14.3 角的平分线（第1课时）教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线（第1课时） 一、教学内容解析 1．内容 作一个角的平分线，角的平分线的性质． 2．内容解析 本节内容是全等三角形知识的运用和延续，对于用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质． 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段的垂直平分线的性质提供了思路和方法．角的平分线的性质的证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．证明角的平分线的性质的过程提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角的平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明对应边相等或对应角相等． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索并证明角的平分线的性质． 二、教学目标设置 1．课程目标 （1）经历探索图形特征的过程，建立基本的几何概念；通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系；掌握基本的几何证明方法，获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．形成推理能力，发展空间观念和几何直观． （2）经历探索图形特征的过程中，建立基本的几何概念;通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系;掌握基本的几何证明方法，探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用几何直观、逻辑推理等方法分析问题，解决问题，形成模型观念和数据观念． （3）在与他人合作交流解决问题的过程中，能够严谨、准确地表达自己的观点，并能较好地理解他人的思考方法和结论．能够回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论，形成批判性思维和创新意识． （4）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神． 2．单元目标 （1） 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角． （2）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． （3）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． （4）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等． （5）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． （6）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （7）能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线． 3．课堂教学目标 （1）经历用尺规作一个角的平分线的过程，知道作法的合理性．通过尺规作图等直观操作的方法，理解平面图形的性质与关系；掌握基本的几何证明方法，获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验． （2）探索并证明角的平分线的性质．掌握基本的几何证明方法． （3）能用角的平分线的性质解决简单问题．用几何直观、逻辑推理等方法分析问题，解决问题，形成模型观念和数据观念． 4.目标解析 达成目标（1）的标志是：明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能用尺规作出一个已知角的平分线． 达成目标（2）的标志是：能通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确的写出已知、求证，能运用判定三角形全等的“角角边”方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质． 达成目标（3）的标志是：能利用角的平分线的性质解决与垂线段相等有关的简单问题． 3、 教学问题分析 学生学习几何图形初步时，理解了根据定义，用测量和折叠方法，作线段的中点和角的平分线．在全等三角形的学习中，基本掌握了证明三角形全等的方法，初步理解尺规作图的原理，会用尺规作一条线段等于已知线段，一个角等于已知角，具有一定的动手能力和空间观念．但在本节课的学习中，如何借助全等的知识（原理），用尺规“作一个角的平分线（作法）”还是比较困难的． 另外，学生在刚刚学习了全等三角形的性质和判定方法，能够初步运用全等三角形的知识来解决几何图形中的线段相等和角相等的问题，但角的平分线的性质与垂线段有关，学生不容易想到性质的内容．为克服这一难点，可从研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系，以及所近线段与角的两边的位置关系入手．就位置关系而言，角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边分别相交，而垂直是相交的特殊情形，因此可以对角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边分别垂直的情形进行研究，进而研究垂线段的数量关系． 所以，如何发现用尺规作角的平分线的原理及发现角的平分线的性质与垂线段有关，是本节课教学的难点． 四、教学策略 尺规作图蕴含丰富的文化价值，它能用简单的工具创造许多优美的图形，承载着深厚的文化底蕴，体现了数学的美学价值；它的每一步操作都要严格遵循几何原理，对作图的操作进行推理验证，展现了数学的严谨与和谐；尺规作图还需要对图形进行操作和想象，是发展学生空间观念和推理能力的重要途径． 而对于一时难以入手的问题，使用最普遍而又较为简单易行的化归途径，就是把它向特殊的形式转化，这就是特殊化法．教材也是这样处理的，从特殊情形入手，作为解决问题的突破口，把所研究的数学问题从原来的范围缩小到特殊情形进行考察． 所以，教师需要引导学生从研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系，以及所连线段与角的两边的位置关系入手．就位置关系而言，角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角的两边分别相交，而垂直是相交的特殊情形，因此可以对角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边分别垂直的情形进行研究，进而研究垂线段的数量关系． 五、教学过程 （一）复习引入，点燃思维 平面几何是一门研究图形的形状、大小和位置关系的学科． 问题1：七年级我们在学习几何图形初步时，研究了哪些几何图形？ 追问1：我们着重研究了这些图形的哪些方面？ 追问2：在学习线段的比较与运算和角的比较与运算时，我们主要研究了它们的哪些特殊性质？ 追问3：回顾上一章节的学习，我们又研究了哪个几何图形？ 师生活动：教师提问并展示知识结构图，学生回答，生生补充． 设计意图：从整体把握教学内容，以知识脉络为主线，展开本节课堂导入，让学生形成总体性、概括性的认识． （二）探究新知，激活思维 问题2：作线段的中点和角的平分线时，我们都采用了测量和折叠的方法，作出了一条已知线段的中点和已知角的平分线．那么如何用尺规作图的方法作一个角的平分线呢？我们先来看看生活中是如何作角的平分线的呢？ 追问1：AE就是这个角的角平分线，谁能分析角平分仪中蕴含的数学道理呢？ 师生活动：学生观看动画片后，根据角分仪做一个角的平分线的过程，并抽象出几何图形，口述证明AE是角的平分线的全过程． 追问2：结合这个原理，你对角平分线上点的特性有什么认识呢？我们知道，角平分线上点的特性，可以由其与角的两边的关系体现．那么，角平分线上的点，与角两边上的点所连线段之间又有哪些关系呢？ 追问3：那我们先从角的平分线上的点与角两边上的点所连线段之间的数量关系，来探究角的平分线的特性． 师生活动：教师引导学生发现，角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的，并说明应从角的平分线上的点与角两边上的点所连线段之间的数量关系和位置关系两方面来进行研究．引发学生思考“所连线段”之间存在数量关系和位置关系，继而教师带领学生从特殊的数量关系展开探究． 设计意图：抽象问题具体化．先从定义出发，展示线段的中点、角的平分线的作法——度量法和折叠法，进一步引出思考：如何用直尺和圆规作角的平分线？借助生活中的“角分仪”，启发学生发现角的大小与其所在三角形的对边有直接关系，激发学习兴趣，培养几何直观和抽象能力． 线段中点与角平分线本质上都具有平分属性，把线段这一基本图形迁移转化为角，把线段上的点迁移转化为角内部的一条射线，线段的中点迁移转化为角的平分线，那么以线段为背景、中点为载体的问题情境就可以迁移转化为角的平分线相关的问题情境．两者基本说理模式形态相同，流程相同，说理内在逻辑方面相同，类比创设的问题情境更容易理解，并形成牢固的逻辑结构． 探究一 研究角的平分线的特性，用尺规作角的平分线 如图14.3-1，若OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系． 图14.3-1 追问1：在研究几何图形关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况，如图14.3-1，当图形中的边或角具备什么条件时，PM=PN ? 追问２：通过同学们的表述，无论图形中具备以上三个条件中的哪一个，都能够证得PM=PN，其核心本质都是什么呢？ 师生活动：学生根据图形和对全等知识的理解，在已知一边一角的情况下，当图形具备：①∠OMP=∠ONP，②∠1=∠2，③OM=ON中的任意一个，都可以通过证明三角形全等来得到PM=PN．学生口述证明过程，生生之间互相补充评价． 追问３：反过来，如图14.3-2，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，点P在∠AOB的内部，PM=PN．以上三个条件哪一个可以证明点P一定在∠AOB的平分线上？ 图14.3-2 师生活动：学生口述展示证明三角形全等过程，发现当条件和结论互换时，其中会出现＂边边角＂证明全等的情况，无法判断点P一定在∠AOB的平分线上，从而将三个成立条件筛选成为两个充要条件，且当OM=ON或∠NPO时，△OPM≌△OPN，可论证点P在∠AOB的平分线上．证明过程中生生之间互相补充评价，教师进行总结． 设计意图：渗透从一般到特殊的数学思想，采用开放性的问题设置，让不同层次的学生都能从不同的角度展开思考，剖析尺规作图的原理，学生探究的同时感悟原命题与逆命题之间的必然联系及问题的充要条件，培养逻辑推理能力及辩证思维和批判性思维，从而为理解尺规作图的基本原理和方法做好铺垫． 追问４：根据前面的探究，我们发现：无论是添加边条件，还是角条件，都能证得OP平分∠AOB，受以上问题的启发，你能利用手中的直尺和圆规作出∠AOB的角平分线吗？ 师生活动：学生将围绕着做两个角相等或两条边相等来进行做图．教师不间断巡视指导，手机拍照希沃投屏，及时修正学生探究过程中出现的典型错误．学生动手操作后展示作图并口述作法．师生共同点评分析：在PM=PN的情况下，OP不一定平分∠AOB，当PM=PN并且∠NPO时，点P也不一定在角的平分线上；因此，只能用尺规作OM=ON，PM=PN，即通过相等的边产生全等三角形，从而得到对应角相等才是最正确的方法．另外，学生在作PM=PN时，会出现两弧不相交的情况，教师引导学生寻找问题原因，规范作图方法． 追问5：哪位同学能总结一下尺规作图的方法？ 师生活动：学生根据全等三角形的性质，利用边的数量关系，确定了角的数量关系，探寻到了尺规作图做角平分线的方法． 设计意图：以问题趋动课堂教学，由浅入深，层层递进，激发学生思维，师生共同经历：假设草图—分析关系—实施画图—落实画法过程，理解尺规作图的原理，感悟数学论证的逻辑，形成基本技能，积累数学基本活动经验和基本思想方法，及重事实、讲道理的科学精神，从而发展学生的空间观念，推理能力和抽象能力． （三）合作探究，发散思维图14.3-1-1 问题3：如图14.3-1-1，当点P的位置确定，且满足PM=PN时，点M的位置不唯一，点N的位置也不唯一．什么情况下点M，N的位置是唯一确定的呢？为什么？ 师生活动：学生画图后回答，教师总结，说明角的平分线上的点P与角两边上的点所连线段的长度不唯一，根据在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，说明只有垂线段是唯一的，从而进一步指向研究更特殊的问题． 探究二 探索并证明角的平分线的性质 如图14.3-4， OC是的平分线．点 P1，P2，P3，…在OC上，过点 P1 ，P2 ，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2 、D3与E3 ……．分别比较P1D1与P1E1P2D2与P2E2P3D3与P3E3……，你有什么发现？ 图14.3-4 师生活动：学生在已知角的平分线上任选几个点，向角的两边作垂线段，并分组测量，整理数据，然后教师巡视指导，学生展示汇报自己的发现（学生在题签上画图、绘制表格整理数据、教师巡视拍照希沃投屏）．各小组代表发言，学生之间互相补充． 设计意图：关注学习过程，重视思维发展，通过“做数学”，让学生经历猜想—测量—验证—证明的过程，感悟研究数学对象的一般思路，理解三角形的边与角之间的必然联系，以“形”助“数”，以“数”定“形”，实现由等角向等线段的跨跃，及由实验几何向论证几何的进阶，并进一步体会由一般到特殊和转化的数学思想． 追问１：同学们通过动手实验、观察发现，你能概括出我们得到的结论吗？图14.3-5 追问２：对于文字性的命题，我们该如何证明你的猜想呢？ 追问3：首先我们来分析这个命题由哪几部分构成的呢？它的题设和结论又是什么呢？ 追问4：如何证明？ 师生活动：教师先引导学生分析证明文字命题的题设和结论，如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生画出图形，写出已知和求证，学生口答，生生互评，学生板书示范证明过程，师生共评． 追问5：通过以上证明以后，可以直接利用这一性质证明两条线段相等．那么如何用几何语言去描述呢？ 追问6：由以上的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ 师生活动：学生回答，生生补充，师生共同概括证明几何命题的一般步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 设计意图：让学生探索并证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，并明确角的平分线的性质可以直接作为推理论证的依据．引导学生进行总结、类比、联想，并经历完整的探究过程，即“确定探究目的—形成探究方案—总结探究成果”．凸显数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、思维的系统性． （四）迁移拓展，强化思维 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG． 求证PF=PG． 师生活动：学生先充分独立思考，鼓励学生上台用多种方法讲解证明过程．并通过对比，让学生选出较简单的方法：可以直接利用角的平分线的性质得到两条线段相等，使解题过程更直接有效．教师引导学生小结：角平分线的性质可以直接作为推理论证的依据． 设计意图：此环节突出检验学生综合运用数学知识的能力，从解题思想、解题方法等方面开拓思路，优化思维，帮助学生树立数学学习的信心，提高学生对性质和定理的灵活应用能力，引导其感悟数学思想和方法，逐步建构知识、方法、应用三位一体的认知网络，从而提高分析和解决问题的能力． （五）多元评价，提升思维 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： (1)这节课我们学习了哪些内容？ (2)研究问题时，我们经历的怎样的过程？ (3)这节课，我们体会到了哪些数学思想方法？ 师生活动：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，并建立知识之间的联系． 设计意图：基于内容结构化，从知识逻辑与学习逻辑两方面对角的平分线的性质进行整体建构，明确角的平分线在三角形这一部分中所处的地位与作用，体现研究思路与方法，凸显通性通法． （六）作业设置，拓展思维 基础性作业： 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且， DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分别为E， F． 求证EB=FC． 拓展性作业： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在边AC上求作一点P，使点P到边BC和边AB的距离相等． （第2题） 设计意图：让学生巩固角的平分线的性质．基础性作业和拓展性作业的结合，既促进了知识的内化，又为学有余力的同学提高综合能力，提高应用意识. 1 学科网（北京）股份有限公司 $