精品解析：陕西省安康市汉阴县初级中学教共体2025-2026学年上学期期末检测-八年级数学

2025~2026 学年度第一学期期末检测 八年级数学(人教版) 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的) 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子从左到右的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分) 9. 若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为________． 10. 分解因式：__________ 11. 若分式的值等于，则______． 12. 已知点与点关于x轴对称，则的结果为__________； 13. 如图，在中，于点，点是外一点，且平分．若，，，则的面积为___________． 14. 如图，在中，，，，为的中点，为上一动点，连接、，则的最小值是___________． 三、解答题(共12小题，计78分．解答应写出过程) 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 化简：． 18. 如图，在中，点 是边的中点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 19. 已知：如图，GB＝FC，D、E是BC上两点，且BD＝CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA、CA的延长线交于点G，F． 求证：GE＝FD． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题 测量凉亭与游船之间的距离 测量方案及示意图 ①小明沿堤岸走到电线杆C处； ②再往前走相同的距离，到达点D； ③到达 D点后向左转直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 米，米，米． 请根据以上数据，求凉亭与游船之间的距离． 22. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 2025中国·榆林第四届沿黄观光路国际自行车赛于2025年11月1日举行．随着健康意识的提升和绿色出行理念的普及，自行车运动已经成为越来越多人选择的健身方式．某骑行社团计划购买一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的倍，用39 000元单独购买A型自行车的数量比单独购买B型自行车的数量少5辆． （1）若甲同学设每辆B型自行车的价格为x元，则可列方程为 ； 若乙同学设用39 000元可以单独购买y辆A型自行车，则可列方程为 ； （2）请你用甲同学的方法求每辆B型自行车的价格． 24. 在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）如图①，一个边长为的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 ； （2）已知，，求的值； （3）如图②，某景区有一块长方形空地，，，点， 分别是边，上的点，且，景区打算以，为边修建一个长方形休息区，在长方形空地外的等腰和等腰区域内种植草坪增加绿化(阴影部分)，若长方形休息区的面积为，求种植草坪(阴影部分)的面积． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，且，则的高的长度为 ； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，连接．求证：； 【问题解决】 （3）已知有，，三个村庄的位置如图③所示，其中村庄到，两个村庄的距离相等，且满足．现需要在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小．该项目组长按如下方法选址：连接，，，以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，从而找到点．你认为组长的方法正确吗？请说明理由，并求出点满足条件时的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026 学年度第一学期期末检测 八年级数学(人教版) 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的) 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，注意：已知A、B都是整式，式子的分母B中含有字母，那么式子是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解： A、是整式，不是分式，不符合题意； B：是分数，分母为常数，无字母，不是分式，不符合题意； C、，分母为x，含有字母，是分式，符合题意； D：是整式，无分母，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2. 汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故选D． 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 5. 如图，将绕点C旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 7. 下列式子从左到右的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．选项A、B、C的变形不符合分式的基本性质，只有选项D通过约分正确变形． 【详解】解：A、当时，，故A错误； B、当时，，故B错误； C、当时，，故C错误 D、（其中），∴变形正确，故D正确， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，平分，，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，则可证明，则由角平分线的定义可推出，据此可判断A；在上截取，连接，可证明，得到，再证明，得到，据此可判断D；由全等三角形的面积相等可得，据此可判断C；可证明，但是无法证明，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ， ， ∴，故C结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到，故无法得到，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分) 9. 若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解一元一次不等式组，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，列一元一次不等式组，再结合整数条件求解． 【详解】解：设第三边长为x，则根据三角形三边关系， 则 解得：， ∵x为整数， ∴． 故答案为：5． 10. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： ＝b（a2−1） ＝b（a＋1）（a−1）． 故答案为b（a＋1）（a−1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 11. 若分式的值等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 12. 已知点与点关于x轴对称，则的结果为__________； 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．正确把握横纵坐标的符号是解题关键． 【详解】解：点与关于轴对称， ，， ． 故答案为：9． 13. 如图，在中，于点，点是外一点，且平分．若，，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，再由可得答案．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，为的中点，为上一动点，连接、，则的最小值是___________． 【答案】12 【解析】 【详解】如图：作A关于的对称点，连接、、，由、，可得，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得， 根据即可解答． 【分析】解：作A关于的对称点，连接、、， ，， ∴，， 是A关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ∴， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， ，即：， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称（最短路线问题）、直角三角形的两个锐角互余、含度角的直角三角形、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 三、解答题(共12小题，计78分．解答应写出过程) 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，先计算积的乘方，单项式除以单项式和同底数幂的乘法，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】方程两都乘，得，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，点 是边的中点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】如图，点即为所求 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所作． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了基本作图（作线段的垂直平分线），垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的定义及性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 19. 已知：如图，GB＝FC，D、E是BC上两点，且BD＝CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA、CA的延长线交于点G，F． 求证：GE＝FD． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据“HL”证明Rt△GEB≌Rt△FDC，问题得证． 【详解】证明：∵BD=CE， ∴BE=CD， ∵GE⊥BC，FD⊥BC， ∴∠GEB=∠FDC=90°， ∵GB＝FC， ∴Rt△GEB≌Rt△FDC， ∴GE＝FD． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，当三角形为直角三角形时，直角可以作为一个条件应用，也可以考虑用“HL”进行证明． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题 测量凉亭与游船之间的距离 测量方案及示意图 ①小明沿堤岸走到电线杆C处； ②再往前走相同的距离，到达点D； ③到达 D点后向左转直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 米，米，米． 请根据以上数据，求凉亭与游船之间的距离． 【答案】20米 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明，再由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，米，， 在和中， ， ． 米， 答：凉亭与游船之间的距离为20米． 22. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边对等角是解题的关键． 23. 2025中国·榆林第四届沿黄观光路国际自行车赛于2025年11月1日举行．随着健康意识的提升和绿色出行理念的普及，自行车运动已经成为越来越多人选择的健身方式．某骑行社团计划购买一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的倍，用39 000元单独购买A型自行车的数量比单独购买B型自行车的数量少5辆． （1）若甲同学设每辆B型自行车的价格为x元，则可列方程为 ； 若乙同学设用39 000元可以单独购买y辆A型自行车，则可列方程为 ； （2）请你用甲同学的方法求每辆B型自行车的价格． 【答案】（1）； （2）2600元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）甲同学设每辆B型自行车的价格为x元，则每辆A型自行车的价格为元，根据用39 000元单独购买A型自行车的数量比单独购买B型自行车的数量少5辆列出方程即可；乙同学设用39 000元可以单独购买y辆A型自行车，由于每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的倍，故总价相同时，购买型自行车的数量是型自行车数量的倍，即可购买辆B型自行车，再根据用39 000元单独购买A型自行车的数量比单独购买B型自行车的数量少5辆列出方程即可； （2）根据（1）所求解对应的方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：若甲同学设每辆B型自行车的价格为x元，则可列方程为； 若乙同学设用39 000元可以单独购买y辆A型自行车，则可列方程为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 方程两边同时乘以得， 解得， 答：每辆B型自行车的价格为2600元． 24. 在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）如图①，一个边长为的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 ； （2）已知，，求的值； （3）如图②，某景区有一块长方形空地，，，点， 分别是边，上的点，且，景区打算以，为边修建一个长方形休息区，在长方形空地外的等腰和等腰区域内种植草坪增加绿化(阴影部分)，若长方形休息区的面积为，求种植草坪(阴影部分)的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）图①中阴影部分是边长为的正方形的面积，也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即可得出结论； （2）根据（1）所得的数学等式进行解答即可； （3）根据题意得：，设，，根据，再结合（1）所得的数学等式进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵图①中阴影部分是边长为的正方形，它的面积为，也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵长方形中，，，；长方形中，，为边， ∴，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴种植草坪(阴影部分)的面积为． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，且，则的高的长度为 ； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，连接．求证：； 【问题解决】 （3）已知有，，三个村庄的位置如图③所示，其中村庄到，两个村庄的距离相等，且满足．现需要在合适的位置建一个污水处理站，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小．该项目组长按如下方法选址：连接，，，以，为边向外作等边与等边，线段，交于点，从而找到点．你认为组长的方法正确吗？请说明理由，并求出点满足条件时的的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明得，从而推出垂直平分，延长交于点，根据角的直角三角形的性质求出，即可求解； （2）过点作于点，作于点，设与交于点，证明得，，，然后证明平分，可得，进而可证明结论成立； （3）如图，连接，在上取点，使，推出为等边三角形，得，推出，根据两点之间线段最段，可确定的最小值为长，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 用同样的方法可得：， ∵，， ∴直线垂直平分，， 延长交于，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的高的长度为， 故答案为：； （2）证明：如图，过点作于点，作于点，设与交于点， ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：组长的方法正确． 理由：如图，连接，在上取点，使， 由（2）知：，， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为长， 即点为所要建的污水处理站的位置，此时最小，故组长的方法正确； ∵，，． ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴点满足条件时的的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $