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； （2）证出，求出，得出，四边形的面积梯形的面积的面积，即可得出答案； （3）①当点在平分线上时，，得出，再利用勾股定理列出方程，解出，在的取值范围内则存在，否则不存在； ②当点在垂直平分线上时，，得出，利用勾股定理列出方程，解出即可解答． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 时，四边形是平行四边形； （2）同（1）得：， ， ，即， 解得：， ， 四边形的面积梯形的面积的面积， ， 即； （3）①连接，如图： 当点在 平分线上时，， ， ， ， 由（1）知， ， 在中，， 即， 解得或（不合题意）， ，使点在平分线上； ②当点在垂直平分线上时，， 由（2）知，， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 存在，当时，点在垂直平分线上． 【点睛】本题考查二次函数的动点运动问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题关键． 63．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为． (1)________，________．（用含有的式子表示） (2)设的面积为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】(1)， (2)所以当为3时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点． （1）由题意得，由可得含有的式子，由题意可直接得； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 所以， 故答案为：，； （2）解：的面积 ， 所以当为3时的面积最大，最大面积是． 64．如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接、，设运动时间为． (1)直接写出线段__________； (2)求的面积关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)当的面积时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）直接利用直角三角形的性质可得的长； （2）分或两种情形，分别表示出和的长，进而解决问题． （3）分或两种情形，根据（2）中函数解析式代入求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， 在中，， ∴， 故答案为：8． （2）解：在中，由勾股定理得，， ， ∴点Q的运动时间为秒， 当时，如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图，， ， 综上，． （3）解：∵， 当时，则，无解． 当时，则， 解得：（负值已舍去）． 综上，当的面积时，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 考点09 最大利润 65．涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)结合图象求y与x之间的函数关系； (2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？ (3)去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客户购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润总销售额总成本广告费） 【答案】(1) (2)，定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元 (3)当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元 【分析】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值等知识． （1）根据函数图象可得经过点，，利用待定系数法求解析式即可． （2）表示出w与x之间的函数关系式，然后利用配方法可确定答案； （3）先求出潜在客户的购买量，根据②、③的要求可得出a的值，结合二次函数的性质确定最大利润． 【详解】（1）解：设，将点，代入得：， 解得：， 故； （2）解：， 当时，， 答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元； （3）解：当时，，则潜在客户购买量为万盒， ， 由题意：， 整理得：， 解得或， 又， ， 在中，当时，w随a的增大而增大， 故当时，． 答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元． 66．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】(1) (2)第35天时，最大利润为4050元 (3)2 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【详解】（1）当时，； （2）当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； （3）解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 67．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表： 售价（元／件） 60 70 80 周销售量件 100 80 60 周销售利润元 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②求该商品的进价； ③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值． 【答案】(1)①；②商品的每件进价为元；③售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元． (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键． （1）①设与的函数关系式为，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可；②设进价为a元，根据利润售价进价，列方程可求得a的值，③根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得w关于x的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得； （2）根据“周销售利润周销售量（售价进价）”可得，进而利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①设与的函数关系式为，将，分别代入得， ， 解得，， ∴与的函数关系式是； ②设进价为a元，由售价60元时，周销售是为100件，周销售利润为2000元，得 ， 解得：， ∴商品的每件进价为元； ③依题意有， = ∵， ∴当时，w有最大值为2450， 即售价为75元/件时，周销售利润最大，最大为2450元． （2）解：依题意有， ∵， ∴对称轴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时， ∴有最大值， ∴， ∴． 68．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； （3）由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 69．当今，科幻小说图书销量上升迅速.某书店为满足广大顾客需求，订购某本热销科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是24元时，每天的销售量是120本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围： (2)当该科幻小说销售单价定为多少时，书店每天销售该科幻小说所获得的利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为845元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为34元时，利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴， 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：当销售单价定为34元时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ， ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 70．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． (1)设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； (2)涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ (3)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)25元 (3)① ②；6125元 【分析】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，y有最大值k；当，时，y有最小值k等性质解决实际问题． （1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； （3）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件， ∴每星期实际可卖出件， ∴， ∵， ∴； ∵． ∴当时，， ∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250． 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）解：① ； ②， 当时，， 当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 71．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 【答案】(1)； (2)售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型． （1）设月销量y与x的关系式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据月利润每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）根据题意得到函数关系式，可得对称轴，再根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设月销量y与x的关系式为， 由题意得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元； （3）解：根据题意得，， ∴对称轴， 当时， 此时时，w的最大值8800， ∴， 解得：． 当时， 当时，w的最大值8800， ∴此时，不符合题意，舍去． 综上：． 72．疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． (2)由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 【答案】(1)①40；②关于的函数解析式为；③当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元 (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题，还涉及有理数的运算，一次函数的应用，注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值． （1）①该商品进价是； ②依题意设，解方程组即可得到结论； ③设每周获得利润，根据题意构造方程，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得，，把，代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①该商品进价是； 故答案为：40； ②依题意设， 则有， 解得：， 关于的函数解析式为； ③设每周获得利润 则有， 解得：， ， 当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； （2）解：根据题意得， ， ，对称轴， 抛物线的开口向下， ， 随的增大而增大， 当时，， 即， 解得：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17应用题专题训练 （解直角三角形&二次函数9种类型72道） 考点01 方位角问题 考点02 坡度问题 考点03 实物相关解直角三角形实际问题 考点04 建筑相关解直角三角形实际问题 考点05 拱桥问题 考点06 抛物问题 考点07 喷水问题 考点08 动点几何 考点09 最大利润 考点01 方位角问题 1．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 2．因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 3．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行900米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，爸爸步行速度为90米/分，购买充气棒的时间是5分钟，取票时间是10分钟，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 4．如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，） (1)求路线①的长度．（结果精确到个位） (2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场． 5．如图，甲、乙两架巡检无人机同时从基地出发，沿不同路线到观测点执行任务．已知位于的西南方向千米处，位于的正西方50千米处，位于的正北方，且位于的北偏西方向，位于的正西方，且位于南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）． (2)甲无人机沿路线巡检，乙无人机沿路线巡检，其中甲无人机平均速度为80千米/小时，乙无人机平均速度为42千米/小时，请通过计算说明哪架无人机先到观测点（结果保留小数点后一位）？ 6．周末小明和小亮准备去公园做义务安全员．如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东方向且距离C处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处．（参考数据：，，，） (1)求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）； (2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达P处时，小亮刚好到达边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求的长度（结果保留整数）． 7．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．    (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度． 8．“天高云淡秋风爽，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 考点02 坡度问题 9．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，） (1)求坡面的坡度； (2)求基站塔的高． 10．如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点到点，从点到点是两段不同坡度的坡路，是一段水平路段，为改建成河道公园，改善居民生活环境，决定按照的坡度降低坡面的坡度，得到新的山坡，经测量获得如下数据：与水平面的距离为，坡面的长为，，坡面与水平面的夹角为，降低坡度后，三点在同一条直线上，即．为确定施工点的位置，试求坡面的长和的长度（，，，，，，结果精确到米） 11．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为6米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度．（参考数据：，，） (1)求新坡面的长； (2)原坡面底部的正前方10米处（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由． 12．如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为，从E点看D点的仰角为，段扶梯长20米．（参考数据：，） (1)求点A到的距离． (2)段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数） 13．如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 14．图是某水库大坝的横截面是梯形，背水坡，且坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为． (1)求背水坡的坡角及坝高的长； (2)求背水坡新起点A与原起点B之间的距离． 15．为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？ 16．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E三点共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，π取，，） 考点03 实物相关解直角三角形实际问题 17．如图1是某小区门口的车牌识别仪，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与之间的连接杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． （参考数据：） (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头到地面的距离． 18．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：） (1)车窗底部到地面的高度（即的长=___________）； (2)求盲区中的长度； (3)点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 19．为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身，大、小腿的长，胳膊，，当，，且、、共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 20．如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)展板的最高点A到地面的高度是多少？ 21．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 22．高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． (1)求的度数； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 23．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) (1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 24．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 考点04 建筑相关解直角三角形实际问题 25．图1是一栋仿古建筑侧面实景图，图2为其示意图，主要由和矩形组成，，，．顶点A到地面的距离为该建筑的高度． (1)求该仿古建筑的高度； (2)计划对该建筑进行修缮，如图3，将示意图中屋顶部分的内角变化为，，墙身部分矩形保持不变，修缮后的仿古建筑高度与修缮前相比有怎样的变化？（参考数据：，） 26．小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度．如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为．已知，，测角仪置于水平高度米的、处．求建筑的高度．    27．某建筑中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．如图，小明为了估算该建筑的高度，在它的正东方向找到一楼房，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，该建筑顶端的仰角分别是和，在楼顶处测得该建筑顶端的仰角为，，，请你帮小明计算该建筑的高度．（参考数据：，结果保留根号）    28．如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．    29．我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，该小组在城墙外的D处安置测角仪，测得该建筑顶端A的仰角为．从D处后退到达F处，安置测角仪，测得该建筑顶端A的仰角为（点B，D，F在同一直线上），测角仪支架高，且，，，求该建筑顶端A到地面的高度．（结果保留根号）    30．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡CD，其中，山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示） 31．位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，某数学活动小组想利用学过的数学知识测量现明堂的高度．如图，在台基底部A处测得斜坡米，坡角，在处测得明堂顶端的仰角是．水平向前走2米到达处，在处测得明堂顶端的仰角是，求明堂的高度（结果精确到．参考数据：，，） 32．某市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1．某数学兴趣小组在广场上测量主题建筑的高度，图2为测量示意图，在地面的点B处架设测角仪，测角仪的高度米，测得主题建筑的最高点D的仰角为45°，利用无人机在点B的正上方58.8米的点C处测得点D的俯角为32°．求主题建筑的高度为多少米？（参考数据：，，，） 考点05 拱桥问题 33．拱桥是桥梁家族中的重要一员．拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑．拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为，按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 34．《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥， 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升3m时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系，    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 35．如图1，这是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度为10米，拱桥顶面最高处到水面的距离为4米．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（米）是水平距离，（米）是拱桥距水面的高度． (1)求该抛物线的表达式． (2)现有一游船（截面为矩形），宽度为4米，顶棚到水面的距离为米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥，并说明理由． 36．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 37．如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，桥洞与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中． (1)求抛物线的表达式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离． 38．上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 39．龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 40．一座三孔拱桥横跨河面之上，三口孔洞外轮廓呈拋物线形，且三条抛物线形状相同．如图，以河面所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．已知拱桥整体是以轴为对称轴的轴对称图形，拱桥孔洞的最大高度为，跨度为． (1)求孔洞所在抛物线的函数表达式． (2)若孔洞与之间的跨度，则孔洞的最大高度为多少米？ 考点06 抛物问题 41．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 42．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 43．根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 44．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 45．小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，求的最大值． 46．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 4 5 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m； ②在水平距离5m处，放置一个高的球网，羽毛球______（填“是”或“否”）可以过网； ③根据表格数据，直接写出的值为______； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则______0（填“＞”“＜”或“＝”）． 47．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 48．综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 考点07 喷水问题 49．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 50．综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 51．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 52．如图（1）是某游乐园泳池边架设的一个高压水枪，小星在操控水枪时发现，喷出的水流可近似看成抛物线的一部分．他想利用学过的二次函数来研究这一现象，于是在电脑上绘制了如图（2）所示的函数图象，其中点为水枪喷口的位置，点为水枪喷口正下方水面的位置，以点所在的水面为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．已知点为喷出的水流落在水面的位置，喷出的水流到水面的高度与到点的水平距离之间的函数关系式为．小星在到点水平距离的点处，竖直放置一根的木杆，木杆顶端恰好接触到水流，下端恰好接触到水面． (1)填空：点的坐标 ，点的坐标是 ． (2)求喷出的水流所在抛物线的表达式及喷出的水流到水面的最大高度． (3)游乐园在水枪喷口和水流的落点之间增设了一个浮台，浮台露出水面部分的截面为正方形，其中．设点的横坐标为，若喷出的水流不落在浮台上，求的取值范围． 53．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 54．项目式学习 项目主题：无人机喷洒农药研究． 项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济． 建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）依题意，得点的坐标为：______；求出点所在抛物线的函数表达式． 问题解决； （2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度； （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，，当无人机上升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 55．如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下移动，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，米；若喷水口上升到P处，水线落地点为B，米．以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当喷水口在O处时，求水线最高点与点B之间的水平距离； (2)当喷水口在P处时，水线离O的水平距离为2米达到最高点，此时最高点离地面的距离为2米 ①求水线的喷水口P到O的高度； ②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足什么条件？请说明理由． 56．某广场的音乐喷泉是随着音乐节拍的变化而变化的抛物线形水线．如图所示，随着音乐节拍的变化，出水口会喷出一组不同的抛物线形水线．抛物线形水线的形状在变化过程中，每条抛物线形水线总是在与出水口的水平距离为米处达到最高，高度（相对于出水口的竖直高度）为米．已知喷泉的出水口与水线的落地处、岸边的观赏点既在同一直线上，也在同一高度，并且出水口与观赏点的水平距离为米，请先建立平面直角坐标系，再解决以下问题． (1)若，喷出的抛物线形水线最大高度为米时，求此时喷出的抛物线形水线对应的函数解析式； (2)当时，若喷出的抛物线形水线不能触及岸边的观赏点，请通过计算判断：抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为米处达到的高度（相对于出水口的竖直高度）能否超过米？ 考点08 动点几何 57．如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 58．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 59．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发；以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当点运动到点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为， (1)当______秒时，此时的面积为______； (2)当点在上运动时，求与之间的函数关系式，问为何值时的面积最小？ (3)在点沿运动过程中，若存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等且，求的面积． 60．如图，在四边形中，，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； (2)当点M在边上运动时，求面积的最大值； (3)是否存在的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 61．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 62．已知矩形中，是对角线，，，点P为边上的一个动点，动点P从点A出发沿边向点D运动，速度是，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿边向点A运动，速度是，是过点Q的直线，分别交、于点E，F；且运动过程中始终保持于点Q，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且，解答下列问题： (1)连接，t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)连接、，设四边形的面积为，求y关于t的函数关系式； (3)请从选择以下任意一题作答，我选 （若同时作答①和②，按①解答计分）． ①连接，是否存在某一时刻t，使点E在平分线上时，求t的值，若不存在，请说明理由； ②是否存在某一时刻t，使点F在垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 63．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为． (1)________，________．（用含有的式子表示） (2)设的面积为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 64．如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接、，设运动时间为． (1)直接写出线段__________； (2)求的面积关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)当的面积时，直接写出的值． 考点09 最大利润 65．涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)结合图象求y与x之间的函数关系； (2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？ (3)去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客户购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润总销售额总成本广告费） 66．某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 67．某商店销售一种商品，小明经市场调查发现，该商品的周销售量（单位：件）是售价（单位：元／件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（单位：元）的三组对应值如下表： 售价（元／件） 60 70 80 周销售量件 100 80 60 周销售利润元 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②求该商品的进价； ③当售价定为多少时，周销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)由于某种原因，该商品进价提高了元／件（），物价部门规定该商品售价不得超过70元／件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1440元，求的值． 68．端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ (3)在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 69．当今，科幻小说图书销量上升迅速.某书店为满足广大顾客需求，订购某本热销科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是24元时，每天的销售量是120本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围： (2)当该科幻小说销售单价定为多少时，书店每天销售该科幻小说所获得的利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为845元，求a的值． 70．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． (1)设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元； (2)涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ (3)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 71．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 72．疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/包） 50 60 80 周销售量y（包） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） (1)①这种口罩的进价是________元/包； ②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润． (2)由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包，物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $