（专项复习四：思维拓展）圆柱和圆锥（类型与技巧分析+九大题型讲练+优选题拔尖练 共47题）-苏教版数学六年级下册专项培优讲练

专项复习四 圆柱和圆锥（思维拓展） 【解析版】 题型一：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）广东省湛江市作为全国重要的冬季蔬菜供应基地，大力发展蔬菜大棚。一个蔬菜大棚的下半部分是长15m、宽4m、高2m的长方体，上半部分是圆柱的一半。搭这个蔬菜大棚需要多少平方米的覆盖薄膜？这个蔬菜大棚的空间有多大？ 【思路引导】覆盖薄膜：182.76；空间：214.2 【思路引导】由题目可知，要求出这个薄膜的表面积，它是有两个大长方形，两个小长方形，圆柱的一半表面积组成的。用公式可算出每部分的面积。加起来就是覆盖薄膜的面积。长方形面积等于长乘宽，半圆的面积等于3.14乘半径平方除以2，半圆柱的侧面积等于底面周长的一半乘高；这个蔬菜大棚的空间即求出长方体体积和圆柱体积一半即可。 【完整解答】 （） 答：搭这个蔬菜大棚需要182.76平方米的覆盖薄膜。 （） 答：这个蔬菜大棚的空间有214.2。 【考点再现】解答本题的关键是分清所求物体的形状，转化为有关图形的体积或面积问题，再进行计算。 【变式训练1】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 【思路引导】533.8平方厘米 【思路引导】把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的表面积公式S表＝2S底＋S侧，其中S侧＝πdh，代入数据计算，求出这个圆柱形木料的表面积。 【完整解答】圆柱的底面积：157÷2＝78.5（平方厘米） 底面半径的平方：78.5÷3.14＝25（平方厘米） 因为25＝5×5，所以圆柱的底面半径是5厘米。 圆柱的底面直径：5×2＝10（厘米） 圆柱的高：240÷2÷10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 157＋3.14×10×12 ＝157＋376.8 ＝533.8（平方厘米） 答：这个圆柱形木料的表面积是533.8平方厘米。 【考点再现】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，再利用公式列式计算。 【变式训练2】（24-25六年级下·广东中山·期末）六一儿童节前，六年级（4）班开展“巧手做容器”劳动实践活动，同学们要用硬纸板制作无盖圆柱形容器（仅有一个底面）装节日糖果。老师提供的硬纸板尺寸为长30厘米、宽20厘米（接缝处损耗忽略不计）。同学们计划制作的容器底面半径为5厘米，高度为10厘米（π取3）。活动结束后，同学们决定用彩色贴纸装饰容器的侧面和底面边缘，装饰部分面积与容器表面积（不含上盖）的比为2∶5。 （1）一张硬纸板最多能制作几个这样的无盖圆柱形容器？ （2）每个容器需要的彩色贴纸面积是多少平方厘米？ 【思路引导】（1）1个；（2）150平方厘米 【思路引导】（1）容器由侧面（长方形）和底面（圆形）组成，侧面一条边为圆柱底面圆周长，另一条边是圆柱的高。 底面圆周长为：厘米，即侧面展开图长为30厘米，恰好等于硬纸板长；侧面展开图宽10厘米，而硬纸板宽为20厘米，刚好可以分为两个宽，因此一个硬纸板最多可制作2个侧面。 底面直径为10厘米，占用边长为10厘米的正方形区域。硬纸板长30厘米可放3个底面，宽20厘米可放2个底面，共可制作（个）底面。每个容器需1个侧面和1个底面，据此即可判断出做容器的数量。 （2）这个容器表面积为一个底面积与侧面积的和，侧面积为底面周长乘高，代入公式计算出容器表面积，装饰面积占容器表面积的，用分数乘法计算出装饰面积。 【完整解答】（1）底面圆周长为： 硬纸板宽被圆柱高10厘米分成的个数是：（个） 因此一个硬纸板最多可制作2个侧面。 底面直径为： （个） （个） 一张硬纸板可制作底面个数是： （个） 每个容器需1个侧面和1个底面，因此最多制作1个容器（受限于侧面数量）。 答：一张硬纸板最多能制作1个这样的无盖圆柱形容器。 （2）30×10＝300（平方厘米） 圆柱容器表面积为：300＋75＝375（平方厘米） 装饰面积为： （平方厘米） 答：每个容器需要的彩色贴纸面积是150平方厘米。 【考点再现】本题需要先计算圆柱侧面的两条边长，用圆柱的高平分硬纸板的宽，得到一张硬纸板分成2个侧面，再根据底面圆的所在的正方形，得到一张硬纸板可以分成几个底面圆，最后依据每个容器需1个侧面和1个底面得到一张硬纸板最多制作出1个容器。 题型二：圆柱的体积 【典例精讲】（22-23六年级下·浙江杭州·期中）一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1。如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体。削成的圆柱体和长方体体积比是( )。（得数保留π） 【思路引导】π2∶8 【思路引导】根据题意，一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1，即正方体与圆柱的体积相等，根据正方体的体积公式V＝a3，圆柱的体积公式V＝πr2h，推导出正方体的棱长和圆柱的底面半径的关系。 把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，那么削成圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积； 把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的高等于正方体的棱长，长方体的底面是正方形时面积最大，求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出长方体的体积； 然后根据比的意义写出削成的圆柱体和长方体体积比，并化简比。 【完整解答】设正方体木块的棱长是a，圆柱形木块的底面半径是r； 正方体木块的体积是a3； 圆柱形木块的体积是πr2a； a3＝πr2a，则a2＝πr2，即r2＝； 把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，那么削成的圆柱体体积是： π×（）2×a＝ 把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的底面是正方形时面积最大，如下图： 正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2 长方体的体积：2r2×a＝2××a＝ ∶ ＝∶ ＝（×4π）∶（×4π） ＝π2∶8 削成的圆柱体和长方体体积比是π2∶8。 【考点再现】本题考查正方体、长方体、圆柱的体积公式以及比的意义、化简比的应用。理解把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形时，圆柱的底面直径、高与正方体棱长的关系；把圆柱形木块削成尽可能大的长方体，长方体的底面是正方形时面积最大，掌握外圆内方的正方形面积的求法。 【变式训练1】（22-23六年级下·湖北武汉·期中）小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【思路引导】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米 【思路引导】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【完整解答】甲的体积： 3.14×32×6－×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×6－×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： ×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3 ＝×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。 ×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3 ＝×3.14×36×6－×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。 【考点再现】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 【变式训练2】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）有一圆柱形容器，该容器的底面半径为10厘米，侧面积为300π平方厘米。 （1）如图1，求该圆柱形容器的高为多少厘米？ （2）如图2，有一实心铁圆柱体，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径比圆柱形容器的底面半径小，求该实心铁圆柱体的体积？（结果保留π） （3）在（2）的条件下，现有底面半径为5厘米，高为12厘米的实心冰圆锥若干，水变成冰体积会增加，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，如图3，将冰圆锥化成的水注入圆柱形容器内，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没。求至少需要多少个冰圆锥（整数个）？并求此时水面与容器口的距离h为多少厘米？ 【思路引导】（1）15厘米 （2）160π立方厘米 （3）10个；4.4厘米 【思路引导】（1）先根据圆的底面周长公式C＝2πr，求出圆柱的底面周长；再根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch可知，圆柱的高h＝S侧÷C，代入数据计算即可求出圆柱形容器的高。 （2）根据“实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的”，把圆柱形容器的高看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法求出实心铁圆柱的高； 根据“实心铁圆柱的底面半径比圆柱形容器的底面半径小”，把圆柱形容器的底面半径看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法求出实心铁圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个实心铁圆柱的体积。 （3）已知实心冰圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出一个实心冰圆锥的体积； 已知水变成冰体积会增加，即冰的体积比水的体积增加，把水的体积看作单位“1”，冰的体积是水体积的（1＋），单位“1”未知，用除法计算，求出一个实心冰圆锥化成水后的体积； 现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，水要浸没实心铁圆柱体，水的高度至少等于实心铁圆柱体的高10厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水和实心铁圆柱体的总体积；再减去实心铁圆柱体的体积，就是至少需要水的体积；用水的体积除以一个实心冰圆锥的体积，即可求出至少需要实心冰圆锥的个数，得数用进一法取整数。 用实心铁圆柱体的体积加上10个实心冰圆锥的体积，除以圆柱形容器的底面积，求出此时水面的高度，再用圆柱形容器的高减去水面的高度，即可求出此时水面与容器口的距离。 【完整解答】（1）圆柱的底面周长：2×π×10＝20π（厘米） 圆柱的高：300π÷20π＝15（厘米） 答：该圆柱形容器的高为15厘米。 （2）实心铁圆柱的高：15×＝10（厘米） 实心铁圆柱的底面半径： 10×（1－） ＝10× ＝4（厘米） 实心铁圆柱体的体积： π×42×10 ＝π×16×10 ＝160π（立方厘米） 答：该实心铁圆柱体的体积是160π立方厘米。 （3）一个实心冰圆锥的体积： ×π×52×12 ＝×π×25×12 ＝100π（立方厘米） 一个实心冰圆锥化成水的体积： 100π÷（1＋） ＝100π÷ ＝100π× ＝90π（立方厘米） 与实心铁圆柱体高相等的水的体积： π×102×10 ＝π×100×10 ＝1000π（立方厘米） 恰好浸没实心铁圆柱体需要水： 1000π－160π＝840π（立方厘米） 需要实心冰圆锥： 840π÷90π≈10（个） 水面的高度： （160π＋90π×10）÷（π×102） ＝1060π÷100π ＝10.6（厘米） 水面与容器口的距离： 15－10.6＝4.4（厘米） 答：此时水面与容器口的距离h为4.4厘米。 【考点再现】本题考查圆柱底面周长、圆柱侧面积、圆柱的体积、圆锥的体积公式的灵活运用，以及分数乘除法的应用。 题型三：圆柱的容积 【典例精讲】甲乙两个圆柱形容器，底面积之比为5∶3，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米。在这两个容器中注入同样多的水，使两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【思路引导】15 【思路引导】由于甲乙两个容器的底面积之比是5∶3，注入同样多的水，那么高度之比就该是3∶5，所以，要使注入后水高度相等，那么就要相差9－5＝4厘米深，那么乙容器就要注入4÷（5－3）×5厘米，进而确定这时水深。 【完整解答】（9－5）÷（5－3）×5＋5 ＝4÷2×5＋5 ＝10＋5 ＝15（厘米） 【考点再现】做题时应认真审题，找出题中的对应量，进而进行分析解答得出结论。 【变式训练1】实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高lcm，如图所示。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则刚开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？    【思路引导】或或分钟 【思路引导】根据甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1∶2∶1，可设甲乙丙的底面积为S，4S，S，向乙丙注水的时间为t分钟，因为每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，所以当注水1分钟可求出丙的水位上升高度：丙，解得h丙＝ ，所以注水1分钟，丙的水位上升为cm，然后再分三种情况：乙的水位低于甲的水位；甲的水位低于乙的水位，而丙中水至连通处，并溢出到乙中，且甲的水位不变，乙、丙中水未至连通处；甲的水位低于乙的水位，而乙、丙中水至连通处，并溢出到甲中，讨论即可。 【完整解答】设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，而乙与甲的水位之差是0.5cm时有三种情形：    （1）如图①，当乙的水位低于甲的水位，乙、丙中水未至连通处时，此时，解答 ； （2）如图②，当甲的水位低于乙的水位，而丙中水至连通处，并溢出到乙中，且甲的水位不变，此时4S×1.5＋S ×5＝，解得； （3）如图③，甲的水位低于乙的水位，而乙、丙中水至连通处，并溢出到甲中，此时甲的水位高4.5cm，即，解得。 答：开始注入或或分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm。 【考点再现】本题考查圆柱的体积、注水速度、注水时间，解答本题的关键是在理解题意的基础上分类讨论。 【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【思路引导】1570毫升 【思路引导】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【考点再现】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 题型四：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·陕西汉中·小升初模拟）在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【思路引导】 30厘米 【思路引导】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【完整解答】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【考点再现】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）下图所示的是一个封闭的容器，容器中有一些水。若把这个容器倒过来，容器里的水深多少厘米？ 【思路引导】11cm 【思路引导】因为圆锥和圆柱等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥内水的高度是18厘米，那么将其倒入等底的圆柱中，水的高度为6厘米，原来圆柱部分水的高度为5厘米，倒过来后，水深为圆锥倒入圆柱的水的高度加上圆柱部分原有的水的高度，即11厘米。 【完整解答】（厘米） （厘米） （厘米） 答：容器里的水深11厘米。 【考点再现】先明确圆锥与圆柱底面积相同，利用等底等高圆锥体积是圆柱体积的，求出圆锥内水倒入圆柱后的高度，再加上圆柱部分剩余的水深，得到倒过来后的水深。 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）一个圆柱体木块如果切成完全一样的两块（如图①），表面积增加48cm2；如果切成完全一样的三块（如图②），表面积增加50.24cm2；如果削成一个最大的圆锥体（如图③），体积减少了( )cm3。 【思路引导】50.24 【思路引导】按①切，增加的表面积＝圆柱的底面直径×圆柱的高×2，按②切增加的表面积＝圆柱的底面积×4，进而可求出圆柱的半径、以及圆柱的高，接下来根据圆柱的体积以及圆锥的体积公式求出体积，并相减即可。 【完整解答】圆柱的底面直径×圆柱的高＝48÷2＝24（cm2） 圆柱的底面积＝50.24÷4＝12.56（cm2）， 所以圆柱的半径的平方＝12.56÷3.14＝4（cm2），即圆柱的半径＝2cm， 圆柱的高＝24÷2÷2＝6（cm）， 圆柱的体积＝12.56×6＝75.36（cm3） 圆锥的体积＝×75.36＝25.12（cm3） 75.36－25.12＝50.24（cm3） 即体积减少了50.24。 题型五：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【思路引导】112平方厘米 【思路引导】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 【完整解答】浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【考点再现】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 【变式训练】一个注满水的圆柱形玻璃容器，先把一个圆柱形铁棒完全浸入水中，然后取出，再把一个圆锥形铁块完全浸入水中，已知第二次排出水的体积是第一次排出水体积的2.5倍。圆柱形铁棒的底面半径与圆锥形铁块的底面半径的比是，圆柱形铁棒的高是，圆锥形铁块的高是( )。 【思路引导】4.2 【思路引导】根据圆柱形铁棒的底面半径与圆锥形铁块的底面半径的比是，将圆柱底面半径看作1，圆锥底面半径看作3，因为第二次排出水的体积是第一次排出水体积的2.5倍，所以圆锥体积是圆柱体积的2.5＋1倍，设圆锥形铁块的高是x厘米，根据圆锥体积＝圆柱体积×（2.5＋1），列出方程求解即可。 【完整解答】解：设圆锥形铁块的高是x厘米。 3.14×3²×x÷3＝3.14×1²×3.6×（2.5＋1） 9.42x＝11.304×3.5 9.42x÷9.42＝39.564÷9.42 x＝4.2 【考点再现】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 题型六：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 【思路引导】8m＋2s 【思路引导】通过观察图形的表面积变化规律可知：①m＋2s；②2m＋2s；③3m＋2s……，由此可得出n×m＋2s，以此解答。 【完整解答】由分析可知， ①m＋2s ②2m＋2s ③3m＋2s …… 第⑧幅图的表面积是8×m＋2s＝8m＋2s。 【考点再现】此题主要考查学生通过观察图形表面积变化总结规律的能力。 【变式训练1】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【思路引导】225.36 【思路引导】要求这个模型的表面积，实际上是用棱长为5分米的正方体的表面积加上6个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱的侧面积求和。 【完整解答】5×5×6＋3.14×2×2×6 ＝150＋75.36 ＝225.36（平方分米） 这个模型的表面积是225.36平方分米。 【考点再现】此题考查长方体表面积和圆柱侧面积的综合应用，解答本题的关键是将表面积转化为学过的基本图形表面积。 【变式训练2】下图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是2分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？ 【思路引导】40.82平方分米 【思路引导】将圆柱的上底补到下底，则这顶帽子的面积为直径2＋2＋2＝6（分米）的圆的面积与底面直径2分米高2分米的圆柱侧面积的和，据此计算即可。 【完整解答】2＋2＋2＝6（分米） 3.14×（6÷2）2＋3.14×2×2 ＝28.26＋12.56 ＝40.82（平方分米） 答：做这顶帽子至少要用40.82平方分米的花布。 【考点再现】本题考查了圆柱和圆的组合体的表面积计算的综合应用问题，适当进行移补和转化可简化计算。 题型七：组合体的体积(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【思路引导】211.95立方厘米 【思路引导】由图可知，陀螺的圆柱部分和圆锥部分底面相等，设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米，则圆锥的高是75%h，根据圆柱的体积＝Sh＝169.56立方厘米，圆锥的体积＝×底面积×高，可得：圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh，再把Sh用169.56代替即可求出圆锥的体积，再加上圆柱的体积即可解答。 【完整解答】设圆柱部分和圆锥部分的底面积都是S平方厘米，圆柱部分的高是h厘米。 圆柱的体积Sh＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积＝S×75%h＝×75%Sh＝×Sh＝×169.56＝42.39（立方厘米） 169.56＋42.39＝211.95（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是211.95立方厘米。 【考点再现】掌握圆锥和圆柱的体积公式，是解答本题的关键。 【变式训练1】（23-24六年级下·河北保定·期末）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的。（如图） （1）首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）。 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据。（接头处忽略不计） （2）要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米。下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”。 请你选择一种正确的方法，写出解题思路。我选择的是（    ）方法。 解题思路： 【思路引导】（1）图见详解 （2）丽丽；聪聪； 丽丽；12560立方厘米 【思路引导】（1）观察“火箭”模型可知，圆锥和圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，也就是说圆柱的高是圆锥的3倍，用圆锥的高乘3求出圆柱的高； 已知底面直径是20厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出圆柱的底面周长； 圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；据此画出圆柱侧面展开的示意图，并标出相关数据。 （2）丽丽：根据圆柱、圆锥的体积公式，分别计算出圆柱、圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确； 聪聪：因为圆锥与圆柱等底，圆锥的高是圆柱的，那么圆锥的体积是圆柱体积的×＝；先根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，然后用圆柱的体积乘求出圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确； 英英：用圆锥的底面积乘圆锥的高，不是“火箭”模型的体积，方法错误。 选择丽丽的方法。解题思路： “火箭”模型的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【完整解答】（1）圆柱的高：12×3＝36（厘米） 圆柱的底面周长：3.14×20＝62.8（厘米） 圆柱的侧面展开图如下图： （2）我认为丽丽和聪聪的做法正确。 我选择的是（丽丽）方法。（答案不唯一） 解题思路： 3.14×（20÷2）2×36＋×3.14×（20÷2）2×12 ＝3.14×102×36＋×3.14×102×12 ＝3.14×100×36＋×3.14×100×12 ＝11304＋1256 ＝12560（立方厘米） 答：“火箭”模型的体积是12560立方厘米。 【考点再现】（1）根据圆柱侧面展开图的特征可知，要画圆柱的侧面展开图必须知道圆柱的底面周长和高，根据“模型”图中的信息可求解。 （2）掌握和运用圆柱、圆锥的体积公式是解题的关键。 【变式训练2】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【思路引导】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路引导】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【完整解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 题型八：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 【思路引导】（1）②③④ （2）565.2mL 【思路引导】（1）因为瓶子无论正放、还是倒放，瓶子里水的体积不变，这个瓶子的容积相当于底面直径是6厘米，高是厘米的圆柱的容积； （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】（1）根据分析得：选择信息②③④可以求出这个瓶子的容积。 （2） （cm） 565.2cm＝565.2mL 答：瓶子的容积565.2mL。 【考点再现】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。 【变式训练1】（2025六年级下·北京·专题练习）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是8厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【思路引导】1004.8毫升 【思路引导】从图中可知，瓶子正放时，空白部分是一个不规则图形；瓶子倒放时，空白部分正好是一个圆柱形；因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒放时的空白部分的容积相等，那么这个瓶子的容积＝水的体积＋倒放时空白部分的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，再根据1立方厘米＝1毫升解答即可。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×15＋3.14×（8÷2）2×（30－25） ＝3.14×16×15＋3.14×16×5 ＝3.14×16×（15＋5） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个瓶子的容积是1004.8毫升。 【考点再现】本题考查体积的计算，解题关键是明确瓶子正放和倒放时空白部分的容积是不变的，用倒放时的空白部分替换正放时的空白部分，转化成圆柱体，再利用圆柱的体积（容积）公式求解。 【变式训练2】当大容器内放1个小球时，小容器内水高8厘米，如图1；再往大容器内放2个相同的小球时，小容器内水高12厘米，如图2。如果小容器底面积为300平方厘米，那么每个小球的体积为 立方厘米。        图1       图2 【思路引导】600 【思路引导】通过观察可知，小容器中上升部分水的体积等于两个小球的体积，根据已知小容器底面积为300平方厘米，上升部分的高度是（12－8）厘米，根据圆柱的体积公式，用小容器的底面积乘上升部分的高度，即可求出小容器中上升部分水的体积，再除以2即可求出每个小球的体积。 【完整解答】300×（12－8）÷2 ＝300×4÷2 ＝600（立方厘米） 每个小球的体积为600立方厘米。 【考点再现】本题考查了圆柱体积公式的灵活应用，明确上升部分水的体积就是2个小球的体积。 题型九：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】如图，一桶水正放时，水面高度为36厘米。已知水桶的高度为40厘米，它的上、下两部分都是圆柱体，它们的底面直径分别为4厘米、20厘米。若把它倒放，则桶内水面的高度是 厘米。 【思路引导】39.84 【思路引导】根据题意可知，水桶中水的体积不变，空气的体积也不变；根据第一个图可知，空气部分的高度是（40－36）厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出空气部分的体积；再根据圆柱的体积公式求出第二个图空气部分的高度，然后用水桶的高度减去第二个图空气部分的高度，即可求出第二个图水桶的高度。 【完整解答】π×（4÷2）2×（40－36） ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方厘米） 16π÷π÷（20÷2）2 ＝16π÷π÷102 ＝16π÷π÷100 ＝16÷100 ＝0.16（厘米） 40－0.16＝39.84（厘米） 若把它倒放，则桶内水面的高度是39.84厘米。 【考点再现】本题考查了圆柱体积公式的灵活应用，明确空气、水的体积不变是解答本题的关键。 【变式训练1】把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4dm的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【思路引导】7dm 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体钢坯的体积；把它铸造成圆柱形，形状变了，体积不变；根据S底＝πr2，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，h＝V÷S，即可求出圆柱的长度。 【完整解答】6.28×4×3.5 ＝25.12×3.5 ＝87.92（dm3） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 87.92÷12.56＝7（dm） 答：钢材的长度是7dm。 【考点再现】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”，灵活运用长方体、圆柱的体积公式是解题的关键。 【变式训练2】（2022·湖南长沙·小升初真题）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 【思路引导】650 【思路引导】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。 【完整解答】450毫升＝450立方厘米 600毫升＝600立方厘米 600－450＝150（立方厘米） 150×＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 600＋50＝650（毫升） 【考点再现】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 【思路引导】D 【思路引导】瓶子倒过来后上面空白的容积等于正放时上面空白的容积，所以正方时上面空白容积可转化成高是6厘米同底的圆柱体积，这样整个瓶子容积可以转化成高为18厘米的等底圆柱体积，水的体积是高度12厘米同底的圆柱，用水的高度除以18厘米即可得水的体积占瓶子容积的几分之几。 【完整解答】（厘米） 瓶中水的体积占瓶子容积的。 故答案为：D 2．（2025·河南开封·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径的比是1∶3，它们的高的比是（    ）。 A．1∶1 B．3∶1 C．9∶1 D．27∶1 【思路引导】B 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，设圆柱和圆锥的体积为V，圆柱的底面半径为r，圆锥的底面半径为3r，分别求出圆柱、圆锥的高，进而求出它们高的比。据此解答。 【完整解答】设圆柱和圆锥的体积均为V，圆柱的底面半径为r，圆锥的底面半径为3r。 ∶ ＝∶ ＝∶ ＝∶ ＝∶ ＝3∶1 所以它们的高的比是3∶1。 故答案为：B 【考点再现】圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，通过设半径r和体积V，用含有未知数的式子把圆柱和圆锥的高分别表示出来，根据比的基本性质，化简比即可。 3．一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【思路引导】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【完整解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点再现】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 4．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 【思路引导】5.625 【思路引导】根据圆柱的体积V＝πr2h可以求出容器内水的体积；放进去底面半径24厘米的圆柱体铁块后，铁块的上底面仍高于水面，说明这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h＝V÷S，从而可以求出水此时的高度，最后用现在的水面高度减去原来的水面高度，由此解决问题。 【完整解答】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256×10＝12560（立方厘米） 3.14×（24÷2）2 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 1256－452.16＝803.84（平方厘米） 12560÷803.84＝15.625（厘米） 15.625－10＝5.625（厘米） 这时水面升高5.625厘米。 【考点再现】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体铁块的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题。 5．（22-23六年级下·河南南阳·期中）在一个底面半径是7厘米，高是18厘米的圆柱形容器中，装有16厘米的水，把一个圆锥形铁块放入水中并完全浸没，此时溢出144.44毫升的水，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，这个圆锥形铁块的高是( )厘米。 【思路引导】12 【思路引导】根据题意，圆锥形铁块的体积等于水面上升的体积加上溢出水的体积，水面上升的高度是（18－16）厘米，水面上升的体积可利用圆柱的体积公式：V＝求出，继而求出圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，即，求出圆锥形铁块的半径，再利用圆锥的体积公式：V＝，代入数据即可求出这个圆锥形铁块的高。 【完整解答】144.44毫升＝144.44立方厘米 3.14×72×（18－16）＋144.44 ＝3.14×49×2＋144.44 ＝307.72＋144.44 ＝452.16（立方厘米） 解：设圆锥形铁块的半径为r， ＝ ＝ ＝12（厘米） 即这个圆锥形铁块的高是12厘米。 【考点再现】此题的解题关键是理解圆锥形铁块的体积＝水面上升的体积＋溢出水的体积，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。 6．在一个底面直径是8dm、高2dm的圆柱形水池中注满水，然后把两个底面直径是3dm、高4dm的圆柱形石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )dm3。如果把溢出的水倒入底面直径为3dm的圆锥形容器中，此时水的高度是( )dm。 【思路引导】 28.26 12 【思路引导】根据题意，放入的两个圆柱形石柱的高度是4dm，而水池的高是2dm，所以两个石柱浸没在水池中的高度只有2dm，则水池溢出的水的体积是两个高为2dm的石柱的体积之和；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出一个高为2dm的石柱的体积，再乘2即可。 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，其中V是溢出的水的体积，S是圆锥的底面积，代入数据计算求出圆锥中水的高度。 【完整解答】水池溢出的水的体积： 3.14×（3÷2）2×2×2 ＝3.14×2.25×2×2 ＝3.14×9 ＝28.26（dm3） 圆锥的底面积： 3.14×（3÷2）2 ＝3.14×2.25 ＝7.065（dm2） 水的高度： 28.26×3÷7.065 ＝84.78÷7.065 ＝12（dm） 【考点再现】灵活运用圆柱、圆锥的体积计算公式是解题的关键。 7．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 【思路引导】7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【思路引导】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【完整解答】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 8．（21-22六年级下·贵州黔西·期中）计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 【思路引导】①2939.04立方厘米 ②464平方分米 【思路引导】①组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，代入数据计算即可。 ②观察图形，上、下两个半圆可以组成一个圆；图形的表面积＝圆柱的底面积＋圆柱侧面积的一半＋长方形的面积；根据S底＝πr2，S侧＝πdh，S长＝ab，代入数据计算即可。 【完整解答】①圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×18 ＝×3.14×36×18 ＝3.14×216 ＝678.24（立方厘米） 一共：2260.8＋678.24＝2939.04（立方厘米） 图①组合体的体积是2939.04立方厘米。 ②圆柱的底面积： 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 圆柱侧面积的一半： 3.14×10×15÷2 ＝31.4×15÷2 ＝471÷2 ＝235.5（平方分米） 长方形的面积： 15×10＝150（平方分米） 一共：78.5＋235.5＋150＝464（平方分米） 图②的表面积是464平方分米。 9．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【思路引导】251.2立方厘米 【思路引导】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【完整解答】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【考点再现】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 10．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【思路引导】0.628厘米 【思路引导】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【完整解答】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【考点再现】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 11．三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？ 【思路引导】1.3188平方分米 【思路引导】这个立体图形的表面积包含最下面圆柱的完整表面积，中间圆柱的侧面积和上边圆柱的侧面积，据此列式解答。 【完整解答】3.14×3×2＋3.14×3×2×2＋3.14×2×2×2＋3.14×1×2×2 ＝56.52＋37.68＋25.12＋12.56 ＝131.88（平方厘米） ＝1.3188平方分米 答：表面积是1.3188平方分米。 【考点再现】本题考查了组合体的表面积，所有上面的面都可以平移到大圆柱的上面，组成完整的大圆柱表面积。注意单位的换算。 12．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【思路引导】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【思路引导】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【完整解答】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 【考点再现】求解扇形的面积，通过扇形对应的圆心角构建扇形与圆形的关系，扇形的面积＝。 13．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【思路引导】1004.8毫升 【思路引导】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 【考点再现】理解正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，利用转化思想将其转化成圆柱进行计算。 14．（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 【思路引导】60毫升 【思路引导】根据题意，正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变。右图水的体积＝左图水的体积，左图水的体积是标准的圆柱体体积，右图空的部分高是7－5＝2（厘米），右图空的部分体积是标准的圆柱体体积，那么瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。，把数据代入圆柱体体积公式计算即可解答。 【完整解答】10×4＋10×（7－5） ＝10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（立方厘米） 60立方厘米=60毫升 答：瓶子的容积的是60毫升。 【考点再现】正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变，把瓶子分为两个标准圆柱进行计算，瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。 15．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【思路引导】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路引导】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【完整解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 16．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【思路引导】3.2厘米 【思路引导】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，可知它们的底面半径之比为5∶4，底面积之比为25∶16； 因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降，水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为1∶1； 根据圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比； 已知圆锥形铅锤的高是15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出容器中水面下降的高度。 【完整解答】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为5∶4； 圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为52∶42＝25∶16； 圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为1∶1； 圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为： （1÷25）∶（1×3÷16） ＝∶ ＝（×400）∶（×400） ＝16∶75 圆柱容器中的水面高度下降： 15÷75×16 ＝0.2×16 ＝3.2（厘米） 答：容器中的水面高度将下降3.2厘米。 【考点再现】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根据比的应用的解题方法求解。 17．（2022·浙江宁波·小升初真题）如图一个装有水的圆柱形容器。现将一个底而半径为5cm，高9cm的圆锥放入容器中，完全浸没在水中，容器的水面比原来升高了多少cm？ 【思路引导】0.75cm 【思路引导】由于圆锥完全浸没在水中，说明水上升部分的体积等于圆锥的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，由此先求出圆锥的体积，再根据圆柱体积公式的变形h＝V÷（πr2），即可求出容器的水面比原来升高的厘米数。 【完整解答】×3.14×52×9÷[3.14×（20÷2）2] ＝×3.14×25×9÷[3.14×102] ＝235.5÷[3.14×100] ＝235.5÷314 ＝0.75（cm） 答：容器的水面比原来升高了0.75cm。 【考点再现】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，抓住上升部分水的体积就是圆锥的体积是解决本题的关键。 18．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 【思路引导】 1.8厘米 【思路引导】结合圆锥的体积公式：，先计算出圆锥的体积，取出圆锥后，则下降的水的体积就等于取出的圆锥的体积，而下降的水的形状和容器的形状相同，是一个底面直径是20厘米的圆柱，结合圆柱的体积公式：，下降的高度＝下降的体积÷圆柱的底面积，即可得出答案。 【完整解答】12÷2＝6（厘米） （立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 3.14×102＝314（平方厘米） 565.2÷314＝1.8（厘米） 答：当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降1.8厘米。 【考点再现】熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式，是解决此题的关键；同时，需要注意，下降的水的体积等于取出的物体的体积。 19．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 【思路引导】396毫升 【思路引导】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。 【完整解答】462毫升＝462立方厘米 圆柱的底面积：462÷（12＋2） ＝462÷14 ＝33（平方厘米） 瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米） 396立方厘米＝396毫升 答：瓶内装有果汁396毫升。 【考点再现】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。 20．水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 【思路引导】25.6厘米 【思路引导】将容器A注满，水的体积是圆柱A的体积，圆柱的体积＝。在高度的一半处有一连通管相连，将容器A注满，再打开连通管后，这时两个容器水面的高度是一样的，则底面积比就是体积比。A和B容器都是圆柱，则底面是圆，圆的面积＝，就是底面积。即两个圆柱的底面积比是16∶9，则两个圆柱的水的体积比也是16∶9，按比例分配，B圆柱容器的水的体积占水总体积的，得出B圆柱的水的体积，再根据水面的高＝水的体积÷底面积。 【完整解答】 （立方厘米） ＝ （立方厘米） （厘米） 答：容器B中水的高度最终是25.6厘米。 【考点再现】计算量比较大的时候，可以不要将先算出来，这样更简便。注意将容器A注满，再打开连通管时两个容器的高度是一样的，那么底面积的比就是体积的比。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习四 圆柱和圆锥（思维拓展） 【原卷版】 题型一：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）广东省湛江市作为全国重要的冬季蔬菜供应基地，大力发展蔬菜大棚。一个蔬菜大棚的下半部分是长15m、宽4m、高2m的长方体，上半部分是圆柱的一半。搭这个蔬菜大棚需要多少平方米的覆盖薄膜？这个蔬菜大棚的空间有多大？ 【变式训练1】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·广东中山·期末）六一儿童节前，六年级（4）班开展“巧手做容器”劳动实践活动，同学们要用硬纸板制作无盖圆柱形容器（仅有一个底面）装节日糖果。老师提供的硬纸板尺寸为长30厘米、宽20厘米（接缝处损耗忽略不计）。同学们计划制作的容器底面半径为5厘米，高度为10厘米（π取3）。活动结束后，同学们决定用彩色贴纸装饰容器的侧面和底面边缘，装饰部分面积与容器表面积（不含上盖）的比为2∶5。 （1）一张硬纸板最多能制作几个这样的无盖圆柱形容器？ （2）每个容器需要的彩色贴纸面积是多少平方厘米？ 题型二：圆柱的体积 【典例精讲】（22-23六年级下·浙江杭州·期中）一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是1∶1。如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体形，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体。削成的圆柱体和长方体体积比是( )。（得数保留π） 【变式训练1】（22-23六年级下·湖北武汉·期中）小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【变式训练2】（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）有一圆柱形容器，该容器的底面半径为10厘米，侧面积为300π平方厘米。 （1）如图1，求该圆柱形容器的高为多少厘米？ （2）如图2，有一实心铁圆柱体，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径比圆柱形容器的底面半径小，求该实心铁圆柱体的体积？（结果保留π） （3）在（2）的条件下，现有底面半径为5厘米，高为12厘米的实心冰圆锥若干，水变成冰体积会增加，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，如图3，将冰圆锥化成的水注入圆柱形容器内，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没。求至少需要多少个冰圆锥（整数个）？并求此时水面与容器口的距离h为多少厘米？ 题型三：圆柱的容积 【典例精讲】甲乙两个圆柱形容器，底面积之比为5∶3，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米。在这两个容器中注入同样多的水，使两个容器中的水深相等，这时水深( )厘米。 【变式训练1】实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高lcm，如图所示。若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则刚开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？    【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 题型四：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·陕西汉中·小升初模拟）在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）下图所示的是一个封闭的容器，容器中有一些水。若把这个容器倒过来，容器里的水深多少厘米？ 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）一个圆柱体木块如果切成完全一样的两块（如图①），表面积增加48cm2；如果切成完全一样的三块（如图②），表面积增加50.24cm2；如果削成一个最大的圆锥体（如图③），体积减少了( )cm3。 题型五：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练】一个注满水的圆柱形玻璃容器，先把一个圆柱形铁棒完全浸入水中，然后取出，再把一个圆锥形铁块完全浸入水中，已知第二次排出水的体积是第一次排出水体积的2.5倍。圆柱形铁棒的底面半径与圆锥形铁块的底面半径的比是，圆柱形铁棒的高是，圆锥形铁块的高是( )。 题型六：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成的。 若用m表示一个小圆柱的侧面积，用s表示一个小圆柱的底面积。观察每幅图的表面积变化规律，那么第⑧幅图的表面积是( )。 【变式训练1】如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【变式训练2】下图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是2分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？ 题型七：组合体的体积(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如图所示，陀螺的上半部分是圆柱，下半部分是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的75%时，陀螺才能旋转得又稳又快。小安照着这个标准做了一个陀螺，其中圆柱部分的体积是169.56立方厘米，求这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【变式训练1】（23-24六年级下·河北保定·期末）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的。（如图） （1）首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）。 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据。（接头处忽略不计） （2）要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米。下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”。 请你选择一种正确的方法，写出解题思路。我选择的是（    ）方法。 解题思路： 【变式训练2】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 题型八：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）为了测量一个空瓶子的容积，学习小组进行了合作研究并记录信息如下。 ①测量出整个瓶子的高度是25cm；②测量出瓶子的圆柱部分的内直径是6cm； ③给瓶子注入一些水，把瓶子正放时，测出水的高度是5cm； ④把瓶盖拧紧，瓶子倒置放平，测量出无水部分圆柱的高度是15cm。 （1）选择信息（    ）可以求出这个瓶子的容积。（填序号） （2）根据选出的信息，求出瓶子的容积。 【变式训练1】（2025六年级下·北京·专题练习）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是8厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【变式训练2】当大容器内放1个小球时，小容器内水高8厘米，如图1；再往大容器内放2个相同的小球时，小容器内水高12厘米，如图2。如果小容器底面积为300平方厘米，那么每个小球的体积为 立方厘米。        图1       图2 题型九：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】如图，一桶水正放时，水面高度为36厘米。已知水桶的高度为40厘米，它的上、下两部分都是圆柱体，它们的底面直径分别为4厘米、20厘米。若把它倒放，则桶内水面的高度是 厘米。 【变式训练1】把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4dm的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【变式训练2】（2022·湖南长沙·小升初真题）如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 2．（2025·河南开封·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径的比是1∶3，它们的高的比是（    ）。 A．1∶1 B．3∶1 C．9∶1 D．27∶1 3．一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 4．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 5．（22-23六年级下·河南南阳·期中）在一个底面半径是7厘米，高是18厘米的圆柱形容器中，装有16厘米的水，把一个圆锥形铁块放入水中并完全浸没，此时溢出144.44毫升的水，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多31.68厘米，这个圆锥形铁块的高是( )厘米。 6．在一个底面直径是8dm、高2dm的圆柱形水池中注满水，然后把两个底面直径是3dm、高4dm的圆柱形石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是( )dm3。如果把溢出的水倒入底面直径为3dm的圆锥形容器中，此时水的高度是( )dm。 7．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 8．（21-22六年级下·贵州黔西·期中）计算下列图形的体积和表面积。 ①求图①组合体的体积（单位：厘米）。 ②求图②的表面积（单位：分米）。 9．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 10．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 11．三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？ 12．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 13．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 14．（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 15．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 16．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 17．（2022·浙江宁波·小升初真题）如图一个装有水的圆柱形容器。现将一个底而半径为5cm，高9cm的圆锥放入容器中，完全浸没在水中，容器的水面比原来升高了多少cm？ 18．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个高3分米，底面直径20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为12厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，水面会下降多少厘米？（取圆锥体过程中溢出的水忽略不计） 19．（23-24六年级下·河南南阳·期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？ 20．水平桌面上放着高度同为40厘米的两个圆柱形容器，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管容积忽略不计），容器A和B底面直径分别为32厘米和24厘米。先关闭连通管，将容器A注满，再打开连通管，容器B中水的高度最终是多少厘米？（π取3.14） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $