（专项复习二：解决问题）圆柱和圆锥（类型与技巧分析+十一大题型讲练+优选题拔尖练 共50题）-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

专项复习二 圆柱和圆锥（解决问题） 【原卷版】 知识点一：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点二：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点五：长方体中的最大圆柱.圆柱中的最大长方体.正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点六：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点七：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的表面积 【典例精讲】李大叔做了一个无盖的木桶。已知木桶的底面周长是125.6cm，高是6dm。 （1）做这个木桶至少需要多少木板？ （2）这个木桶一共可以装多少升水？（厚度不计） 【变式训练1】张大爷家有一个用塑料薄膜覆盖的半圆柱形蔬菜大棚（如下图）。搭建这个大棚至少需要多少平方米的塑料薄膜？ 【变式训练2】如图，一个半圆柱形的积木，长8厘米，横截面是一个直径4厘米的半圆形。 （1）这个积木的体积是多少立方厘米？ （2）把这个积木表面涂上油漆，涂油漆部分的面积是多少平方厘米？ 题型二：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【变式训练1】一个零件（如图），它的正中间有一个圆柱形圆孔，上下都穿透。这个零件的表面积是( )平方分米。（π取3.14） 【变式训练2】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   题型三：圆柱的体积 【典例精讲】如下图，长方体玻璃容器内装有水，容器的内壁底面是一个长方形，长为15cm，宽为7cm。现在把等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入容器内，水面升高了2cm，其中圆锥全部浸入水中，而圆柱有露出水面。求圆柱和圆锥的体积。 【变式训练1】一堆圆锥形高粱，底面周长是9.42m，高是1.2m，每立方米高粱约重650kg。 (1)这堆高粱约重多少千克？ (2)现在要把这堆高粱装在圆柱形粮囤里。从里面量，粮囤的底面直径为1m，高为90cm。最少需要几个这样的粮囤才能装下？ 【变式训练2】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 题型四：立体图形的切拼(圆柱） 【典例精讲】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【变式训练1】小慧说：“在五年级时，我们用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，推导出了梯形的面积公式（如下左图），所以可以用同样的思路计算出右边这个几何体的体积。”你觉得小慧说得对吗？请你算一算说明理由。     算一算： 我的理由是： 【变式训练2】一段圆柱形木料，底面半径为3厘米，长为12厘米。如果沿横截面截成2段，表面积将增加多少平方厘米？如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加多少平方厘米？ 题型五：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 【变式训练2】甲、乙两个工人制作圆锥。甲用一个圆柱形的木头削出了一个最大的圆锥，乙把一个圆柱形的钢坯熔铸成了一个最大的圆锥。下面是他们的对话，你认为他们俩谁说得不对？说明你的理由。 我用的圆柱形木头的体积比制作出的圆锥体积多 我制作的圆锥的体积与圆柱形钢坯的体积相等。 题型六：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】如下图，三角形ABC中，线段AB长15cm，线段CD是这个三角形高，CD长4cm。如果以AB为轴旋转一周得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程：（得数可用含有的式子表示） 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的。 （1）右边的杯子能装咖啡多少毫升？ （2）倒入的牛奶和咖啡（奶咖）有多少毫升？ 【变式训练2】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 题型七：体积的等积变形（圆柱、圆锥) 【典例精讲】一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 【变式训练2】有一个底面周长是8π米、高是3米的圆锥形谷堆，将这些稻谷装进一个底面直径是8米的圆柱形粮仓里，正好装满。这个粮仓的高是多少米？ 题型八：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【变式训练1】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是 cm。 【变式训练2】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 题型九：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】如图是一个粮仓，它由一个圆柱和一个圆锥组合而成。如果每立方米粮食的质量是0.6吨，这个粮仓最多能装多少吨粮食？ 【变式训练1】一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 【变式训练2】某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 题型十：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径3厘米，高12厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是6厘米； ③慧慧把30颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 1．如下图，把圆柱体切拼成一个近似的长方体。切拼后的体积和表面积（    ）。 A．表面积和体积都没变。 B．表面积和体积都变了。 C．表面积变了，体积没变。 D．表面积没变，体积变了。 2．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，体积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的A 3．用一块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上半径为（    ）的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。（连接处忽略不计） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．5厘米 4．一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．80π B．72π C．25π D．24π 5．聪聪有等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器中，当水全部倒完后，溢出24.6mL水。这时圆锥形容器内还有水（    ）mL。 A．24.6 B．32.9 C．12.3 D．无法确定 6．李叔叔用一块长方形铁皮的阴影部分（如图），刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。做成的油桶的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方分米。 7．如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升。 8．聪聪从图中剪下阴影部分制作成了一个笔筒，笔筒的高是( )cm，制作这个笔筒用了( )cm2的硬纸板。（π取3.14） 9．一个圆锥和一个圆柱等底等高，如果圆柱的体积是45dm3，那么圆锥的体积是( )dm3，如果圆锥的体积是30cm3，则圆柱的体积是( )cm3。 10．往一个底面直径是20cm、高是15cm的圆柱形容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2cm。现把一个圆锥放入容器中，有部分水溢出，当把圆锥取出后，水面下降了5cm。求溢出的水的体积。（容器壁的厚度忽略不计） 11．5张师傅想用一个底面直径为20厘米、高为40厘米的圆柱体木桩加工工艺品有以下几道工序： 工序1：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是1570立方厘米； 工序2：把圆锥和剩下的圆柱底面相接拼起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱部分涂上颜料。 请你帮张师傅算一算： （1）截取的木桩有多高？ （2）拼接后，涂颜料的面积是多少平方厘米？ 12．一个近似圆锥形的煤堆，底面周长是18.84米，高是1米，这个煤堆的体积是多少立方米？ 13．一个圆柱形的无盖水桶，从里面量，底面直径40厘米，高50厘米。用这个水桶装满水去浇花，平均每棵花用水0.5升，这桶水最多可以浇多少棵花？ 14．压路机的滚筒是一个圆柱，长1.8米，底面直径1.2米。滚筒滚动一周，能压路面多少平方米？ 15．如图，瓶子底面半径是5厘米，瓶里有一些水。将瓶正放，水面高度是16厘米；将瓶倒放，水面离瓶底还有4厘米。求瓶子的容积。（不考虑瓶的厚度） 16．在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 17．种粮大户李叔叔新建了一个粮囤(如图)，这个粮囤的上面是圆锥形，下面是圆柱形。从里面测得其底面周长是12.56m，圆锥的高是1.2m，圆柱的高是3.6m。这个粮囤最大贮存空间是多少？ 18．一个圆锥形砂堆，底面积是12.56平方米，高是6米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？(用方程解答) 19．为了响应政府“绿色家园，和谐共建”的号召，向阳村一组的王大伯新砌一个圆柱形的沼气池，它的底面直径是3米，深2米。 （1）沼气池的占地面积是多少平方米？ （2）在池的周围与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个沼气池可以容纳多少立方米的沼气？ 20．乐乐准备制作一个圆柱形低碳节能标志（如下图）。这个节能标志的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习二 圆柱和圆锥（解决问题） 【解析版】 知识点一：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点二：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点五：长方体中的最大圆柱.圆柱中的最大长方体.正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点六：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点七：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的表面积 【典例精讲】李大叔做了一个无盖的木桶。已知木桶的底面周长是125.6cm，高是6dm。 （1）做这个木桶至少需要多少木板？ （2）这个木桶一共可以装多少升水？（厚度不计） 【答案】（1）87.92dm2；（2）75.36L 【思路引导】据题意可知，需先求出底面圆的半径，两个量的单位不一，要先换算单位，再根据圆的半径＝圆周长÷÷2即可求出。 （1）求做这个木桶至少需要多少木板，就是求这个无盖木桶的表面积，木桶是圆柱体，即圆柱体的表面积（无盖）＝底面积＋侧面积； （2）求这个木桶一共可以装多少升水（厚度不计），即求这个木桶的容积，因不计厚度，所以木桶的容积等于木桶的体积，木桶是圆柱体，圆柱体体积＝底面积×高，据此解答即可。 【完整解答】（1） （dm） （dm²） 答：做这个木桶至少需要87.92dm²木板。 （2） （dm³） 答：这个木桶一共可以装75.36升水。 【变式训练1】张大爷家有一个用塑料薄膜覆盖的半圆柱形蔬菜大棚（如下图）。搭建这个大棚至少需要多少平方米的塑料薄膜？ 【答案】326.56平方米 【思路引导】塑料薄膜的面积是圆柱侧面积的一半和两个底面半圆的面积之和。大棚的长相当于圆柱的高，大棚的宽相当于圆柱的底面直径，根据圆柱表面积计算方法就可以算出塑料薄膜的面积。 【完整解答】 （平方米） 答：搭建这个大棚至少需要326.56平方米的塑料薄膜。 【变式训练2】如图，一个半圆柱形的积木，长8厘米，横截面是一个直径4厘米的半圆形。 （1）这个积木的体积是多少立方厘米？ （2）把这个积木表面涂上油漆，涂油漆部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）50.24立方厘米 （2）94.8平方厘米 【思路引导】（1）根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式，代入数据计算圆柱的体积再除以2即可。 （2）涂油漆的面积＝圆柱侧面积的一半＋长方形的面积＋一个圆的面积，根据圆柱的侧面积公式、、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】（1） （立方厘米） 答：这个积木的体积是50.24立方厘米。 （2） （平方厘米） 答：涂油漆部分的面积是94.8平方厘米。 题型三：组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【答案】117.68 【思路引导】这个零件的表面积是直径为4分米的圆柱的表面积的一半与棱长为4分米的正方体的5个面的面积的和。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，结合这两个公式求出题中零件的表面积。 【完整解答】[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5 ＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80 ＝[25.12＋50.24]÷2＋80 ＝75.36÷2＋80 ＝37.68＋80 ＝117.68（平方分米） 所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。 【考点再现】此题考查了圆柱和正方体的表面积公式的灵活应用，解题关键是熟记公式。 【变式训练1】一个零件（如图），它的正中间有一个圆柱形圆孔，上下都穿透。这个零件的表面积是( )平方分米。（π取3.14） 【答案】175.12 【思路引导】通过分析立体图形可知，零件的表面积＝圆柱侧面积＋正方体表面积－两个圆柱底面积和，根据圆柱侧面积公式：、底面积公式：和正方体表面积公式：棱长×棱长×棱长，以此进行解答。 【完整解答】圆柱侧面积：2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（平方分米） 底面积：3.14×（2÷2） ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 正方体表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 零件表面积：31.4＋150－3.14×2 ＝181.4－6.28 ＝175.12（平方分米） 【考点再现】此题主要考查学生对组合立体图形的表面积的理解与解题方法，需要准确分析组合立体图形的表面积组成部分，即零件的表面积＝圆柱侧面积＋正方体表面积－两个圆柱底面积和。 【变式训练2】如下图的“博士帽”是用黑色卡纸做成，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径20厘米，高10厘米的无底无盖的圆柱。制作20顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的黑色卡纸？   【答案】305.6平方分米 【思路引导】观察图可知，先求出1顶这样的“博士帽”的表面积，正方形的面积＋圆柱的侧面积＝1顶“博士帽”的表面积，然后用1顶这样的“博士帽”的表面积×制作的数量＝一共需要的黑色卡纸表面积，然后把平方厘米化成平方分米，除以进率100，据此解答。 【完整解答】30×30＋3.14×20×10 ＝900＋628 ＝1528（平方厘米） 1528×20＝30560（平方厘米）＝305.6（平方分米） 答：制作20顶这样的“博士帽”，至少需要305.6平方分米的黑色卡纸。 【考点再现】此题主要考查圆柱的侧面积和表面积的应用解题方法，需要牢记侧面积和表面积公式。 题型四：圆柱的体积 【典例精讲】如下图，长方体玻璃容器内装有水，容器的内壁底面是一个长方形，长为15cm，宽为7cm。现在把等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入容器内，水面升高了2cm，其中圆锥全部浸入水中，而圆柱有露出水面。求圆柱和圆锥的体积。 【答案】180cm；60cm 【思路引导】升高的2cm水的体积就是浸在水中的圆柱与圆锥的体积和。由于圆柱与圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱的体积的，而圆柱有露出水面，则浸在水中的部分占整个圆柱的。把圆柱的体积看作单位“1”，浸在水中的圆柱与圆锥的体积和相当于圆柱的体积的，由此可求出圆柱的体积，然后求出圆锥的体积。 【完整解答】圆柱的体积： （cm） 圆锥的体积：（cm） 答：圆柱的体积是180cm，圆锥的体积是60cm。 【变式训练1】一堆圆锥形高粱，底面周长是9.42m，高是1.2m，每立方米高粱约重650kg。 (1)这堆高粱约重多少千克？ (2)现在要把这堆高粱装在圆柱形粮囤里。从里面量，粮囤的底面直径为1m，高为90cm。最少需要几个这样的粮囤才能装下？ 【答案】(1) 千克 (2)4个 【思路引导】（1）依据题意可知，先计算出底面半径，利用圆锥的体积公式，结合题中数据计算出圆锥的体积，再根据每立方米高粱约重650kg求出这堆高粱的重量。 （2）利用圆柱的体积公式，计算出粮囤的容积，然后计算需要几个这样的粮囤才能装下。 【完整解答】（1） （米） （立方米） （千克） 答：这堆高粱约重1836.9千克。 （2） （立方米） （个） 答：至少需要4个这样的粮囤才能装下。 【变式训练2】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】12.56立方分米 【思路引导】分析题目，圆锥形铁块的体积等于圆柱形水桶的底面积乘水面上升的高度1分米，据此结合圆柱的底面积＝πr2列式计算即可。 【完整解答】3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是12.56立方分米。 题型五：立体图形的切拼(圆柱） 【典例精讲】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【答案】1177.5立方厘米 【思路引导】按图②的切法相当于增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积求出圆柱底面半径；按图①的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，根据圆柱的体积求出这根木料的体积即可。 【完整解答】（平方厘米） （平方厘米） 因为，所以底面半径为5厘米。 （平方厘米） 圆柱的高：（厘米） （立方厘米） 答：这块木料的体积是1177.5立方厘米。 【变式训练1】小慧说：“在五年级时，我们用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，推导出了梯形的面积公式（如下左图），所以可以用同样的思路计算出右边这个几何体的体积。”你觉得小慧说得对吗？请你算一算说明理由。     算一算： 我的理由是： 【答案】对；理由见详解 【思路引导】在梯形面积公式的推导中，用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，通过平行四边形面积推导出梯形面积，同样的，这里用两个完全相同的该几何体可以拼成一个完整的圆柱，几何体的体积是圆柱体积的一半，根据圆柱的体积公式：（其中是半径，是高），即可求出几何体的体积，据此求解。 【完整解答】算一算： 拼成圆柱的高：（分米） 圆柱半径：（分米） 圆柱的体积： （立方分米） 几何体的体积：（立方分米） 我的理由是： 把两个相同的几何体拼成一个圆柱体，底面积不变，新的圆柱体的高是分米。新的圆柱体体积是原来的2倍，即原来的几何体体积是圆柱体体积的一半。 答：小慧说得对，几何体的体积为981.25立方分米。 【变式训练2】一段圆柱形木料，底面半径为3厘米，长为12厘米。如果沿横截面截成2段，表面积将增加多少平方厘米？如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米；144平方厘米 【思路引导】根据题意，作图如下： 从图中可知：如果沿横截面截成2段，表面积将增加2个横截面的面积，即2个圆的面积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据即可求出圆的面积，再乘2即可。如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加2个长方形的面积，这个长方形的面积＝底面直径×高，代入数据即可求出长方形的面积，再乘2即可。 【完整解答】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方厘米） 3×2×12×2 ＝72×2 ＝144（平方厘米） 答：如果沿横截面截成2段，表面积将增加56.52平方厘米。如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加144平方厘米。 题型六：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【思路引导】这个陀螺是圆柱和圆锥的组合体，且圆锥和圆柱的底面是同一个圆（半径相同）。已知圆柱的高，圆锥的高是圆柱高的，用乘法求出圆锥的高。直径除以2即可求得圆柱和圆锥的底面圆半径。根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，求出两者体积并相加，即可求得陀螺的体积。 【完整解答】计算圆锥的高： 计算圆柱和圆锥底面圆半径： 计算圆柱体积： 计算圆锥体积： 求陀螺体积： 答：这个陀螺的体积是785立方厘米。 【变式训练1】青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 【答案】相等 【思路引导】分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。 【完整解答】假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。 3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）× ＝3.14×22×6×＋3.14×22×3× ＝3.14×4×6×＋3.14×4×3× ＝12.56×6×＋12.56×3× ＝75.36×＋37.68× ＝25.12＋12.56 ＝37.68 3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68 因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 【变式训练2】甲、乙两个工人制作圆锥。甲用一个圆柱形的木头削出了一个最大的圆锥，乙把一个圆柱形的钢坯熔铸成了一个最大的圆锥。下面是他们的对话，你认为他们俩谁说得不对？说明你的理由。 我用的圆柱形木头的体积比制作出的圆锥体积多 我制作的圆锥的体积与圆柱形钢坯的体积相等。 【答案】甲，理由见解析 【思路引导】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱形木头的体积比制作出的圆锥体积多2倍，而乙做法只是改变了形状，体积不变，乙说法正确，据此得解。 【完整解答】甲说得不对。已知等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，甲说法中的“比制作出的圆锥体积多”是把圆锥体积看作单位“1”，而实际上多的是圆柱形木头体积的，而不是圆锥体积的；乙说法将圆柱形钢坯熔铸成一个最大的圆锥，形状改变了，体积不变，乙说得对。（答案合理即可） 题型七：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】如下图，三角形ABC中，线段AB长15cm，线段CD是这个三角形高，CD长4cm。如果以AB为轴旋转一周得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【思路引导】以AB为轴旋转一周得到的立体图形是由两个底面半径为CD，长、高分别为AD和BD的圆锥组成的，根据圆锥体积公式分别计算两个圆锥体积再求和；圆锥体积公式为（其中r为底面半径，h为高），两个圆锥的底面半径均为4厘米，高分别为AD和BD，且AD和BD的和为AB，即15cm，则立体图形体积为两个圆锥体积之和，用公式计算即可。 【完整解答】 （立方厘米） 答：这个立体图形的体积是251.2立方厘米。 【变式训练1】下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程：（得数可用含有的式子表示） 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的。 （1）右边的杯子能装咖啡多少毫升？ （2）倒入的牛奶和咖啡（奶咖）有多少毫升？ 【答案】（1）毫升； （2）毫升 【思路引导】（1）由图可知，圆锥的底面直径是6厘米，高是8厘米，利用“”求出圆锥形杯子的容积，最后把体积单位转化为容积单位； （2）由题意可知，奶咖的高度＝圆柱形杯子的高度×，利用“”求出奶咖的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 立方厘米＝毫升 答：右边的杯子能装咖啡毫升。 （2） ＝ ＝ ＝（立方厘米） 立方厘米＝毫升 答：倒入的牛奶和咖啡（奶咖）有毫升。 【变式训练2】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【答案】2.4米 【思路引导】圆锥形谷堆的底面周长是18.84米，根据可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式可得，即可求出谷仓的高度。 【完整解答】 （米） （立方米） （米） 答：这个谷仓高2.4米。 题型八：体积的等积变形（圆柱、圆锥) 【典例精讲】一个圆柱形容器里盛有10cm深的水，它的底面直径是20cm。园园把一块铁块完全浸没在水中，容器内水面上升了3cm（如下图），且水未溢出。这块铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】942立方厘米 【思路引导】首先应明白上升的水的体积就是这块铁块的体积，求出底面直径是20厘米，高为3厘米的水的体积即可。根据圆柱体体积公式，代入数据即可。 【完整解答】 （立方厘米） 答：这块铁块的体积是942立方厘米。 【变式训练1】有一个高是12厘米，底面直径是6厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成一个底面直径8厘米圆柱形钢块。熔铸成的圆柱形钢块的高是多少厘米？ 【答案】 2.25厘米 【思路引导】根据题意，圆锥形钢块熔铸成圆柱形钢块，体积不变。 先利用圆锥体积原钢块的体积，再利用圆柱体积公式求出熔铸后的高。 【完整解答】6÷2＝3（厘米） （立方厘米） 8÷2＝4（厘米） （厘米） 答：熔铸成的圆柱形钢块的高是2.25厘米。 【变式训练2】有一个底面周长是8π米、高是3米的圆锥形谷堆，将这些稻谷装进一个底面直径是8米的圆柱形粮仓里，正好装满。这个粮仓的高是多少米？ 【答案】1米 【思路引导】先根据圆锥的底面半径＝周长÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h求出圆锥的体积；再根据圆柱的高＝体积÷底面积，用圆锥的体积除以圆柱形粮仓的底面积即可得到粮仓的高。 【完整解答】8π÷π÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（立方米） 8÷2＝4（米） 50.24÷（3.14×42） ＝50.24÷（3.14×16） ＝50.24÷50.24 ＝1（米） 答：这个粮仓的高是1米。 题型九：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【答案】 188.4 376.8 【思路引导】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【完整解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【变式训练1】一个底面直径为8cm的圆锥（如图），从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72cm2。这个圆锥的高是 cm。 【答案】9 【思路引导】将圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝1个三角形的面积，三角形的面积×2÷底面直径＝圆锥的高，据此列式计算。 【完整解答】72÷2×2÷8＝9（cm） 这个圆锥的高是9cm。 【变式训练2】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【思路引导】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【完整解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 题型十：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】如图是一个粮仓，它由一个圆柱和一个圆锥组合而成。如果每立方米粮食的质量是0.6吨，这个粮仓最多能装多少吨粮食？ 【答案】79.128吨 【思路引导】圆柱的体积＝底面积×高，V＝πr2h，圆锥的面积＝底面积×高÷3，V＝πr2h，代入数据计算出粮仓的体积，粮仓的体积乘每立方米粮食的质量，就是这个粮仓所装的粮食质量。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×4＋3.14×（6÷2）2×2× ＝3.14×32×4＋3.14×32×2× ＝3.14×9×4＋3.14×9×2× ＝113.04＋56.52× ＝113.04＋18.84 ＝131.88（立方米） 131.88×0.6＝79.128（吨） 答：这个粮仓最多能装79.128吨粮食。 【变式训练1】一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 【答案】35.325立方厘米 【思路引导】圆锥的高是圆柱高的，则圆锥的高为4×＝3厘米；圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高÷3，根据圆柱和圆锥的体积计算公式求出它们的体积和即可。 【完整解答】底面半径：3÷2＝1.5（厘米） 圆柱的体积： 3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝7.065×4 ＝28.26（立方厘米） 圆锥的高：4×＝3（厘米） 3.14×1.52×3÷3 ＝3.14×2.25×3÷3 ＝7.065×3÷3 ＝21.195÷3 ＝7.065（立方厘米） 28.26＋7.065＝35.325（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是35.325立方厘米。 【变式训练2】某雕塑的底座如图（单位：米），做这个底座至少需要多少立方米混凝土？ 【答案】3.2956立方米 【思路引导】从图中可知：这个底座的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积，根据圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据计算，求出体积再相加即可。 【完整解答】（1.2÷2）2×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.62×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝0.36×3.14×1.5＋2×2×0.4 ＝1.6956＋1.6 ＝3.2956（立方米） 答：做这个底座至少需要3.2956立方米混凝土 题型十一：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）200.96平方厘米； （2）5024立方厘米； （3）1205.76立方厘米 【思路引导】（1）据图可知，这个容器是一个底面直径是16厘米高是25厘米的圆柱，求容器的占地面积就是求圆柱的底面积，根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算； （3）铁块的体积等于底面直径是16厘米高是6厘米的圆柱的体积，据此根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h代入数据计算即可。 【完整解答】（1）3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：这个容器的占地面积是200.96平方厘米。 （2）3.14×（16÷2）2×25 ＝3.14×82×25 ＝3.14×64×25 ＝200.96×25 ＝5024（立方厘米） 答：这个容器的容积是5024立方厘米。 （3）3.14×（16÷2）2×6 ＝3.14×82×6 ＝3.14×64×6 ＝200.96×6 ＝1205.76（立方厘米） 答：铁块的体积是1205.76立方厘米。 【变式训练1】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【思路引导】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是4厘米，水面下降高度是1.5厘米，根据圆柱的体积公式可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知圆锥的高是6厘米，根据圆锥体积公式可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。 【完整解答】3.14×42×1.5 ＝3.14×16×1.5 ＝50.24×1.5 ＝75.36（立方厘米） 75.36×3÷6 ＝226.08÷6 ＝37.68（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是37.68平方厘米。 【变式训练2】“数学实验”是数学学习的一种重要方式。在数学实验课上，丁老师和同学们合作测量一些相同玻璃球的体积，他们进行了如下实验： ①琪琪准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量后得到底面半径3厘米，高12厘米； ②明明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是6厘米； ③慧慧把30颗玻璃球放入玻璃杯（玻璃球完全浸没在水中），测得水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据实验的过程，回答下面的问题： （1）明明注入了多少毫升水？ （2）一颗玻璃球的体积大约是多少？ 【答案】（1）169.56毫升 （2）1.884立方厘米 【思路引导】（1）由题意可知，明明注入了的水的体积等于圆柱的底面积乘水的高度，根据圆柱的体积＝，把数据代入即可求出明明注入了多少毫升水； （2）首先，我们需要计算出放入30颗玻璃球后，水面上升的高度。这个高度等于圆柱的高度乘以水的高度与水面离杯口的距离之比，然后减去原来的水的高度，我们再根据圆柱的体积＝，计算出30颗玻璃球的总体积，最后除以30，就可以得到一颗玻璃球的体积。 【完整解答】（1）3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 169.56立方厘米＝169.56毫升 答：明明注入了169.56毫升水。 （2）12×－6 ＝12×－6 ＝8－6 ＝2（厘米） 3.14×32×2÷30 ＝3.14×9×2÷30 ＝28.26×2÷30 ＝56.52÷30 ＝1.884（立方厘米） 答：一颗玻璃球的体积大约是1.884立方厘米。 1．如下图，把圆柱体切拼成一个近似的长方体。切拼后的体积和表面积（    ）。 A．表面积和体积都没变。 B．表面积和体积都变了。 C．表面积变了，体积没变。 D．表面积没变，体积变了。 【答案】C 【思路引导】把圆柱体切拼成一个近似的长方体。切拼后的体积还是原来的体积，所占空间大小不变，表面积增加了两个以圆柱的底面半径为宽，高为长的长方形的面积，据此选择。 【完整解答】根据分析可知，把圆柱体切拼成一个近似的长方体。表面积变了，体积没变。 故答案为：C 2．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，体积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的A 【答案】A 【思路引导】根据圆锥的体积公式V＝ h，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几可知，圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，则体积就扩大到原来的倍；高缩小到原来的，则体积就缩小到原来的；最终体积乘，再除以3，据此判断。 【完整解答】÷3 ＝9÷3 ＝3 所以一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，体积扩大到原来的3倍。 故答案为：A 3．用一块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上半径为（    ）的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。（连接处忽略不计） A．1厘米 B．2厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【思路引导】长方形作为圆柱的侧面，若以12.56厘米为底，即底面圆的周长是12.56厘米，结合圆的周长公式，即可求出圆的直径，进而得出半径；当以宽8厘米作为底面时，结合圆的周长公式，得数必定是小数，明显没有符合的答案。故据此即可作答。 【完整解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 配上半径为2厘米的圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。 故答案选：B 4．一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．80π B．72π C．25π D．24π 【答案】D 【思路引导】分析题目，以长方形的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式计算即可。 【完整解答】π×22×6 ＝π×4×6 ＝4π×6 ＝24π（立方厘米） 一个长方形长6厘米，宽2厘米，以它的长所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的体积是24π立方厘米。 故答案为：D 5．聪聪有等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器中，当水全部倒完后，溢出24.6mL水。这时圆锥形容器内还有水（    ）mL。 A．24.6 B．32.9 C．12.3 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份。 根据题意，圆锥和圆柱形容器等底等高，将圆柱形容器装满水后倒入与圆锥形容器中，那么圆锥形容器装满水的体积占1份，溢出的水占（3－1）份；用溢出水的体积除以（3－1）份，求出一份数，也就是圆锥形容器装满水的体积。 【完整解答】24.6÷（3－1） ＝24.6÷2 ＝12.3（mL） 这时圆锥形容器内还有水12.3mL。 故答案为：C 6．李叔叔用一块长方形铁皮的阴影部分（如图），刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）。做成的油桶的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方分米。 【答案】 20 40 50.24 【思路引导】看图可知，阴影部分长方形的长＝圆柱底面周长，设阴影部分中圆的直径为x厘米，根据直径×2＋底面周长＝205.6厘米，列出方程求出x的值是底面直径，且底面直径＝高，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出体积，根据1立方分米＝1000立方厘米，统一单位即可。 【完整解答】解：设阴影部分中圆的直径为x厘米。 2x＋3.14x＝205.6 5.14x＝205.6 5.14x÷5.14＝205.6÷5.14 x＝40 阴影部分圆的半径为：40÷2＝20（厘米） 3.14×202×40 ＝3.14×400×40 ＝50240（立方厘米） 50240立方厘米＝50.24立方分米 做成的油桶的底面半径是20厘米，高是40厘米，体积是50.24立方分米。 7．如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升。 【答案】720 【思路引导】题目给出两个相同的量杯初始各有640毫升水，分别放入等底等高的圆柱和圆锥后，通过圆柱放入后水面上升的体积求出圆柱体积，再根据等底等高时圆柱体积是圆锥3倍的关系求出圆锥体积，最后将圆锥体积与初始水量相加得到最终水面刻度。 【完整解答】圆柱体积：880－640＝240（毫升） 圆锥体积：240÷3＝80（毫升） 最终刻度：640＋80＝720（毫升） 那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720毫升。 8．聪聪从图中剪下阴影部分制作成了一个笔筒，笔筒的高是( )cm，制作这个笔筒用了( )cm2的硬纸板。（π取3.14） 【答案】 12 455.3 【思路引导】分析题目，圆柱的底面周长等于31.4，圆柱的底面直径加上高等于22，据此先根据圆的直径＝C÷π求出圆柱的底面直径；再用22减去圆柱的底面直径得到圆柱的高；最后根据笔筒的表面积＝π（d÷2）2＋πdh代入数据列式求出需要的硬纸板即可。 【完整解答】31.4÷3.14＝10（cm） 22－10＝12（cm） 3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋31.4×12 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（cm2） 聪聪从图中剪下阴影部分制作成了一个笔筒，笔筒的高是12cm，制作这个笔筒用了455.3cm2的硬纸板。（π取3.14） 9．一个圆锥和一个圆柱等底等高，如果圆柱的体积是45dm3，那么圆锥的体积是( )dm3，如果圆锥的体积是30cm3，则圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 15 90 【思路引导】因为圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，所以等底等高圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，据此解答。 【完整解答】45÷3＝15（dm3） 30×3＝90（cm3） 一个圆锥和一个圆柱等底等高，如果圆柱的体积是45dm3，那么圆锥的体积是15dm3，如果圆锥的体积是30cm3，则圆柱的体积是90cm3。 10．往一个底面直径是20cm、高是15cm的圆柱形容器中倒入一定量的水，使水面距离容器口2cm。现把一个圆锥放入容器中，有部分水溢出，当把圆锥取出后，水面下降了5cm。求溢出的水的体积。（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】942cm3 【思路引导】圆锥取出后，水面下降了5厘米，说明圆锥的体积＝圆柱的底面积×5 厘米。原来水面距离容器口2厘米，所以圆锥放入圆柱形容器时，上升的水先填满2厘米高的空间，再溢出，溢出的水的体积相当于厘米高的圆柱的体积。据此解答。 【完整解答】     （cm3） 答：溢出的水的体积942cm3。 11．5张师傅想用一个底面直径为20厘米、高为40厘米的圆柱体木桩加工工艺品有以下几道工序： 工序1：截取一段圆柱体木桩削成最大的圆锥，使得圆锥的体积是1570立方厘米； 工序2：把圆锥和剩下的圆柱底面相接拼起来，在圆锥部分雕刻上花纹，圆柱部分涂上颜料。 请你帮张师傅算一算： （1）截取的木桩有多高？ （2）拼接后，涂颜料的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）15厘米；（2）1884平方厘米 【思路引导】（1）圆锥体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高），即h＝V÷÷S，因为圆锥是从圆柱上削下来的，所以圆锥的底面积和圆柱的底面积相等。已知底面直径20厘米，半径为20÷2＝10厘米。根据圆面积公式S＝πr2（π取3.14），可得底面积为3.14×102＝3.14×100＝314平方厘米。求截取木桩的高（即圆锥的高）：因为圆锥体积1570立方厘米，把数据代入公式h＝V÷÷S计算即可求得截取木桩的高。 （2）因为是把圆锥和剩下的圆柱底面相接拼起来，拼接后涂颜料的是圆柱部分的侧面积与一个底面积（圆锥和圆柱拼接的面不涂颜料，圆柱原本两个底，一个与圆锥拼接，另一个需涂颜料）。圆柱侧面积公式为S＝πdh（d是底面直径，h是剩下圆柱的高），由（1）已经求得底面积和截取的圆柱的高，那么剩下的圆柱的高用圆柱原来的高40减去截取圆柱的高即可。把数据代入公式即可计算出侧面积。然后把侧面加上一个面的底面积即可求得涂颜料的面积。 【完整解答】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 1570÷÷314 ＝1570×3÷314 ＝4710÷314 ＝15（厘米） 答：截取的木桩高有15厘米。 （2）40－15＝25（厘米） 3.14×20×25＝1570（平方厘米） 1570＋314＝1884（平方厘米） 答：拼接后，涂颜料的面积是1884平方厘米。 12．一个近似圆锥形的煤堆，底面周长是18.84米，高是1米，这个煤堆的体积是多少立方米？ 【答案】 9.42立方米 【思路引导】已知圆锥形煤堆底面周长是18.84米，高是1米，根据圆的周长公式C＝2πr，计算出圆锥的底面半径r＝C÷π÷2；然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥体积，即这个煤堆的体积。 【完整解答】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） ×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝3.14×3×1 ＝9.42（立方米） 答：这个煤堆的体积是9.42立方米。 13．一个圆柱形的无盖水桶，从里面量，底面直径40厘米，高50厘米。用这个水桶装满水去浇花，平均每棵花用水0.5升，这桶水最多可以浇多少棵花？ 【答案】125棵 【思路引导】先根据水桶的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，求出水桶的容积，最后除以每颗花需要的水量，结果根据实际情况，运用“去尾法”保留整数。 【完整解答】40厘米＝4分米 50厘米＝5分米 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 62.8÷0.5≈125（棵） 答：这桶水最多可以浇125棵花。 14．压路机的滚筒是一个圆柱，长1.8米，底面直径1.2米。滚筒滚动一周，能压路面多少平方米？ 【答案】6.7824平方米 【思路引导】求滚动一周，能压路的面积，就是求这个液压机滚筒的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×1.2×1.8 ＝3.768×1.8 ＝6.7824（平方米） 答：能压路面6.7824平方米。 15．如图，瓶子底面半径是5厘米，瓶里有一些水。将瓶正放，水面高度是16厘米；将瓶倒放，水面离瓶底还有4厘米。求瓶子的容积。（不考虑瓶的厚度） 【答案】1570立方厘米 【思路引导】根据题意可知，瓶子的容积等于底面半径是5厘米，高是16厘米的圆柱的容积，加上底面半径是5厘米，高是4厘米的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×52×16＋3.14×52×4 ＝3.14×25×16＋3.14×25×4 ＝78.5×16＋78.5×4 ＝1256＋314 ＝1570（立方厘米） 答：瓶子的容积是1570立方厘米。 16．在实践活动课上，老师要求把完全一样的圆柱形橡皮泥平均切成两块，且切成的不是圆柱。下面是乐乐和园园按要求切完后的形状，原来圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【思路引导】由题意可知：原来圆柱的底面直径为4厘米，高为厘米，据此利用圆柱的体积＝底面积×高，即可得解。 【完整解答】 （立方厘米） 答：原来圆柱形橡皮泥的体积是100.48立方厘米。 【考点再现】本题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，得出原来圆柱的底面直径和高是解答本题的关键。 17．种粮大户李叔叔新建了一个粮囤(如图)，这个粮囤的上面是圆锥形，下面是圆柱形。从里面测得其底面周长是12.56m，圆锥的高是1.2m，圆柱的高是3.6m。这个粮囤最大贮存空间是多少？ 【答案】50.24立方米 【思路引导】根据题意，粮仓的容积等于下面圆柱的体积和上面圆锥的体积的和，依据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，计算即可得解。需要注意，通过底面周长先求出底面半径，进而求出底面积。 【完整解答】12.56÷3.14÷2＝2（m）　 3.14×22×3.6＋3.14×22×1.2÷3 ＝3.14×4×（3.6＋0.4） ＝12.56×4 ＝50.24（m3）　 答：这个粮囤最大贮存空间是50.24立方米。 【考点再现】本题考查了圆柱和圆锥体积计算的实际应用问题。 18．一个圆锥形砂堆，底面积是12.56平方米，高是6米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？(用方程解答) 【答案】12.56米 【思路引导】根据题意，圆锥的体积和铺在公路上后构成的长方体的体积是相等的，据此列出等量关系，进而解方程即可。 【完整解答】解：设能铺x米长。 20厘米＝0.2米 10×0.2＋x＝12.56×6÷3 x＝12.56 答：能铺12.56米长。 【考点再现】本题考查圆锥和长方体体积计算的实际应用问题，根据体积不变，列出等量关系是解题的关键。 19．为了响应政府“绿色家园，和谐共建”的号召，向阳村一组的王大伯新砌一个圆柱形的沼气池，它的底面直径是3米，深2米。 （1）沼气池的占地面积是多少平方米？ （2）在池的周围与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个沼气池可以容纳多少立方米的沼气？ 【答案】（1）7.065平方米 （2）25.905平方米 （3）14.13立方米 【思路引导】（1）沼气池的占地面积，即圆柱底面积，根据计算即可； （2）抹水泥部分的面积，是圆柱的一个底面积与侧面积的和，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此解答； （3）沼气池的容积，即圆柱的体积，圆柱体积＝底面积×高，据此解答。 【完整解答】（1）（3÷2）2×3.14＝7.065（平方米） 答：沼气池的占地面积是7.065平方米。 （2）7.065＋3×3.14×2＝25.905（平方米） 答：抹水泥部分的面积是25.905平方米。    （3）7.065×2＝14.13（立方米） 答：这个沼气池可以容纳14.13立方米的沼气。 【考点再现】本题考查圆柱的底面积、侧面积及体积计算的实际应用问题，计算过程涉及的小数较多，细心计算是关键。 20．乐乐准备制作一个圆柱形低碳节能标志（如下图）。这个节能标志的体积是多少立方厘米？ 【答案】301.44立方厘米 【思路引导】由题意可知，要求这个节能标志的体积，已知底面直径是8厘米，高为6厘米，根据圆柱的体积V＝πr2h，即可解答。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 答：这个节能标志的体积是301.44立方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $