2.3 第2课时 一元二次不等式的应用——分式与高次不等式的解法 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.3 第2课时一元二次不等式的应用——分式与高次不等式的解法 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.掌握分式不等式的解法，能将分式不等式转化为整式不等式（一元二次不等式为主）求解. 2.掌握一元高次不等式的“数轴穿根法”，能准确求解可因式分解的一元高次不等式。 3.能综合运用不等式的解法解决简单的综合问题与实际问题。 教学内容 教学重点： 1. 分式不等式转化为整式不等式的等价性条件。 2. 一元高次不等式“数轴穿根法”的步骤与应用。 教学难点： 1. 分式不等式中分母不为零的等价性转化。 2. 一元高次不等式中重根的“穿根”规则。 教学过程 1、 情境导入 1.提出问题1：某工厂生产的产品，每件成本为10元，售价为x元，每月销售量为(200 - 5x)件。若每月的利润不低于1500元，且销售量为正，求售价x的取值范围。（引导学生列出不等式：(x - 10)(200 - 5x)≥1500，整理为一元二次不等式，回顾基础解法。 2.提出问题2：若将问题1中“利润不低于1500元”改为“利润率不低于50%”，此时不等式如何列？（利润率 = 利润/成本，引导学生列出：≥0.5） 3.引出课题：问题2中的不等式是分式不等式，类似地，还有如(x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0的一元高次不等式。今天我们就来学习这两类不等式的解法，它们都可以转化为我们熟悉的一元二次不等式来求解。（板书课题：一元二次不等式的应用——分式与高次不等式的解法） 2、 新知探究 探究新知1 分式不等式的解法 （1）定义梳理：形如（或≥0、< 0、≤0），其中f(x)、g(x)为整式，且g(x)≠0的不等式，称为分式不等式。 （2）等价转化探究： 以不等式> 0为例，引导学生思考： ①分数的符号由分子和分母共同决定，当分子、分母同号时，分数值为正。因此> 0等价于什么？（学生回答：(x - 1)(x + 2) > 0，且(x + 2≠0） ②验证等价性：解(x - 1)(x + 2) > 0得x < -2或x > 1，其中x≠-2已包含在内，因此解集为(-∞, -2)∪(1, +∞)。 再以不等式≤0为例： ①分数值非正，等价于分子、分母异号或分子为0，且分母不为0。即(x - 1)(x + 2)≤0且x + 2≠0。 ②求解(x - 1)(x + 2) ≤0得-2≤x≤1，排除x = -2，解集为(-2, 1]。 （3）总结分式不等式的解法： 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. ② ，且. 探究新知2 一元高次不等式的解法 （1）定义梳理：含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2的不等式，称为一元高次不等式（本节课重点讲解可因式分解为一次因式乘积形式的高次不等式）。 （2）探究“数轴穿根法”步骤： 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 以不等式为例，引导学生探究： 步骤1：因式分解，确保每个一次因式的最高次项系数为正（本题已满足）； 步骤2：求根，令每个因式为0，得根x1 = -1，x2 = 2，x3 = 3，x4 = 4； 步骤3：标根，将根按从小到大的顺序在数轴上标出，把数轴分成若干个区间； 步骤4：穿根，从数轴最右侧区间开始，由上往下穿根（奇穿偶不穿：当因式的次数为奇数时，穿过数轴；为偶数时，不穿过，反弹回来）； 步骤5：定解集，根据不等式的符号（>0取上方区间，<0取下方区间）确定解集。本题不等式为>0，取上方区间，解集为. （3）强调“奇穿偶不穿”规则： 以不等式解为例，根x = 2对应的因式次数为2（偶数），穿根时在x = 2处不穿过，反弹。根x =4对应的因式次数为3（奇数），穿根时在x = 4处不穿过，所以解集为。 3、 典例分析 例1 解关于的不等式： 【解析】； 等价变形为：且； (注意分母) 解得. 所以原不等式的解集为{x|} 注意：分式不等式右边为非零常数时，先移项，将右边常数变为0，再按分式不等式的解法进行转化求解。 例2 解不等式(x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0 学生动手操作，教师巡视指导。 答案：(-2, 1)∪(1, 3) 例3 解不等式：(x + 1)(2 - x)(x + 3) ≤0。 解：不等式可化为-(x + 1)(x - 2)(x + 3)≤0， 即(x + 1)(x - 2)(x + 3)≥0； 结合图象得原不等式解集为(-∞, -3]∪[-1, 2]。 例4 如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为？ 解：关于的不等式的解集为， 是方程的两实数根，且， 由韦达定理得， ， 不等式化为， 即，解得或； 则该不等式的解集为． 四、课堂小结 1.分式不等式：核心是“等价转化”为整式不等式，注意分母不为零； 2.一元高次不等式：核心是“数轴穿根法”，关键步骤：因式分解→求根→标根→穿根→定解集，牢记“奇穿偶不穿”和“最高次项系数为正”的要求； 3.核心思想：转化与化归、数形结合。 五、课后作业 1.基础作业： 求解下列不等式：（1）；（2）(x - 2)(x + 1)(x - 5) > 0； 2.预习作业：思考“当一元二次不等式的二次项系数、一次项系数或常数项含参数时，求解会遇到哪些问题？”，尝试求解不等式ax2 - 2x + 1 > 0（a为参数）。 学科网（北京）股份有限公司 $